1.7Применение рядов в приближенных вычислениях

1.7.1.Приближенное вычисление определенных интегралов

Ряды часто применяют для приближенного вычисления определенных интегралов, когда нахождение первообразной затруднительно.

Рассмотрим интеграл ∫b f (x)dx . Пусть по дынтегральная функция разлагается в сте-

a

пенной ряд по степеням x , интервал сходимости полученного ряда включает в себя отрезок [a,b]. Тогда исходная подынтегральная функция будет представлять собой сумму (разность) степенных функций. Воспользовавшись свойством почленного интегрирования степенных

25

рядов, вычислить исходный интеграл не составит труда. Для оценки погрешности вычислений проводят оценку остатка ряда. Если полученный после интегрирования ряд является знакочередующимся, то для оценки остатка ряда можно воспользоваться признаком Лейбница, согласно которому остаток ряда не превосходит первого отброшенного члена. Для знакоположительного ряда обычно находят новый ряд с большими членами, который бы легко суммировался и в качестве оценки остатка ряда используют величину остатка нового ряда.

Пример 1.16. Вычислить интеграл 1∫/ 4 sin xdx с точностью ε = 0,00001.

0 x

Воспользуемся разложением функции f (x) = sin x в ряд Маклорена:

Полученный ряд является знакочередующимся. Третий член по модулю меньше заданной точности. Значит, достаточно взять два слагаемых

1∫/ 4 sin dx ≈ 0,25 −0,00087 = 0,24913.

0 x

1.7.2. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов

Интегрирование многих дифференциальных уравнений не приводится к квадратурам, а их решения не выражаются в элементарных функциях. Решения некоторых из этих уравнений могут быть представлены в виде степенных рядов, сходящихся в определенных интервалах. В таких случаях ряд, являющийся решением дифференциального уравнения, можно найти или методом неопределенных коэффициентов или методом, основанным на применении ряда Тейлора.

1) Метод неопределенных коэффициентов.

Пример 1.17. Найти в виде степенного ряда решение дифференциального уравнения y′′− xy = 0, y(0) =1, y′(0) = 0.

Решение. Записываем искомое решение в виде ряда по степеням x , так как x0 = 0

26

Находим производные

y′ = C1 + 2C2x + 3C3x2 + 4C4x3 + 5C4x4 + 6C6x5 + 7C7x6 + y′′ = 2C2 + 6C3x +12C4x2 + 20C4x3 + 30C6x4 + 42C7x5 +

Подставляя найденные производные в исходное уравнение, находим

2C2 + 6C3x +12C4x2 + 20C4x3 + 30C6x4 + 42C7x5 + =

= xC1 + 2C2x2 + 3C3x3 + 4C4x4 + 5C4x5 + 6C6x6 + 7C7 x7 + .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , получим систему для определения коэффициентов Ci ,i =1, n :

2C2 = 0,

6C3 = C0 ,

12C4 = C1,

20C5 = C2 ,

30C6 = C3,

42C7 = C4 ,

Вычислим значения этих производных при x = 0, y(0) = 12 . Имеем

y′(0) = 0 + 14 = 14 , y′′(0) = 2 0 + 2 12 14 = 14 , y′′′(0) = 2 + 2 14 14 + 2 12 14 = 198 .

27