Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Часть 3.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

1.69 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 319 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Решение.

ω = zi = ei Ln z ; ω(z0 )= (3i)i = ei Ln(3i);
Ln(3i)= ln	3i	+ i(arg(3i)+ 2πk)= ln3			π

					+ i	2	+ 2πk ,
		π		π			π


i ln3+i			+2πk	= e−2 −2πk +i ln3 = e−2				−2πk (cos(ln3)+ isin(ln3)), k Z .
тогда ω(z0 )= e		2

3.2 Производная ФКП. Условия Коши-Римана. Аналитические функции

Пусть функция ности точки z0 . ∆ω = мента.

ω = f (z) комплексного переменного определена в некоторой окрест- f (z0 + ∆z)− f (z0 ) – приращение функции f (z); ∆z – приращение аргу-

Определение 3.18. Производной функции f (z) в точке z0 называется конечный предел отношения приращения функции ∆ω к приращению аргумента ∆z при стремлении ∆z к нулю, то есть

f ′(z0 )= lim	∆ω =	lim		f (z0 + ∆z)− f (z0 )		.	(3.19)

∆z→0	∆z	∆z→0		∆z
Если функция ω = f (z)				имеет производную в точке z0 ,			то говорят, что функция диф-
ференцируема в точке z0 .
Если функция ω = f (z)				определена в области D C и в каждой точке этой области
f (z) дифференцируема, то говорят, что ω = f (z) дифференцируема в области D.
Выразим приращение функции					∆ω = f (z0 + ∆z)− f (z0 )		через приращение функций
u = u(x; y) и v = v(x; y): ω = f (z)= u(x; y)+iv(x; y) и ∆z = ∆x +i∆y .
Тогда
∆ω = f (z0 + ∆z)− f (z0 )= [u(x0 + ∆x, y0 + ∆y)+ iv(x0 + ∆x, y0 + ∆y)]−
−[u(x0, y0 )+ iv(x0, y0 )]= [u(x0 + ∆x, y0 + ∆y)−u(x0, y0 )]+
+ i[v(x0 + ∆x, y0 + ∆y)− v(x0, y0 )]= ∆u + i∆v,
где ∆u = u(x0 + ∆x, y0 + ∆y)−u(x0, y0 );					∆v = v(x0 + ∆x, y0 + ∆y)−v(x0, y0 ).
Значит, формулу (3.19) можно переписать в виде:
f ′(z0 )= lim	∆ω =	lim	∆u + i∆v .				(3.20)
∆x→0	∆z	∆z→0	∆x + i∆y
∆y→0

Выясним, при каких условиях ФКП будет дифференцируемой в данной точке.

Теорема 3.2. Для того, чтобы f (z)= u(x; y)+ iv(x; y) была дифференцируема в точке z0 = x0 +iy0 , необходимо и достаточно, чтобы функции u(x; y) и v(x; y) были дифференци-

руемы в точке (x0; y0 ) и в этой точке выполнялись условия Коши-Римана:

∂u

= ∂v

;

∂u

= − ∂v .

(3.21)

∂x

∂y

∂x

При этом для производной f ′(z0 ) справедливы формулы

f ′(z0 )=

∂u

∂v

= ∂v

−i

∂u

∂v

∂u

−i

∂u .

(3.22)

∂x

∂y

∂x

∂y

Доказательство. Необходимость. Пусть функция ω = f (z) дифференцируема в точке z0 . Тогда существует конечный предел

lim ∆ω .

∆z→0 ∆z

Данный предел существует и не зависит от закона стремления ∆z к нулю. Пусть ∆y = 0, ∆x → 0, значит,

f ′(z0 )=

lim

∆u

∆v

lim

∆u

lim

∆v

∂u

∂v

∆x

∂x

∆x→0

∆x

∆x→0

Так как

f ′(z0 ) существует, то

∂u

∂v

тоже существуют.

