n

n + 2

n

2

n + 2

n

2

2

2

Решение. lim n un

= e2 >1. Значит,

= lim n

n

= lim

n

= lim 1+

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

n

исходный ряд расходится по признаку Коши.

∞

Теорема 1.6. Пусть дан знакоположительный ряд ∑un . Если его члены могут быть

ции f (x)

+∞

∞

так, что f (n)= un, n N , то интеграл ∫ f (x)dx и ряд

∑un

сходятся или расхо-

1

n=1

+∞

1 dx = lim ln x = ∞.

При α =1

∫

1

x

α→∞

+∞

1

a

x1−α

a1−α

1

−1

,

α >1

−α

a

При α ≠1

∫

dx

= lim

∫x

dx

= lim

= lim

−

= 1− α

.

α

1

1

x

a→∞

1

a→∞1− α

a→∞

1− α

1

− α

α <1.

∞,

Так как lim un = 0 , то

lim u2m = 0 и

lim S2m−1

= lim (S2m −u2m )= S .

n→∞

m→∞

m→∞

m→∞

0 < S < u1 .

(1.7)

Рассмотрим n-ый остаток ряда, то есть R

= (−1)n (u

n+1

−u

n+2

+u

n+3

− ). Сумма в

n

∞

Определение 1.5.

Знакопеременный ряд

∑un

называется абсолютно сходящимся,

n=1

∞

∞

если сходится ряд ∑

un

. Сходящийся ряд ∑un

называется условно сходящимся, если ряд

∞

n=1

n=1

∑

un

расходится.

n=1

Решение.

Рассмотрим ряд из модулей

1

;

u

=

1

>

1

= v

. Так как

ln(n +1)

n

ln(n +1)

n +1

n

∞

1

∞

n∑=1

расходится (гармонический ряд), то ряд

n∑=1

1

расходится.

n

+1

ln(n +1)

∞

n+1

Исследуем ряд

n∑=1

(−1)

, используя признак Лейбница:

ln(n +1)

1)

u

1

1

u

для любого натурального n, то есть последователь-

n =

<

=

n+1

ln(n +1)

ln(n + 2)

ность (

u

n ) монотонно убывает;

∞

n+1

2)

lim

u

n = 0. Значит, ряд

∑

(−1)

сходится условно.

n→∞

n=1ln(n +1)

∞ (−1)n+12n−1

Пример 1.10. Исследовать сходимость ряда

n∑=1

.

(n −1)!

∞

2

n−1

2

n−1

n+1 = 2

n

Решение. Рассмотрим ряд из модулей ∑

;

u

n =

,

u

.

(n

−1)!

n=1(n

−1)!

n!

lim

u

n+1 =

lim

2n (n −1)!

=

lim

2

= 0 <1

n!2n−1

n→∞

u

n

n→∞

n→∞ n

∞

(x)+u2

(x)+ +un (x)+

∑un (x)= u1

(1.8)

∞

∑

un (x)

=

u1(x)

+

u2 (x)

+ +

un (x)

+

(1.9)

n=1

Поскольку каждой точке x сходимости ряда (1) ставится в соответствие определенное

значение суммы ряда, то сумма сходящегося на множестве X функционального ряда (1) явля-

ется функцией переменной x. Обозначим эту функцию через S(x), тогда

S(x)= lim Sn (x),

(1.10)

n→∞

где Sn (x) – n-я частичная сумма ряда (1), то есть

Sn (x)= u1(x)+u2 (x)+ +un (x).

(1.11)

татка обозначим через rn (x):

rn (x)= un+1(x)+un+2 (x)+un+3(x)+ .

(1.12)

Очевидно, для всех x X

S(x)= Sn (x)+ rn (x).

(1.13)

Отсюда следует, что для всех x X

lim r (x)= 0 .

(1.14)

n→∞ n

S(x)− Sn (x)

< ε или

rn (x)

< ε.

(1.15)

Критерий равномерной сходимости функционального ряда (критерий Коши) выража-

ется теоремой, приводимой без доказательства.

∞

Теорема 1.8. Функциональный ряд

∑un (x) равномерно сходится на множестве X

n=1

тогда и только тогда, когда для любого числа ε > 0 существует такой номер

N = N(ε),

что при n > N , любом натуральном p и всех x X выполняется неравенство

n+ p

un (x)+ un+1(x)+ + un+ p (x)

< ε или

∑

uk (x)

< ε.

