Применим признак Даламбера: a

n

=

x − 2

n

, a

n+1

=

x − 2

n+1

;

n 2n

(n

+1) 2n+1

a

x − 2

n+1 n 2n

x − 2

n

x − 2

lim

n+1

= lim

=

lim

=

n (n +1) 2n+1

n→∞

an

n→∞

x

− 2

2

n→∞ n +1

2

По при знаку Даламбера ряд (1.31) сходится,

если

x − 2

<1, и расходится,

если

2

x −2

>1. Следовательно, и ряд (1.30) сходится, если

x − 2

<1, и расходится, если

x −2

>1.

2

2

2

Поэтому ряд (1.30) сходится в интервале 0 < x < 4 .

Исследуем сходимость ряда (1.30) в точках x = 0 и x = 4 , то есть на концах интервала

сходимости.

∞

n

При x = 0 получаем условно сходящийся знакочередующийся ряд ∑

(−1) .

n=1

n

∞

При x = 4 получаем расходящийся гармонический ряд ∑1 .

n=1n

Итак, ряд (7) сходится для всех x, удовлетворяющих условию 0 ≤ x < 4 .

∞

n

Пример 1.14. Найти область сходимости ряда ∑

(x −3)

.

n=1

n 5n

Решение. По формуле (5) имеем

R = lim

1/(n 5n )

= 5 ,

5n+1)

n→∞1/((n +1)

∞

n

∞

сходящийся ряд ∑(−1)

, а в точке x = 8 – расходящийся гармонический ряд ∑1 .

n=1

n

n=1n

Таким образом, область сходимости ряда есть полуинтервал [− 2,8).

1.5 Ряд Тейлора (Маклорена)

Как известно, что если функция f (x) имеет в некоторой окрестности точки x0

произ-

водные до (n+1) порядка включительно, то для неё справедлива формула Тейлора:

f (x) = f (x ) +

f ′(x0 )

(x − x ) +

f ′′(x0 )

(x − x )2

+ +

f (n) (x0 )

(x

− x )n + R (x),

(1.32)

0

1!

0

2!

0

n!

0

n

где Rn (x) – остаточный член формулы Тейлора,

который можно, в частности, записать в

форме Лагранжа R (x) =

f (n+1) (ξ)

(x − x )n+1, x < ξ < x,ξ = x

+θ(x − x ),0 < θ <1.

n

(n +1)!

0

0

0

0

Формулу (5.1) можно записать в виде

f (x) = Pn (x) + Rn (x),

где P (x) = f (x ) +

f ′(x0 )

(x − x )

+

f ′′(x0 )

(x

− x )2

+ +

f (n) (x0 )

(x − x )n

называется много-

n

0

1!

0

2!

0

n!

0

рядом Тейлора для функции

f (x) в точке x0 .

f (x) = f (x

) +

f ′(x0 )

(x − x ) +

f ′′(x0 )

(x − x )2

+ +

f (n) (x0 )

(x − x )n +

(1.33)

0

1!

0

2!

0

n!

0

Равенство (1.33) справедливо только в том случае, если lim R (x) = 0 . Если

R (x) ≠ 0 ,

n→∞

n

n

Определение.

Рядом

Маклорена

называется частный случай ряда Тейлора, если

x0 = 0 :

f (x) = f (0) +

f ′(0)

x +

f ′′(0)

x2

+ +

f (n) (0)

xn +

2!

1!

n!

Теорема 5.13.

Если функция

f (x)

разложима в ряд Тейлора, то это представление

Найдем

R :R

cn

(n +1)!

= ∞ . Следовательно, полученный ряд сходится в

= lim

= lim

c

n→∞

n→∞

n!

n+1

интервале (−∞,∞) . Таким образом,

ex =1+ x +

x2

+ +

xn

+ , x (−∞,∞).

n!

2!

2. f (x) = sin x

f (0) = 0, f

′

′

1,

′′

′′

′′′

′′′

(x) = cos x f

(0) =

f (x) = −sin x, f

(0) = 0,

f (x) = −cos x, f (0) = −1 и т. д.

Подставим найденные производные в (1.33):

sin x ~ 1

−

x3

+ +

(−1)n x2n+1

+ .

3!

(2n +1)!

Найдем

R :R = lim

cn

(2n +3)!

2n +3

= ∞ .

Следовательно, полученный

= lim

= lim

c

(2n +1)!

n→∞

n→∞

n→∞

n+1

Найдем R :R = lim

cn

α(α −1)(α −2) (α − n +1)(n +1)!

(n +1)

=1. Сле-

= lim

= lim

c

n!α(α −1)(α − 2) (α − n +1)(α − n)

α − n

n→∞

n→∞

n→∞

n+1

α

n

n(n −1)

2

n(n −1)(n − 2) 1

n

(1+ x)

=1+ 1! x

+

2!

x

+ +

n!

x

.

5.

f (x) = ln(1+ x).

Положим в формуле (1.34) α = −1:

1

=1− x + x2

+ +(−1)n xn−1 + .

1+ x

ln(1

+ x) = x −

x2

+

x3

− + (−1)

n xn

+ ,

2

3

n

1+ x + x2 + + xn + =

1

,

(1.35)

1− x

1− x + x2 − + (−1)n xn + =

1

,

(1.36)

1+ x