2.4 Разложение в ряд Фурье функции с произвольным периодом

2.5 Интеграл Фурье

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Часть 3.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

1.69 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 318 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Пример 2.2. Разложить в ряд Фурье функцию:

f (x) x, x (− π;π);

= 2π − период. .

Решение. Функция f (x), очевидно, удовлетворяет условиям Дирихле и является нечетной. Тогда по последней теореме будет

a0 = 0; an = 0; n N;

2 π

f (x)sin nxdx =

n+1

−

cos nx

sin nx

−

cos πn =

(−1)

, n N.

π ∫

Ряд Фурье – неполный, он содержит только синусы:

∞

n+1

sin x

sin 2x

sin 3x

f (x)= ∑

(−1)

sin nx = 2

−

− .

n=1n

Равенство (2.19) верно в точках непрерывности функции

f (x), то есть x ≠ π+ 2πk ,

где k – целые числа.

Пусть дана функция

f (x), заданная на промежутке [−l,l]

с периодом 2l. Разложим

эту функцию в ряд Фурье, для чего сделаем замену:

x =

x [−l,l];

t [− π, π].

Тогда функция

t , аргумента t, – периодическая с периодом 2π, удовлетворяю-

щая условиям теоремы разложения. Следовательно, ее можно разложить в ряд Фурье:

l
f		t	=
	π

где

1 π a0 = π −π∫

∞

+ ∑an cos nt +bn sin nt ,

n=1

1 π

t dt,

t cosntdt,

t sin ntdt .

π −π∫

Переходя в этих формулах к старой переменной x, полагая

t =

π x,

dt = π dx,

t = π x = l,

t = −π x = −l ,

получаем

f (x)=

∞

nπx

+ ∑an cos

+bn sin

(2.20)

n=1

где

a		l	∫	f (x)dx ,			(2.21)
a	= 1 l			f (x)dx ,			(2.21)
0			−l
			−l
an =		1 l		nπx			(2.22)
an =		l	∫	f (x)cos	l	dx ,	(2.22)
		l	∫		l
			−l
bn	=	1 l		nπx			(2.23)
bn	=	l	∫	f (x)sin	l	dx .	(2.23)
		l	∫		l
			−l

Замечание. Все остальные положения, которые имели место для рядов Фурье от периодической функции с периодом 2π, остаются справедливыми и для рядов Фурье от периодической функции с периодом 2l.

Пример 2.3. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f (x)= x , с периодом

2l, на отрезке [−l,l].

Решение. Функция f (x)= x – четная, значит, bn = 0 . Ее график имеет вид

Рисунок 2.3

Учитывая, что функция f (x)= x является симметричной, находим:

2 l

f (x)dx

2 l

xdx =

= l,

∫

2 l

nπx

2 l

nπx

x = u

nπx

dx = du

∫

f (x)cos

dx =

l ∫

xcos

dx =

nπx

dv = cos

sin

nπ

nπx

l 2

nπx

[cos(nπ)− cos0]=

sin

−

∫sin

cos

nπ

l nπ

[(−1)n −1].

n2π2

Тогда

f (x)=

на отрезке [−l,l] представлена в виде следующего ряда Фурье:

∞

nπx

+ ∑

[(−1)

−1]cos

n=1n2π2

Учитывая, что (−1)n −1 = 0,

− 2,

							(2k +1)πx
		l		4l	∞	cos
							l
x	=		−		∑			.

				n2		(2k +1)2
	2				n=0

при	n = 2k	окончательно получаем:
при	n = 2k +1	окончательно получаем:

Рассмотрим теперь разложение функции в ряд Фурье, заданной на полуинтервале [0,π]. Пусть функция f1(x) задана на отрезке [0,π] и ее требуется разложить в тригонометрический ряд. Мы можем произвольно продолжить функцию f2 (x) на отрезке [−π,0], но так, чтобы продолженная функция f1(x) на отрезке [0,π] совпадала с функцией f2 (x) на отрезке

f	(x),	x [−π,0]
[− π,0]. Получили функцию F(x)= f	2(x),	x [0,π]	.
1
Разлагая функцию F(x) на отрезке [−π, π] в ряд Фурье, получаем искомый ряд, пред-
ставляющий в интервале [0,π] функцию		f1(x). При этом совершенно неважно, что этот ряд

на отрезке [−π,0] представляет совершенно другую функцию, по существу отличную от f1(x).