(1.16)

k =n

∞

щегося числового ряда с положительными членами ∑an,

an > 0 , то есть для всех x X

n=1

un (x)

≤ an ,

n =1,2,3, ,

(1.17)

то этот функциональный ряд равномерно сходится на множестве X.

∞

Доказательство.

Если ряд ∑an,

an > 0 сходится, то в соответствии с критерием

n=1

n+ p

Коши для любого ε > 0 существует такой номер N, что

∑an < ε для всех n > N и любых

k =n

целых p ≥ 0 .

Отсюда и из условия (10) следует, что для всех n > N и x X

n+ p

n+ p

n+ p

∑

uk (x)

≤

∑

uk

(x)

≤ ∑ak < ε

k =n

k =n

k =n

∞

Пример 1.11. Исследовать, равномерно ли сходится ряд ∑

sin nx

.

n=1

n3

sin nx

1

(n =1,2,3, )

Решение. Так как при любом x

≤

и сходится числовой ряд

n3

n3

∞

1

∞

∑

, то данный функциональный ряд ∑

sin nx

сходится равномерно в интервале (−∞,+∞).

n=1n3

n=1 n3

n=1

его члены un (x) непрерывны, то и сумма ряда S(x) непрерывна в этом промежутке.

Доказательство. Зафиксируем произвольное значение x0 X . Если Sn (x) – n-я час-

тичная

сумма

данного

ряда,

rn (x)

–

остаток

ряда

после

n-го

члена,

то

S(x)= Sn (x)+ rn (x), S(x0 )= Sn (x0 )+ rn (x0 ), .

Вычитая почленно второе равенство из первого,

получим S(x)− S(x0 )= Sn (x)− Sn (x0 )+ rn (x)−rn (x0 ), откуда

S(x)− S(x0 )

≤

Sn (x)− Sn (x0 )

+

rn (x)

+

rn (x0 )

.

(1.18)

Поскольку un (x) – функции,

непрерывные в промежутке X, то и люб ая их конечная

сумма Sn (x)

также непрерывна в этом промежутке. Задав любое число ε > 0,

можно указать

такое δ > 0 ,

что при

x − x

< δ будет выполняться неравенство

S

n

(x)− S

n

(x

)

< ε . Так как

0

0

3

ряд сходится равномерно, то для любого ε > 0 можно указать такой номер N = N(ε), что при

всех n > N и всех x X выполняется неравенство

r (x)

< ε , в частности,

r (x )

< ε .

n

3

n

0

3

Итак,

для

любого ε > 0

можно указать

такое

δ > 0 , что

при всех

x

таких,

что

x − x0

< δ, выполняется неравенство

S(x)− S(x

)

< ε

+ ε +

ε = ε,

S(x)− S(x )

< ε .

0

3

3

3

0

x

∞

∞

x

x

∫

∑un (t)dt

= ∑

∫un (t)dt = ∫S(t)dt .

(1.19)

x0

n=1

n=1 x0

x0

где a ≤ x0 ≤ x ≤ b .

n

Доказательство.

Пусть Sn (x)= ∑uk (x), rn (x)= S(x)− Sn (x), ρn = sup

rn (x)

, тогда

k =1

x [a,b]

в соответствии с условием ρn → 0 при n → ∞.

Так как

x

n

x

x

x

n

∫S(t)dt − ∑ ∫uk (t)dt

=

∫S(t)dt − ∫

∑uk (t)dt

=

x0

k =1 x0

x0

x0

k =1

x

x

x

=

∫S(t)dt − ∫Sn (t)dt

=

∫[S(t)− Sn (t)]dt

≤

x0

x0

x0

x

≤ ∫

S(t)− Sn (t)

dt ≤ (b − a)ρn → 0

при

n → ∞

x0

то выполняется (1.19)

Теорема 1.12. Пусть функции un (x)

определены на отрезке [a,b] и имеют на нем не-

прерывные производные un′ (x). Если на этом отрезке сходится ряд

∞

(x)+ +un (x)+

∑un (x)= u1(x)+u2

(1.20)

∞

(x)= u1′(x)+u2′ (x)+ +un′ (x)+ ,

∑un′

(1.21)

n=1

то сумма S(x) ряда (1.20) имеет производную, равную сумме ряда (1.21), то есть

S′(x)

∞

∞

′

(1.22)

= ∑un′

(x)= ∑un (x) .

n=1

n=1

Доказательство. Сумму ряда (1.21) обозначим через

f (x):

f (x)

∞

(x).

= ∑un′

(1.23)

n=1

Так как ряд (1.21) сходится равномерно на отрезке

[a,b], то f (x) – непрерывная