Математика

Вариант 14

1.f(t)=

;

2. f(t)=

;

3. f(t)=

;

4. f(t)=s h t

;

5. f(t)=

;

6.

(t)=

,

8.F(p)=

;

9.y”-y’-6y=2, у(0)=1,у'(0)=0;

Вариант 15

1. f(t)=

;

2. f(t)=

;

3. f(t)=3sh

;

4. f(t)=cos5t sin3t ;

5. f(t)=

;

6.

(t)=t ,

41

8.F(p)=

p 2

;

9.y”-4y=2

;

p2

4 p 5 2

10.

Вариант 16

1.f(t)=

;

2. f(t)=

;

3. f(t)=

;

4. f(t)=

;

5. f(t)=

;

6. (t)=t ,

7. f (t) =

,

f(t+2e)=f(t);

8. F(p)=

;

9.y”-9y =2

;

10.

Вариант 17

1.

f(t)=

;

2. f(t)=

;

3. f(t)=

;

4.f(t)=ch2tcost ;

5. f(t)=

;

6. (t)=

,

7. f (t)=

,

f(t+ )=f(t);

8.F(p)=

;

9.y”+y=sin2x, y(0)=y’(0)=0;

10.

Вариант 18

1.f(t)=

; 2. f(t)=

;

3. f(t)=

;

4. f(t)=

;

5.

f(t)=

;

6.

(t)=t ,

Вариант 19

1.f(t)=

;

2. f(t)=

;

3. f(t)= +2

4. f(t)=ch2t

;

5. f(t)=

;

6. (t)=

,

Вариант 20

1.

f(t)=

;

2. f(t)=

;

3. f(t)=sh ;

4.f(t)=ch3t sin2t ;

5. f(t)=t

;

6.

(t)=

,

7. f(t)=t+1

,

f(t+1)=f(t);

8.F(p)=

;

9. y”+y’=1,

;

10.

Вариант 21

1.f(t)=

;

2.f(t)=

;

3. f(t)=

;

4. f(t)=sh t

;

5. f(t)=

;

6.

(t)=

,

7. f(t)=2

,

f(t+3)=f(t)

8. F(p)=

;

9. y”+y=

;

10.

Вариант 22

1.

f(t)=

;

2. f(t)=

;

3. f(t)=

;

4. f(t)=sh 2t

;

5. f(t) =t cos(2t+3) ;

6.

(t)=

,

7. f(t)=

,

f(t+4)=f(t);

8. F(p)=

;

9. y”-2y’+y=

;

10.

Вариант 23

1.f(t)=

;

2.f(t)=

;

3.f(t)=

;

4.f(t)=

;

5.f(t)=

;

6. (t)=

,

8.F(p)=

;

9.y’+y=

;

46

10.

Вариант 24

1.f(t)=

;

2. f(t)=

;

2.

f(t)=

4. f(t)=

;

5. f(t)=t

;

6.

(t)=

,

7. f(t)=2t

,

f(t+1)=f(t);

8.F(p)=

;

9. y’+y=

;

10.

Вариант 25

1.

f(t)=

;

2. f(t)=

;

3.

f(t)=

4. f(t)=

;

5. f(t)=

;

6.

(t)=

,

7. f(t)=

f(t+3)=f(t)

8. F(p)=

;

9. y’+y=

;

10.

47

1

2

n

2

5

3n 1

Решение. Так как

lim an

lim

n

lim

1

1

,

3n 1

1

n

n

n

3

3

n

Решение. Члены данного ряда меньше

соответствующих

1

членов ряда

,

a

1

, b

1

и

an < bn. Тогда

на

2n

n 1 2n

n

2n 1

n

1

основании (1.7),

так

как

новый

ряд

сходится,

как

2n

n 1

геометрический ряд, будет сходится и данный ряд.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда

1

2

2

3 3

n

n

3

1

5

7

2n

n n

n

1

1

l lim n an

lim n

lim

lim

;

2n 1

1

2

n

n

2n 1

n

n

2

n

Пример 4. Исследовать сходимость ряда

1

1

1

1

( 1)n 1

1

2

3

4

n

Решение. Коэффициенты степенного ряда a

1

,

n

n

an 1

1

. Найдем радиус сходимости ряда по формуле (2.2)

n 1

1

n 1

a

n

1

R lim

n

lim

lim

lim 1

1 .

n

an 1

n

1

n

n

n

n

n 1

Следовательно, ряд сходится

в интервале, в

котором –

Пример 6. Найти область сходимости ряда

(x 2)

1

(x 2)2

1

(x 2)3

1

(x 2)n

...

2

2

2

2

3

n

Решение. Коэффициенты

1

1

an

, an 1

.

n2

(n 1)2

Радиус сходимости

1

(n 1)2

1 2

a

n

2

R lim

n

lim

lim

lim 1

1 .

n

an 1

n

1

n

n2

n

n

(n 1)2

Интервал сходимости | x 2 | 1 или 1 < x < 3.

Исследуем сходимость ряда на концах промежутка.

Если x = 3, то получаем ряд 1

1

1

1

Этот ряд

2

2

2

2

3

4