Если функцию f1(x) продолжить на отрезок [−π,0] четно, то есть график функции продолжить симметрично относительно оси Oy, то вновь полученная функция F(x) в этом случае будет четной и ее ряд Фурье будет состоять только из косинусов. Если же f1(x) продолжить на отрезок [−π,0] нечетно, то есть график ее продолжить симметрично относительно начала координат, то вновь получившаяся функция будет состоять только из синусов.

Вывод. Если функцию f1(x), заданную на отрезке [0,π] можно разложить в ряд Фурье, то таких ее разложений существует бесконечное множество. Значит, можно составить сколько угодно сходящихся рядов, представляющих на отрезке [0,π] одну и ту же функцию f (x), а на отрезке [−π,0] – самые разнообразные функции.

Пример 2.4. Разложить в ряд Фурье функцию				f (x)=	π− x	на отрезке [0,π] по коси-
Пример 2.4. Разложить в ряд Фурье функцию				f (x)=	2	на отрезке [0,π] по коси-
					2
нусам.
Решение. Чтобы функцию	f (x)=	π− x	, заданную на отрезке [0,π] разложить в ряд
Решение. Чтобы функцию	f (x)=	2	, заданную на отрезке [0,π] разложить в ряд
		2

Фурье по косинусам, необходимо доопределить функцию четным образом на отрезке [−π,0], то есть

f (x)= π−2 x .

Ее график симметричен относительно оси Oy

Рисунок 2.4

Найдем коэффициенты ряда Фурье a0 и an , учитывая симметрию:

a0 = π2 an = π2

=1 π π n

2 l

π − x

π2

∫ f (x)dx =

∫

dx =

∫dx −

∫xdx

−

nπx

π − x

∫ f (x)cos

dx =

∫

cosnxdx =

π∫cosnxdx − ∫xcosnxdx

xsin nx

− cosnx

sin nx

−

∫sin nxdx

− (−1)

Тогда

f (x)=

π− x

x [0,π] представима в виде следующего ряда Фурье:

π − x

∑∞

[1− (−1)n ]cosnx

π n=1

Учитывая, что 1−(−1)n = 0, n = 2k

окончательно получаем:

2, n = 2k +1

π − x

∞

cos((2k +1)x).

∑

π k =0(2k +1)2

ω = Arcsin z = −i Ln iz +

Пусть функция f (x) определена и абсолютно интегрируема на бесконечном интервале (−∞;+∞), то есть существует

∞

∫ f (x)dx = Q .

−∞

И пусть функция f (x) такова, что она разлагается на любом интервале [−l,l] в ряд

Фурье

f (x)= a20 + n∑∞ an cos nπl x +bn sin nπl x ,

где

1 l

nπt

∫

(t)cos

−l

1 l

nπt

∫

(t)sin

−l

Подставляя в ряд Фурье выражения an

и bn , получаем

∞

f (x)=

∫ f (t)dt +

(t)cos

nπt

nπx

∫ f (t)sin

nπt

nπx

∫ f

cos

sin

∑

−l

n=1

−l

(2.24)

∞

−l

nπt

nπx

nπt

nπx

∫ f (t)dt +

∑

∫ f (t) cos

cos

+sin

sin

dt.

−l

n=1

−l

Учитывая, что cosαcosβ+sin αsinβ = cos(α −β), окончательно получим:

1 l

∞ l

nπ(t − x)

f (x)= 2l

∫ f (t)dt + l

∑

∫ f (t)cos

dt .