∂x

Пусть ∆x = 0, ∆y → 0 , значит,

′

∆u + i∆v

∆u

∆v

= −i lim

∆u

∆v

= −i

∂u ∂v

lim

+ lim

+ .

f (z

i∆y

∆y→0 ∆y ∆y→0

∆y

∂y ∂y

∆y→0

∆y→0 i∆y

∆y

Так как f ′(z0 ) существует, то существуют ∂u

и ∂v .

∂y

Но предел (3.19) не должен зависеть от закона стремления ∆z к нулю, значит,

∂u + i

∂v

= −i ∂u

+ ∂v .

∂x

∂y

Тогда

∂u

= ∂v и ∂u = −

∂v

, что и требовалось доказать.

∂x

∂y

∂x

Достаточность. Пусть теперь выполняются равенства (3.21) и u(x; y) и v(x; y) диф-

ференцируемы в точке (x0; y0 ). Это означает, что

∆u = ∂u ∆x + ∂u

∆y +α

∆z

∆v =

∂v ∆x +

∂v ∆y +β

∆z

, limα = 0,

limβ = 0

∂x

∂y

∂x

∂y

∆z→0

∂v

∆x +

∂v

∆z

Тогда ∆ω = ∆u + i∆v = ∂u ∆x + ∂u ∆y + i

∆y + (α + iβ)

∂x

∂y

∂x

∂y

Используя условия Коши-Римана, заменим ∂u

на

∂v

и ∂u на −

∂v

, получаем:

∂x

∂y

∂x

∆ω =

∂v

∆x −

∂v

∆x +

∂v

+(α +iβ)

∆z

∆y +i

∆y

∂y

∂x

∂y

=∂∂yv (∆x +i∆y)+ ∂∂vx (−∆y +i∆x)+(α +iβ) ∆z =

=∂∂yv (∆x +i∆y)+i ∂∂vx (∆x +i∆y)+(α +iβ) ∆z = ∂∂yv ∆z +i ∂∂vx ∆z +(α +iβ) ∆z ,

∆ω

∂v

∆z

∂v

∆z

(α + iβ)

∆z

∂v

тогда

′

lim

+ i

, что и требовалось

f (z

∆z

∂y

∆z

∂x

∆z

∂y

∂x

∆z→0

доказать.

Для функций комплексного переменного сохраняются все правила дифференцирования функции действительного переменного:

1)(f (z)+ g(z))′ = f ′(z)+ g′(z);

2)(f (z) g(z))′ = f ′(z)g(z)+ f (z)g′(z);

		f (z)	′		′	′
3)				=	f (z)g(z)− f (z)g (z)		;
						g2 (z)
	g(z)

4) (f (g(z)))′ = f ′(g(z)) g′(z).

Пример 3.9. Выяснить, являются ли следующие функции дифференцируемыми:

а)

f (z)= sin 2z +3z ;

Решение. Найдем действительную и мнимую части f (z):

(z)= sin 2z +3z =

(e2zi

− e−2zi )

+3z =

(e(2x+2iy)i − e−(2x+2iy)i )+3(x +iy)=

(e−2 y+2xi − e2 y−2xi )+3x +3iy =

(e−2 y (cos2x + isin 2x)− e2 y (cos2x −isin 2x))+3x +3iy =

= −

−2 y

cos2x +

−2 y

sin 2x +

2 y

cos2x +

2 y

sin 2x +

3x + 3iy =

1 sin 2x(e−2 y

+ e2 y )+ 3x + i 1 cos2x(e2 y − e−2 y )+ 3y .

Тогда u(x, y)=

1 sin 2x(e−2 y +e2 y )+3x;

v(x, y)=

1 cos 2x(e2 y

−e−2 y )+3y .

