Подставляя найденные значения в (1.38), получаем y(x) = 12 + 14 x + 18 x2 + 1948 x3 + .

2РЯД ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

2.1Ортогональная и ортонормированная система функций. Тригонометрическая система функций

Определение 2.1. Система функций {ϕn (x)}∞n=0 = {ϕ0 (x);ϕ1(x);ϕ2 (x); ;ϕn (x); }, заданных на отрезке [a;b], называется ортогональной на [a;b], если существуют конечные интегралы

Определение 2.2. Если в последнем равенстве будет dn =1 для n = 0,1,2, , то ортогональная система функций {ϕn (x)} называется ортонормированной на отрезке [a;b].

Лемма 2.1. Система функций {1;cos x;sin x;cos2x;sin 2x;sin 3x;cos3x; }, называемая

тригонометрической системой, является ортогональной на отрезке [− π;π].

Доказательство. Очевидно, что интеграл вида (2.1) для функций из тригонометрической системы существует. Покажем выполнение условий (2.1) в данном случае:

В свою очередь интегралы от квадратов функций из тригонометрической системы

равны:

28

называемая нормированной тригонометрической системой, является ортонормированной на отрезке [− π;π].

Доказательство. То, что система (2.4) ортогональна, следует из равенств (2.2), которые не изменятся, если обе их части разделить на 2π или π .

(2.3), везде будут единицы. Значит, ортонормированность системы (2.4) доказана. Замечание. 2.1. Свойством ортогональности могут обладать не только тригонометри-

ческие функции. Например, на отрезке [−1;1] ортогональной системой функции является система {P0 (x); P1(x); P2 (x); P3(x); } так называемых многочленов Лежандра, играющих важную роль в математике и физике:

сходится, то его сумма S(x) есть периодическая функция с периодом 2π, поскольку sin nx и cos nx (n N ) являются периодическими с периодом 2π.

Поставим задачу:

29

1) Пусть задана некоторая периодическая функция f (x) с периодом T = 2π. При каких условиях f (x) можно записать в виде суммы тригонометрического ряда (2.5), то есть

2) В каких точках x R верно равенство (2.6)?

Ответ на эти вопросы дает следующая теорема:

Теорема 2.1 (Дирихле; достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье).

Пусть 2π-периодическая функция f (x) на отрезке [− π,π] удовлетворяет двум усло-

виям:

1)f (x) – кусочно-непрерывна, то есть непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода;

2)f (x) – кусочно-монотонна, то есть либо монотонна на всем отрезке, либо этот

отрезок можно разбить на конечное число промежутков так, что на каждом из них функция монотонна.

Тогда

1) в точках непрерывности функции f (x) верно равенство (2.6) (называемое формулой разложения f (x) в ряд Фурье), то есть сумма S(x) ряда (2.6) совпадает с функцией

f(x): S(x)= f (x);

2)коэффициенты ряда (2.6) ( – так называемые коэффициенты Фурье) находятся по формулам

то есть сумма ряда равна среднему арифметическому пределов f (x) слева и справа в этой точке.

30

Замечание 2.2:

1) Теорема Дирихле дает лишь достаточное условие разложимости f (x) в ряд Фурье; необходимым это условие не является: существуют функции, разложимые в ряд Фурье, но не удовлетворяющие условиям Дирихле.

2) Условиям Дирихле удовлетворяет большинство функций, которые встречаются в математике и ее приложениях.

Доказательство формул (2.7) – (2.9) для коэффициентов Фурье. а) Проинтегрируем обе части равенства (2.6) на отрезке [− π,π]:

Ранее (формулы (2.2)) мы получили, что все интегралы в последнем равенстве, кроме

π

∫1 dx = 2π , равны нулю. Поэтому

−π

Из формул (2.2) и (2.3), доказанных ранее, следует, что справа в последнем равенстве все интегралы равны нулю, кроме

π

∫cos nx cos kx dx = π при k = n .

−π

Тогда из равенства (2.10) имеем:

π

∫ f (x)cosnxdx = an π,

−π

откуда следует равенство (2.8).

в) Формула (2.9) доказывается аналогично формуле (2.8): для этого обе части равенства (2.6) надо умножить на sin kx, k N , после чего проинтегрировать на отрезке [− π,π].

Пример 2.1. Разложить в ряд Фурье функцию:

2π − период.

31

Решение. Искомое разложение имеет вид (2.6); коэффициенты Фурье ищем по фор-

мулам (2.7) – (2.9):

Рисунок 2.1

32

Приведем следующие два утверждения, позволяющие в ряде случаев упрощать поиск коэффициентов Фурье:

Лемма 2.2. Интеграл от периодической функции ϕ(x) по любому отрезку длиной в период T всегда имеет одно и то же значение:

(здесь a, b – любые числа; b > a для определенности). Доказательство. Покажем на оси OX отрезки интегрирования:

Рисунок 2.2

Равенство (2.12) доказано.

Замечание 2.4. Лемма 2.2 позволяет упрощать поиск коэффициентов Фурье путем

выбора оптимального отрезка интегрирования в конкретных примерах.

Лемма 2.3. Пусть ϕ(x) – интегрируемая функция на симметричном отрезке [−a a;], a

– число, a > 0 . Тогда:

1) если ϕ(x) – нечетная функция, то

Доказательство.

1) Дано: ϕ(x) – нечетная функция. Тогда

33

Итак, равенство (2.13) доказано.

3) Равенство (2.14) доказывается аналогично.

Теорема 2.2 (о разложении в ряд Фурье четных и нечетных функций).

Пусть 2π-периодическая функция f (x) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле.

Тогда:

1) Если f (x) – четная, то ее разложение в ряд Фурье таково:

ная функция.

То есть из формул (2.7) – (2.9) и леммы 2.3 получаем справедливость формул (2.15) –

(2.18).

Замечание 2.4. Ряды (2.15) и (2.17) называются рядами Фурье по косинусам и синусам соответственно (или – неполными тригонометрическими рядами).

34