(2.25)

−l

n=1 −l

Обозначим α = π;

2π

; ;

= πn . Тогда

∞

f (x)=

∫ f (t)dt +

∑

∫ f (t)cos(αn (t − x))dt

dα,

(2.26)

−l

n=1

−l

где dα = αn −αn−1 =

. При l → ∞ первый член в правой части → 0 . Действительно

∞

∫ f

(t)dt

≤

∫

f (t)

dt <

∫

f (t)

dt =

Q → 0

−l

−∞

при l → ∞.

Если f (x) – кусочно-монотонна на каждом конечном интервале и ограничена на бесконечном интервале, а также удовлетворяет условию

+∞
∫		f (x)dx			= Q , то при l → ∞ формула (1) примет вид
∫		f (x)dx			= Q , то при l → ∞ формула (1) примет вид
−∞
	(x)=		1	∞			+∞
f	(x)=		1	∫			∫	f (t)cos(α(t − x))dt	dα.	(2.27)
			π	0
				0		−∞
Выражение, стоящее справа, – интеграл Фурье для функции										f (x). Равенство (2.27)

имеет место с любым периодом, где функция f (x) непрерывна. Интеграл Фурье функции f (x) сходится к этой функции всюду, кроме, быть может, точек разрыва xk , где он дает зна-

чение, равное 1		lim	f (x)+ lim	f (x) .
2			x→xk+0
2	x→xk−0		x→xk+0

Преобразуем внутренний интеграл, стоящий в правой части равенства (2.27), для чего раскроем скобки по формуле

cos(α(t − α))= cosαt cosαx + sin αt sin αx .

Вынося в (2.27) cosαx и sin αx за знаки интегралов, вычисляемых по t, получаем

+∞

(x)=

∫

∫ f (t)cosαtdt cosαx dα +

∫

∫ f

(t)sin αtdt sin αx dα .

(2.28)

−∞

Каждый из интегралов по t существует, так как

f (t) абсолютно интегрируема на ин-

тервале

(−∞;+∞),

следовательно, абсолютно

интегрируемы и функции

f (t)cosαt

f (t)sin αt .

Обозначим

+∞

A(α)=

∫ f

(t)cosαtdt; B(α)=

∫ f (t)sin αtdt .

(2.29)

−∞

Тогда (2.28) примет вид

(x)=

∞∫[A(α) cosαx + B(α) sin αx] dα.

(2.30)

Частные случаи

1) Если

f (t) – четная функция, то f (t)cosαt

– четная функция, а f (t)sin αt – нечет-

ная. В этом случае

+∞

∫ f (t)cosαtdt = 2 ∫ f (t)cosαtdt,

∫ f (t)sin αtdt = 0 .

−∞

Формула (2.28) примет вид

+∞

(x)=

∫

∫ f (t)cosαtdt

cosαxdα .

(2.31)

2) Если

f (t) – нечетная функция, то f (t)cosαt

– нечетная функция, а

f (t)sin αt –

четная. Тогда формула (2.28) примет вид

+∞

(x)=

∫

∫ f (t)sin αtdt

sin αxdα.

(2.32)

помощью

формул

Эйлера

eiy

= cos y +isin y, e−iy = cos y −isin y

или

cos y =

eiy +e−iy

; sin y =

eiy

−e−iy

из формул (2.30) получается комплексная форма интеграла

Фурье:

	1	+∞
f (x)=	1	∫e−iαxdα∞∫ f (t)eiαtdt .			(2.33)
f (x)=	2π	∫e−iαxdα∞∫ f (t)eiαtdt .			(2.33)
	2π	−∞	0
			0,	при	x < 0
Пример 2.5. Представить функцию f (x)= πx,				при	0 ≤ x ≤ 2 в виде интеграла Фу-
				при	x > 2
			0,	при	x > 2

рье.

Решение. Найдем коэффициенты A(α) и B(α) по формулам(2.29):

A(α)=

+∞

0+∞

∫ f (t)cosαtdt =

∫0 cosαtdt + π∫t cosαtdt +

∫0 cosαtdt

−∞

t sin αt

cosαt

2sin 2α

cos2α

−

2αsin 2α + cos2α −

;

α2

t=0

+∞

−t cosαt

sin

αt

B(α)=

∫ f (t)sin αtdt = ∫t sin αtdt =

−∞

− 2cos2α

+ sin 2α

= sin 2α − 2αcos2α.