Проверим выполнение условий Коши-Римана:

∂u	= cos 2x(e−2 y +e2 y )+3,	∂v	= cos 2x(e2 y +e−2 y )+3,
∂x		∂y
∂u	= sin 2x(−e−2 y +e2 y ),	∂v = sin 2x(e2 y −e−2 y ).
∂y		∂x

Очевидно, что	∂u =		∂v	и	∂u	= − ∂v .
	∂x		∂y		∂y	∂x
Значит, f (z)= sin 2z +3z					дифференцируема при z C и
′	2 y		−2 y				2 y	−2 y
′		+e		)+3 +i(sin 2x(e				−e ))=
f (z)= cos 2x(e		+e		)+3 +i(sin 2x(e				−e ))=

= e2 y (cos 2x +isin 2x)+e−2 y (cos 2x −isin 2x)+3 = 2cos 2z +3.

б) f (z)= z + 2z +5 ;

Решение. Найдем действительную и мнимую части f (z):

f (z)= x −iy + 2x + 2iy +5 = 3x +iy +5 , тогда u(x, y)= 3x +5; v(x, y)= y .

Проверим выполнение условий Коши-Римана:

∂u	= 3,	∂v	=1;	∂u	= 0,	∂v	= 0 .
∂x		∂y		∂y		∂x

Очевидно, что условия не выполняются, значит, функция не дифференцируема при

z C .

Аналитические ФКП

Введем понятие аналитической функции комплексного переменного.

Определение 3.19. Функция ω = f (z) – однозначная и дифференцируемая в каждой точке области D, называется аналитической (регулярной или голоморфной) в этой области.

Либо ω = f (z) называется аналитической в области D, если в области D u′x , u′y , v′x , v′y существуют и непрерывны и выполнены условия Коши-Римана .

Пример 3.10.

а) Функция f (z)= sin 2z +3z аналитическая при z C .

б) Функция f (z)= z + 2z + 5 не является аналитической при z C .

Выясним, любая ли функция f (x, y) может служить действительной или мнимой частью некоторой аналитической функции.

Пусть дана функция f (z)= u(x, y)+iv(x, y) – аналитическая в некоторой области D. Следовательно, в точке (x, y) D выполнены условия Коши-Римана:

∂u =

∂v ;

∂u

= −

∂v .

∂x

∂y

∂x

Тогда

∂2u

∂2v

∂2u

= −

∂2v

. Значит,

∂2u

= −

∂2u

= 0 . Аналогично

∂x2

∂y∂x

∂y2

∂x∂y

∂x2

∂y

∂x2

∂y2

∂2v

∂2u

∂2v

= −

∂2u

Значит,

∂2v

= −

∂2v

= 0 .

∂y2

∂x∂y

∂x2

∂y∂x

∂y2

∂x2

∂y2

∂x2

Получили, что функции v = v(x, y) и u = u(x, y) должны удовлетворять одному и тому же дифференциальному уравнению с частными производными второго порядка, называемо-

му уравнением Лапласа:

∆u =	∂2u		+	∂2u	= 0 .	(3.23)
	∂x	2		∂y2

Определение 3.20. Функция u = u(x, y), удовлетворяющая уравнению Лапласа, назы-

вается гармонической функцией.

Вывод. Действительная и мнимая части аналитической функции являются гармониче-

скими функциями.

Определение 3.21. Две гармонические функции, удовлетворяющие условиям Коши-

Римана, называются взаимно сопряженными.

Пусть функция u = u(x, y) – гармоническая. Построим аналитическую функцию f (z)= u(x, y)+iv(x, y).

На основании условий Коши-Римана – ∂∂ux = ∂∂yv . Отсюда v = ∫∂∂ux dy + ϕ(x). Так как

∂v

∂u

∂

∂u

∂

∂u

∂x

= −

∂y

, то

∫

∂x

dy +ϕ′(x)

= −

∂y

. Тогда ϕ′(x)

= −

∂y

−

∫

∂x

dy . Откуда ϕ′(x)= g(x)

∂x

и ϕ(x)= ∫g(x)dx +C . Значит, v = v(x, y) найдена и функция

f (z) построена.

Пример 3.11. Построить, если возможно, аналитическую функцию

f (z)= u(x, y)+ iv(x, y), для которой функция v = 3ex sin y является мнимой частью.

