Математическая статистика. В 2 ч. Ч. 1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Белорусский национальный технический университет

Кафедра «Высшая математика № 3»

В. И. Ерошевская Е. Л. Ерошевская Л. П. Минченкова

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Методическое пособие

Часть 1

Минск

БНТУ

2013

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет

Кафедра «Высшая математика № 3»

В. И. Ерошевская Е. Л. Ерошевская Л. П. Минченкова

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Методическое пособие

В 2 частях

Часть 1

Минск

БНТУ

2013

1

УДК 519.2 (075.8) ББК 22.1я7

Е78

Рецензенты:

М. В. Дубатовская, В. В. Павлов

Ерошевская, В. И.

Е78 Математическая статистика : методическое пособие : в 2 ч. / В. И. Ерошевская, Е. Л. Ерошевская, Л. П. Минченкова. – Минск :

БНТУ, 2013– . – Ч. 1. – 2013. – 49 с. ISBN 978-985-550-111-5 (Ч. 1).

Методическое пособие предназначено для помощи студентам в их самостоятельной работе при изучении темы «Математическая статистика» (часть 1).

По разделу «Математическая статистика» лекции не запланированы, поэтому в пособии рассмотрены теоретические вопросы, которые иллюстрируются примерами. К каждому практическому занятию предложены задачи для аудиторной и внеаудиторной работы, к которым даны ответы. В пособие включены теоретические вопросы для подготовки к зачету, а также таблицы значений функций, необходимые для решения задач.

2

3

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ

КЗАЧЕТУ

1.Предмет и задачи математической статистики.

2.Статистическая совокупность.

3.Генеральная совокупность. Выборка.

4.Статистическое распределение выборки.

5.Вариационные ряды, их графическое представление.

6.Эмпирическая функция распределения и ее свойства.

7.Числовые характеристики выборки.

8.Оценки параметров распределения.

9.Точечныеоценкипараметровраспределенияиихсвойства.

10.Точечные оценки для математического ожидания и дисперсии. Метод произведений для нахождения точечных оценок.

11.Интервальные оценки параметров. Доверительный интервал. Доверительная вероятность.

12.Доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины при известном среднем квадратическом отклонении.

13.Доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины при неизвестном среднем квадратическом отклонении.

14.Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения нормально распределенной случайной величины.

15.Понятие о статистических гипотезах.

16.Уровень значимости и мощность критерия.

17.Критерий согласия Пирсона.

18.Проверка гипотезы о распределении случайной величины по нормальному закону.

19.Проверка гипотезы о распределении случайной величины по равномерному закону.

20.Проверка гипотезы о распределении непрерывной случайной величины по показательному закону.

21.Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности по биноминальному закону распределения.

4

22.Проверка гипотезы о распределении случайной величины по закону Пуассона.

23.Проверка гипотезы о значении генеральной средней нормально распределенной генеральной совокупности при известной генеральной дисперсии.

24.Проверка гипотезы о значении генеральной средней нормально распределенной генеральной совокупности при неизвестной генеральной дисперсии.

25.Проверка гипотезы о равенстве двух средних нормально распределенных генеральных совокупностей с известными дисперсиями.

26.Проверка гипотезы о дисперсиях двух нормально распределенных совокупностей.

27.Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних двух нормально распределенных совокупностей при неизвестных равных генеральных дисперсиях.

28.Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости.

29.Выборочный коэффициент корреляции и его свойства. Коэффициент детерминации.

30.Линейная регрессия. Определение параметров линейной регрессии.

5

Занятие 1

ГЕНЕРАЛЬНАЯ СОВОКУПНОСТЬ. ВЫБОРКА. ВАРИАЦИОННЫЕ РЯДЫ И ИХ ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ

Краткие теоретические сведения

Статистической совокупностью называют множество предметов или явлений, объединенных каким-либо общим признаком или свойством качественного или количественного характера.

Статистическая совокупность называется генеральной, если исследованию подвергаются все ее элементы.

Выборочной совокупностью, или выборкой, называется со-

вокупность объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности.

Объемом совокупности называется число ее объектов. Объем выборки – количество объектов, входящих в выборку. Например, если из 10 000 изготовленных деталей для обследования отобрано 100, то объем генеральной совокупности

N = 10 000, объем выборки n = 100.