α2

Тогда

f (x)

примет вид:

+∞ (2αsin 2α + cos2α −1)cosαx + (sin 2α − 2αcos2α)sin αx

f (x)= ∫

dα.

Это равенство справедливо, то есть полученный интеграл сходится к функции f (x) на всей числовой оси, кроме точки x = 2 , в которой эта функция разрывна. В точке x = 2 ин-

теграл равен	1		lim 0 +	lim		= π, тогда как	f (2)= 2π.
	2				πx
		x→2−0		x→2+0

Решение будет короче, если воспользоваться комплексной формой (2.33) интеграла Фурье:

+∞

f (x)=

∫e−iαxdα+∫∞ f (t)eiαtdt =

∫e−iαxdα∫teiαtdt =

2π

−∞

+∞ teiαt

eiαt

−iαx

+∞ e2iα(1

− 2iα)−1

−iαx

∫

−

dα =

∫

dα.

iα

−∞

Естественно, что представление данной функции интегралом Фурье в комплексной форме и полученное до этого представление ее интегралом Фурье в обычной форме, отличаются только по форме и могут быть преобразованы одно в другое с помощью формул Эйлера.

3 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТФКП) 3.1 Основные понятия. Функция комплексной переменной (ФКП).

Основные элементарные ФКП

3.1.1 Области в комплексной плоскости

Пусть C – комплексная плоскость.

Определение 3.1. Пусть точки z = x +iy

и z0 = x0 +iy0 принадлежат C, тогда рас-

стояние между точками z и z0 вычисляется по формуле

ρ(z

; z)=

z − z

(x − x )2 +(y − y

(3.1)

Известно, что уравнение окружности с центром в точке (x0; y0 ) и радиусом R имеет

вид: (x − x

+(y − y

)2 = R2 , тогда, исходя из равенства (3.1), уравнение окружности с цен-

тром в точке z0 и радиусом R имеет вид:

z − z0

= R .

(3.2)

Значит, множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих неравенству

z − z0

≤ R

(3.3)

определяет круг с центром в точке z0 и радиусом R.

Определение 3.2. ε-окрестность точки z0

– это множество точек комплексной плос-

кости C, удовлетворяющих неравенству

z − z0

< ε.

(3.4)

Рисунок 3.1

Рассмотрим множество D C точек z = x + iy комплексной плоскости.

Определение 3.3. Точка z D называется внутренней точкой множества D, если существует ε-окрестность точки z, целиком содержащаяся в D.

Точка z1 D называется граничной точкой множества D, если в любой ε-окрестность точки z1 существуют точки, как принадлежащие, так и не принадлежащие множеству D.

Совокупность всех граничных точек множества D называется границей множества D.

Определение 3.4. Множество D называется открытым, если все его точки – внутренние.

Множество D с присоединенной к нему границей называется замкнутым.

Определение 3.5. Пусть ϕ(t) и ψ(t) – действительные непрерывные функции переменной t, t [t1;t2 ]. Тогда уравнение z(t)= ϕ(t)+iψ(t), t [t1;t2 ] является параметрическим уравнением непрерывной кривой L в комплексной плоскости C. Если ϕ(t) и ψ(t) имеют не-

прерывные производные, причем (ϕ′(t))2 +(ψ′(t))2 ≠ 0, t [t1;t2 ], то кривая L называется глад-

кой.

Определение 3.6. Множество D называется связным, если две любые его точки мо ж- но соединить гладкой кривой, полностью состоящей из точек множества D.

Определение 3.7. Областью называется открытое связное множество D.

Пример 3.1.

а)		z +i	<1 – открытый круг с центром в точке z0 = −i и радиусом 1 – область.

б)	Im z Re z < 0 y x < 0 – не является областью, так как нарушено условие связно-

сти.