Решение. Проверим, является ли функция v = 3ex sin y гармонической.

∂v

= 3ex sin y ∂2v = 3ex sin y;

∂v

= 3ex cos y

∂2v

= −3ex sin y .

∂x

∂y

∂y2

∂x2

Очевидно, что функция v(x, y) – гармоническая.

На основании условий Коши-Римана

∂v

= ∂u

u =

∫∂v dx +ϕ(y)= ∫3ex cos ydx +ϕ(y)= 3ex cos y +ϕ(y).

∂y

∂x

∂y

∂v

∂u

′

ϕ(y)= C .

Так как ∂y = −

∂x , то −3e

sin y

sin y;

+ϕ (y)= −3e

(y)= 0;

Значит, u(x, y)= 3ex cos y + C .

Получили f (z)= 3ex cos y +C +i 3ex sin y = 3ex (cos y +i sin y)+C = 3ez +C .

Геометрический смысл аргумента и модуля производной

Пусть

функция

ω = f (z)

аналитична

области D, z0 D, ω0 = f ′(z0 )≠ 0 ,

z = z0 + ∆z,

ω = ω0 + ∆ω.

По определению производной

f ′(z0 )= lim

∆ω

. Тогда

∆z→0

∆z

f ′(z0 )

= lim

∆ω

= k .

(3.24)

∆z

∆z→0

f ′(z0 )

Следовательно,

есть предел отношения бесконечно малого расстояния между

отображенными точками ω0 и ω к бесконечно малому расстоянию между первоначальными точками z0 и z. В силу аналитичности функции f (z) в точке z0 предел (3.24) не зависит от стремления ∆z к нулю. Следовательно, предел (3.24) – один и тот же во всех направлениях,

выходящих из точки z0 . По этой причине	f ′(z0 )	можно рассматривать геометрически как

коэффициент растяжения в точке z0	при отображении ω = f (z). При это месли

f ′(z0 ) >1, то в достаточно малой окрестности точки z0 расстояние между точками при ото-

бражении ω = f (z) увеличивается и происходит растяжение, если же f ′(z0 ) <1, то отображение приведет к сжатию.

Выясним, за что отвечает arg f ′(z0 ).

α = arg f ′(z0 )= lim arg	∆ω	=	lim (arg ∆ω−arg ∆z)= Φ −ϕ.
∆z→0	∆z		∆z→0

Значит, arg f ′(z0 ) есть угол, на который необходимо повернуть касательную к кри-

вой l в точке z0 для того, чтобы получить направление касательной к кривой L в точке ω0 .

В силу аналитичности f (z) в точке z0 угол поворота α один и тот же для всех кривых l, проходящих через z0 .

Определение 3.21. Отображение окрестности точки z0 на окрестность точки ω0 , осуществляемое аналитической функцией ω = f (z), f ′(z0 )≠ 0 , обладает в точке z0 свойством сохранения углов (консерватизмом) и постоянством растяжений. Такое отображение называется конформным отображением в точке z0 .

Пример 3.12. Найдите угол поворота α и коэффициент растяжения k при отображе-

нии с помощью аналитической функции f (z)= 4z2 +8iz в точке z0 =1.

Решение. Так как f (z)= 4z2 +8iz – аналитическая функция в точке z0 =1, то

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 319 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.20252.23 Mб1Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf
#
24.11.20252.43 Mб0Математика. Часть 1.pdf
#
28.12.20251.69 Mб0Математика. Часть 2-1.pdf
#
24.11.20254.84 Mб1Математика. Часть 2.pdf
#
24.11.20251.69 Mб1Математика. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.6 Mб0Математика.pdf
#
28.12.20252.17 Mб0Математика_1.pdf
#
28.12.20251.51 Mб0Математика_2.pdf
#
28.12.2025883.18 Кб0Математика_3.pdf
#
28.12.2025921.92 Кб0Математика_4.pdf