Статистические данные представляют собой набор значений некоторой случайной величины X, после обработки которых строятся функции, называемые статистиками, характеризующие случайную величину.

Рассмотрим выборку, извлеченную из генеральной совокупности, в которой значение х1 наблюдалось n1 раз, х2 наблюда-

k

лось n2 раз, ... , хk наблюдалось nk раз, причем ni n , где n –

i 1

объем выборки. Наблюдаемые значения хi называются вари-

антами.

Упорядочение, расположение вариант в порядке возрастания (убывания) есть ранжирование вариант ряда.

6

Числа ni называют частотами, а их отношение к объему вы-

борки – относительнымичастотами и обозначают Wi nni .

Статистическим распределением выборки называется со-

ответствие между вариантами и их частотами (или относительными частотами).

Статистическое распределение может быть задано, например, с помощью таблицы, в которой указаны варианты и соответствующие им частоты. Статистическое распределение можно задавать также указанием последовательности некоторых интервалов и соответствующих им частот (сумма частот, попавших в этот интервал).

Вариационным рядом называется ранжированный в порядке возрастания (или убывания) ряд вариант с соответствующими им частотами или относительными частотами.

Вариационный ряд называется дискретным, если любые его варианты отличаются на постоянную величину (обычно целое число).

Общий вид дискретного вариационного ряда представлен в табл. 1.1, где i 1,k .

Таблица 1.1

Вариационный ряд называется интервальным (непрерывным), если варианты могут отличаться одна от другой на сколь угодно малую величину.

Общий вид интервального вариационного ряда представлен в табл. 1.2, где i 1,l.

7

Таблица 1.2

Под частотой интервала понимают число членов совокупности, варианта которых лежит в данном интервале.

Число интервалов l следует брать не очень большим, чтобы после группировки ряд не был громоздким, и не очень малым, чтобы не потерять особенности распределения признака.

Рекомендуемое число интервалов можно найти по формуле Стерджесса:

l = 1 + 3,322 lgn,

где n – объем выборки,

а величину интервала (ширину интервала) – по формуле

h xmax xmin ,

l

где xmax xmin – разность между наибольшим и наименьшим

значениями признака, которая называется размахом выборки. Если окажется, что h – дробное число, то за длину интервала следует брать либо ближайшее целое число, либо ближай-

шую простую дробь.

При изучении вариационных рядов используется также понятие накопленной частоты niнак , которая показывает, сколь-

ко наблюдалось вариант со значением признака, меньшим x . Отношение накопленной частоты к общему числу наблю-

дений называют накопленной частостью:

8

Накопленные частоты для дискретного ряда находятся по формуле

niнак ni ni 1 ... n1 .

В случае интервального вариационного ряда накопленные частоты для каждого интервала находятся последовательным суммированием частот всех предшествующих интервалов, включая данный.

Для графического изображения вариационных рядов можно использовать полигон, гистограмму, кумулятивную кривую, огиву.

Полигон используют для изображения дискретного ряда. Для его построения в прямоугольной системе координат на-

носят точки с координатами xi , ni или ( xi , Wi). Ломаная, со-

единяющая отмеченные точки, называется полигоном распределения частот или частостей.

Гистограмма служит только для изображения интервальных вариационных рядов. Если интервалы имеют одинаковую величину, то гистограмма представляет собой ступенчатую фигуру из прямоугольников с основаниями, равными интервалам значений признака, и высотами, равными частотам (частостям) интервалов. Соединив середины верхних оснований прямоугольников отрезками прямой, получим полигон того же распределения.

Кумулятивная кривая – это кривая накопленных частот (частостей).

Для дискретного вариационного ряда кумулята – ломаная, соединяющая точки ( xi , niнак ) или ( xi , Wiнак ), i 1,k .

Для интервального ряда ломаная начинается с точки, абсцисса которой равна началу первого интервала, а ордината – накопленной частоте (частости), равной нулю. Абсциссами других точек этой ломаной являются верхние границы интервалов, а ординатами – накопленные частоты (частости) соответствующих интервалов.

9