Рисунок 3.2

Определение 3.8. Область с присоединенной к ней границей называется замкнутой и обозначается D .

Определение 3.9. Область D называется односвязной, если ее граница является связным множеством. В противном случае область D называется многосвязной.

Пример 3.2. Описать следующие множества:

а) z + 2 < 2 – открытый круг с центром в точке z0 = −2 и радиусом 2 – область.

Рисунок 3.3

б) 0 ≤ Re z ≤ 2 – полоса, расположенная между прямыми 0 ≤ x ≤ 2, x = 0, x = 2 , – не является областью, так как нарушено условие открытости.

Рисунок 3.4

Определение 3.10. Комплексная плоскость C, содержащая точку z = ∞ называется

расширенной комплексной плоскостью и обозначается C .

3.1.2 Определение функции комплексной переменной (ФКП). Предел и непрерывность ФКП

Определение 3.11. Если каждому комплексному числу z, принадлежащему области D, поставлено в соответствие некоторое комплексное число ω, то говорят, что в области D оп-

ределена функция комплексного переменного.
ω = f (z).	(3.5)
Область D называется областью определения функции f (z).
Множество E всех значений ω, которое f (z) принимает при	z D называется мно-
жеством значений функции f (z).

Пусть z = x + iy и ω = u +iv , тогда ω = f (z)= f (x +iy)= u(x; y)+iv(x; y), причем
Re f (z)= u(x; y) – действительная часть f (z).	(3.6)
Im f (z)= v(x; y) – мнимая часть f (z).	(3.7)

Таким образом, задание функции (3.5) равносильно заданию двух функций (3.6) и (3.7) от двух действительных переменных.

Определение 3.12. Функция ω = f (z) называется однозначной (однолистной) в облас-

ти D, если для любых z1 D и z2 D таких, что z1 ≠ z2	верно f (z1)≠ f (z2 ).
Определение 3.13. Говорят, что в области	определена многозначная функция

ω = f (z), если любому z D поставлено в соответствие несколько комплексных чисел ω.

Пример 3.3. Вычислить f (2 +3i), если f (z)= x2 − y2i .

Решение. f (z)= x2 − y2i = [x = 2, y = 3]= 22 −32 i = 4 −9i .

Пример 3.4. Найти действительную и мнимую части функции f (z)= 2iz2 + z . Решение. Пусть z = x + iy , тогда

f (z)= 2i(x +iy)2 +(x −iy)= 2i(x2 − y2 + 2xyi)+ x −iy = 2ix2 −2iy2 −4xy + x −iy =.
= (x −4xy)+i(2x2 −2y2 − y)
Значит, Re f (z)= x − 4xy;																								Im f (z)= 2x2 − 2y2 − y .
Пример 3.5. Вычислить																							f (i), если ω = f (z)=													+		.
Пример 3.5. Вычислить																							f (i), если ω = f (z)=												2	+	z	.
Решение.							i		=1; argi = π/ 2 , тогда
Решение.							i		=1; argi = π/ 2 , тогда
											π			+ 2πk														π
														+ 2πk																	+ 2πk
												2									+isin							2
ωk		=	2									2																2

						+cos							2																		2			, k = 0,1;
													2																		2


											π													π				+ πk
ωk		=	2								π													π
ωk		=	2			+cos							+ πk						+isin						4								, k = 0,1; .
											4														4
								+			+i							=		3				+i								;
ω =									2							2						2							2
					2				2							2						2							2
					2
0						2							2								2							2
						2							2								2							2
ω =						−		2		−i					2		=				2		−i				2			.
				2				2							2						2						2
				2
1						2							2						2							2
						2							2						2							2
Значению z = i														соответствуют два значения функции: ω0 и																									ω1 , значит, функция
f (z)=		+				– многозначная.
f (z)=	2	+		z		– многозначная.
Определение 3.14. Число A ≠ ∞ называется пределом функции																																							f (z) при z → z0 , если
для ε > 0			δ(ε)> 0 такое,																	что для всех z, удовлетворяющих неравенству 0 <																				z − z0	< δ ,
для ε > 0			δ(ε)> 0 такое,																	что для всех z, удовлетворяющих неравенству 0 <																				z − z0	< δ ,

