На основании теоремы, утверждающей, что если подынтегральная функция непрерывна, то производная определенного интеграла с переменным верхним пределом существует и равна значению подынтегральной функции для этого предела, то есть S′(x)= f (x). Отсюда и из равенства (1.23) следует равенство (1.22), которое означает, что ряд можно почленно дифференцировать.

наш ряд сходится для всех точек x, при которых x >1. Область сходимости данного ряда со-

стоит из двух бесконечных интервалов (− ∞;−1) (1;+∞).

1.4 Степенные ряды

Частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды. Степенным рядом называется ряд вида

n=0

где a и коэффициенты ряда a0,a1,a2 – постоянные. В частности, при a = 0 степенной ряд имеет вид

n=0

Ряд (1.24) сводится к ряду (1.25) заменой переменной по формуле x −a = X .

18

∞

Теорема 1.13 (Абеля). Если степенной ряд ∑anxn сходится при некотором значе-

x < x0 .

Следствие. Если степенной ряд расходится при некотором значении x1 , то он расхо-

дится и при любом x, для которого x > x1 . Действительно, допустив противное (ряд сходит-

ся при значении x таком, что x > x1 ), по теореме Абеля получим, что ряд сходится и при значении x1 , что противоречит условию.

Из теоремы Абеля следует, что если степенной ряд сходится при x0 ≠ 0 , то он схо-

сходимости. Существование радиуса сходимости можно доказать с помощью теоремы Абеля.

Замечание. Если ряд (1.25) сходится в единственной точке, то считают R = 0 ; если ряд сходится при любом x, то полагают R = ∞.

Найдем выражение радиуса сходимости степенного ряда (1.25) через его коэффициен-

∞

ты. Применим признак Даламбера к исследованию сходимости ряда ∑anxn , составленного

n=0

19

из модулей членов ряда (1.25). Предположим, что an ≠ 0 и существует предел

Следовательно, ряд сходится при x < R и расходится при x > R , то есть R – радиус

сходимости данного ряда. Из соотношения (1.27) следует, что радиус сходимости степенного ряда (1.25) определяется формулой

если этот предел существует.

Формулой (1.28) выражается и радиус сходимости ряда (1.24), интервалом сходимости этого ряда является интервал (a − R,a + R).

∞

Замечание. Применив к ряду ∑ an xn признак сходимости Коши, получим для ра-

Пользоваться формулами (1.28) и ( 1.29) следует весьма осторожно, так как пределы, стоящие в правых частях этих формул, часто не существуют. Так, например, если бесконечное множество коэффициентов an обращается в нуль (это, в частности, имеет место, если ряд содержит члены только с четными или только с нечетными степенями x), то пользоваться указанными формулами нельзя. В связи с этим рекомендуется при определении интервала сходимости применять признаки Даламбера или Коши непосредственно.

Пример 1.13. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1.30):

20