Математический анализ. Функции нескольких переменных. Курс лекций для студентов инженерно-технических и экономических специальностей

СОДЕРЖАНИЕ

Введение. ........................................................................................................................................

4

n

35.Метрическое пространство

. .............................................................................................

5

Задания к § 35 .............................................................................................................................

13

36.Дифференцируемость функций нескольких переменных. .................................................

15

Задания к § 36 .............................................................................................................................

20

37. Производные сложных функций..........................................................................................

22

Задания к § 37 .............................................................................................................................

34

38.Неявно заданные функции.....................................................................................................

37

Задания к § 38 .............................................................................................................................

40

39. Частные производные высших порядков............................................................................

42

Задания к § 39 .............................................................................................................................

47

40.Экстремумы.............................................................................................................................

50

Задания к § 40 .............................................................................................................................

61

§ 41.Применение в задачах экономики. ....................................................................................

63

Задания к § 41 .............................................................................................................................

67

ЛИТЕРАТУРА .............................................................................................................................

70

35.Метрическое пространство

n .

Определение

35.1.

Метрическим

пространством

n

называется

множество всевозможных наборов (x1 , x2 , ..., xn )

из n действительных чисел

xi , i 1, 2, . . ., n

. Каждый такой набор

называется

точкой,

x1

− первая

координата точки, x2

− вторая координата точки, и т.д.

Расстояние

между

точками

x (x1 , x2 , ..., xn )

и

y ( y1 , y2 , ..., yn )

определим по формуле

(x,

y)

( y x )2

( y

x )2 ... ( y x )2 .

(1)

1

1

2

2

n

n

Функция (x,

y) называется метрикой пространства

n .

Пример 35.1. Плоскость с фиксированной системой координат −

метрическое пространство

2 ,

трехмерное пространство с фиксированной

системой координат − метрическое пространство

3 .

Пространство

n

можно

рассматривать, как евклидово n – мерное

пространство,

если

определить

сумму

векторов

x (x1 , x2 , ..., xn ) и

y ( y1 , y2 , ..., yn )

по правилу: x y (x1

y1 , x2 y2 , ..., xn

yn ) .

Умножение вектора x на число

: x ( x1 , x2 , ..., xn ) .

Скалярное произведение векторов: (x, y) x1 y1 x2 y2 ... xn yn .

Тогда

норма

вектора

x (x1 , x2 , ..., xn )

находится

по

формуле

x

x 2

x 2

... x 2

и (1) перепишется в виде:

1

2

n

(x, y)

x y

.

(2)

Свойства нормы.

x (x , x

2

, ..., x

n

) и y

( y , y , ..., y

)

n :

1

1

2

n

n

1)

xi yi

x

y

- неравенство Коши-Буняковского

(3)

i 1

2)

x y

x

y

(4)

5

4)

x

x

,

.

Докажем свойство 1).

Пусть t

, t 0

n

n

n

n

0

x ty

2

(xi

tyi

)2 t 2 (yi )2

2t xi yi

(xi )2 .

(5)

i 1

i 1

i 1

i 1

Неравенство (5)

выполняется t

, правая

часть формулы (5) –

квадратный трехчлен относительно t дискриминант

n

n

n

D 4( xi yi )2 4( xi

)( yi ) 0 , что и требовалось доказать.

i 1

i 1

i 1

Упражнение 35.2. Доказать свойства 1 – 3 метрики.

Определение 35.2. Пусть x(0)

n – произвольная точка пространства

n . Множество точек x

n таких,

что (x,

x(0) ) называется

–

окрестностью точки x(0) и обозначается O (x(0) ) . Таким образом

O (x(0) ) = x

x

n , (x,

x(0) ) .

O (x(0) ) называется

n – мерным открытым

шаром

радиуса

с

центром в

точке x0 . Множество O

(x(0) ) O (x(0) ) \ x(0)

называется

выколотой

окрестностью

точки x(0) . Множество

D

n

называется

6

открытым,

если

x(0) D

: O (x(0) ) D .

Множество D

называется

замкнутым,

если

n \ D –

открыто. Точка

y n называется

Изобразить

на

плоскости

множества: S1 ,

S2 ,

S3 ,

S4 ;

S1 \ S2 ;

S1 S3 ; S1 \

S3 ; S4 \ S1

и определить

какие

из них

являются

открытыми,

замкнутыми, ограниченными.

Определение 35.3. Последовательность точек

x(1) ,

x( 2) , ..., x( m)

из

n

называется сходящейся к точке a

n , если

0 N N( ) : m N (x(m) , a) .

(6)

При этом пишут: lim x( m)

a .

m

Из (6) следует теорема.

Теорема 35.1. (О покоординатной сходимости).

Пусть lim x( m) a , где x(m) (x( m) , x(m) , ... , x(m) ) ; a (a , a

2

, ..., a

n

) .

m

1

2

n

1

Тогда lim x

( m) a

; lim x

( m) a

2

, . . . , lim x ( m)

a

n

.

m

1

1

m

2

m

n

2m 1

3 m

3

Пример 35.3. lim

; 1

(2;e

) .

m

m

m

Определение 35.4. Пусть

D

n и пусть любому

x (x , x

2

, ..., x

n

)

1

поставлено в соответствие действительное число u u(x1 ,

x2 ,

...,

xn );

u

1

u

4

y 5

1

2x

1

u

2

(x2 y2 1)(x2

y2 9) . Найти D(u ), D(u

) .

1

2

Пусть

z f (x, y) –

функция двух переменных. Еѐ можно изобразить

графически в виде поверхности (x, y, f (x, y)), (x, y) D( f ) .

Определение 35.5. Линией уровня функции

z f (x, y) называется

множество

точек плоскости заданных уравнением

f (x, y) C , где С –

постоянная.

Пример 35.5. z x2 y2 ,

(x , y) 2 .