выполнено неравенство f (z)− A < ε и обозначается

lim f (z)= A.

z→z0

Определение 3.15. Число A = ∞ называется пределом функции f (z) при z → z0 , ес-

ли для R > 0 δ(ε)> 0 такое, что для всех z, удовлетворяющих неравенству 0 < z − z0 < δ ,

выполнено неравенство f (z) > R и обозначается

lim f (z)= ∞.

z→z0

Замечание. Выражение z → z0 означает, что z → z0 по любому пути от z до z0 . Су-

ществование предела по фиксированному пути от точки z → z0 до z0 не означает существования предела функции f (z) при z → z0 .

Рисунок 3.5
Теорема 3.1. Если существует lim	f (z)= A +iB , то существуют lim u(x, y)= A и
z→z0		z→z0
lim v(x, y)= B .
z→z0
Определение 3.16. Пусть функция	f (z) определена в точке	z0 и ее окрестности.
Функция f (z) называется непрерывной в конечной точке z0 , если lim		f (z)= f (z0 ).
	z→z0

Определение 3.17. Если функция f (z) непрерывна в каждой точке области D, то она называется непрерывной в области D.

Точками разрыва называют точки, в которых нарушаются условия непрерывности

функции.
На основании	теоремы имеет, что если	lim f (z)= A +iB = f (z0 ), то
		z→z0
lim u(x, y)= u(x0; y0 ) и	lim v(x, y)= v(x0; y0 ).
x→x0	x→x0
y→y0	y→y0

Следовательно, если f (z) непрерывна в конечной точке z0 , то u(x, y) и v(x, y) не-

прерывны в точке (x0; y0 ).

Известные теоремы для непрерывности функций действительного переменного справедливы и для ФКП.

Пример 3.6. Вычислить

lim

z2 + 2z + 5

lim

(z +1− 2i)(z +1+ 2i)

= 4i .

z +1− 2i

z +1

− 2i

z→−1+2i

3.1.3 Основные элементарные ФКП

Под элементарными ФКП понимаются обычно следующие функции:

1)f (z)= az +b, (a,b C) – линейная функция;

2)f (z)= zn, (n C) – степенная функция;

3)f (z)= czaz ++db , (a,b,c,d C) – дробно-линейная функция;

	f (z)=	a zn + a zn−1				+ + a	n
4)			0	1			n	– общая рациональная функция;
4)		b zm +b zm−1				+ +b		– общая рациональная функция;
		b zm +b zm−1				+ +b
		0		1		m
5)	f (z)=	1		1	– функция Жуковского.
5)	f (z)=	2	z +		– функция Жуковского.
		2		z

6) Показательная функция ω = ez .
Пусть z = x +iy , тогда
ω = ez = ex+iy = ex eiy = ex (cos y +isin y).			(3.8)
Из формулы (3.8) очевидно, что
	ez	= ex; argez = y .	(3.9)

Свойства показательной функции

а) ez1 +z2 = ez1 ez2 ;

ez1 +z2 = ex1 +iy1 +x2 +iy2 = ex1 +iy1 ex2 +iy2 = ez1 ez2 ;

б) ez1 −z2 =	ez1	;
	ez2

в) ez = ez+2πki ,	k Z ;
ez+2πki = ex+iy+2πki = ex+i(y+2πk ) = ex (cos(y + 2πk)+isin(y + 2πk))= ex (cos y +isin y)= ez .
Следовательно,	функция ω = ez является периодической с чисто мнимым периодом

2πi. Тогда

Argez = y + 2πk .

(3.10)

г) Функция ω = ez непрерывна при z C .

7) Логарифмическая функция ω = Ln z .

Данная функция определяется как функция, обратная показательной. Число ω называ-

ется логарифмом числа z, если eω = z .

Пусть

z = re−iϕ,

ω = u +iv ,

тогда

eu+iv = r eiϕ .

Значит,

v = ϕ+ 2πk,

r = eu u = ln r = ln

. Следовательно,

ω = Ln z = ln

+ i(ϕ+ 2πk)= ln

+ i(arg z + 2πk),

k Z .

(3.11)

Формула (3.11) показывает, что логарифмическая функция комплексного аргумента имеет бесконечно много значений, то есть является многозначной. Выражение при k = 0 :

ln z = ln		z		+i arg z – главное значение логарифмической функции.	(3.12)

Тогда

Ln z = ln z + 2πki .

Свойства логарифмической функции

а) Ln(z1, z2 )= Ln z1 + Ln z2 ;		z1
		z1	= Ln z1 −Ln z2 ;

	б) Ln
	z2
в) Ln zn = n Ln z, n N ;		1	1
в) Ln zn = n Ln z, n N ;	г) Ln z n =		1	Ln z,	n N .
			n

8) Тригонометрические функции:

sin z =	eiz −e−iz	; cos z =	eiz +e−iz	; tg z =	sin z	; ctg z =	cos z	.
	2i		2i		cos z		sin z

(3.13)

(3.14)

Функции sin z и cos z имеют период 2π, функции tg z и ctg z имеют период π. Все известные тригонометрические тождества для тригонометрических функций действительного аргумента остаются в силе и для тригонометрических функций (3.14).

9) Обратные тригонометрические функции определяются как функции, обратные по отношению к тригонометрическим.

Число ω называется арксинусом числа z, если z = sin ω и обозначается

ω = Arcsin z .
Значит,	z = sin ω = eiω −e−iω	или e2iω −2izeiω −1 = 0 .
	2i

Решая	это уравнение относительно eiω , получаем: eiω = iz +		1− z2	, тогда

eiω = Ln iz + 1− z2 . Таким образом,

Аналогично определяются другие обратные тригонометрические функции:


	1	− z	2
Arccos z = −i Ln z +	1	− z		;

Arctg z = −

1+iz

;

(3.16)

1−iz

Arcctg z =

z −i

z +i

10) Гиперболические функции:

sh z =

ez −e−z

;

ch z =

ez +e−z

;

th z =

sh z

; cth z =

ch z

. .

(3.17)

ch z

sh z

Функции sh z

и ch z – периодические с периодом 2πi; th z и cth z

имеют период πi.

Связь между гиперболическими и тригонометрическими функциями

sh z = −isin iz;

ch z = cosiz;

(3.18)

th z = −i tgiz;

cth z = −i ctgiz.

11) Общая степенная функция ω = za ,

a C .

ω = za = ea Ln z

– многозначная функция.

Главное значение – ealn z .

	1	1				arg z+2πk
					ei	n
Если a =		, n N , то получаем ω = z n	= n z = n	z


	n
	n

, k [0,n −1].

12) Общая показательная функция ω = az , a C

ω = az = ez Ln a , a C – многозначная функция.

Главное значение – ez ln a .

Пример 3.7.

Вычислить значение функции ω = Ln z в точке z0 = −1+ i .

Решение.

−1+ i

arg z0 =

3π

, тогда

3π

ω(z0 )= Ln z0

+ i(arg z0

+ 2πk)= Ln

= ln

2 + i

+ 2πk ,

k Z .

Пример 3.8.

Вычислить значение функции ω = zi

в точке z0 = 3i .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 318 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.20252.23 Mб1Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf
#
24.11.20252.43 Mб0Математика. Часть 1.pdf
#
28.12.20251.69 Mб0Математика. Часть 2-1.pdf
#
24.11.20254.84 Mб1Математика. Часть 2.pdf
#
24.11.20251.69 Mб1Математика. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.6 Mб0Математика.pdf
#
28.12.20252.17 Mб0Математика_1.pdf
#
28.12.20251.51 Mб0Математика_2.pdf
#
28.12.2025883.18 Кб0Математика_3.pdf
#
28.12.2025921.92 Кб0Математика_4.pdf