Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Часть 3.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

1.69 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3129 30 31 > Следующая >>>

Вариант 29

1)	f (t) =	0,		t < 0,
				, t ≥ 0.
			t4

5)	f (t) =	1−e5t			.
			t e2t

8)	F( p) =			p + 4		.

			p( p +3)

		0,	t < 0,
2)							3)	f (t) = e−t / 2 .	4)	f (t) = sin t sin 4t .
2)	f (t) = cos3t			, t ≥ 0.			3)	f (t) = e−t / 2 .	4)	f (t) = sin t sin 4t .

			t
			t
6)	f	(t) = cos 4t,		f	2	(t) = e−t .	7)	f (t) = e−3t ,t [0;3],		f (t +3) = f (t) .
	1				2

9) y′′−3y = 8t et , y(0) = 0, y′(0) = 0 .

10)

x′′−8x′+ y′ = 0,

′

0 .

, x(0)

=1, x

(0) = y(0)

= y (0) =

− x′+ y′′+ 2y = 0

Вариант 30

t < 0,

t [0,2],

f (t) = 4 −t .

f (t) = e5t cos2 t .

f (t) = 2,

f (t) =

, t ≥ 0.

, t > 2.

sin 3t

f (t) = e3t

sin 4t .

(t) = t,

(t) = e3t .

f (t) = e−2t ,t [0, 2],

f (t + 2) = f (t) .

8) F( p) = p

+9 .

−3y

+3y =1, y(0) =

0, y (0) = 0 .

− p

′′

′

x′ = 2y + z,

10)

y′ = 3z + x, , x(0) = 3, y(0) = −1, z(0) = 2.

z′ = x + y

Типовой расчет «ТФКП»

Взадаче 1 вычислить значение функции f (z) в точке z0.

Взадаче 2 найти действительную и мнимую части функции w = f (z) .

Взадаче 3 найти аналитическую функцию f (z) по заданной действительной (u) или мнимой (v) части и заданному значению f (z0 ) .

Взадаче 4 найти область, на которую заданная функция w = f (z) отображает указан-

ную область G. Заданную область G на плоскости Z и ее образ на плоскости W изобразить на чертежах.

В задаче 5 вычислить ∫ f (z)dz.

171

В задаче 6 вычислить с помощью формулы Коши ∫ f (z)dz , где γ – замкнутый контур,

пробегаемый против часовой стрелки.

В задаче 7 записать ряд Лорана функции f (z) в окрестности точки z0 и определить область сходимости полученного ряда.

Взадаче 8 найти особые точки функции f (z) и выяснить их характер.

Взадаче 9 найти вычеты функции f (z) в изолированных особых точках.

Взадаче 10 вычислить с помощью вычетов ∫ f (z)dz , где γ – замкнутый контур, про-

бегаемый против часовой стрелки.

Вариант 1

f (z)= Ln z, z =1+

2) w = zez;

3) u = x2 − y2 +3x + y, f (0)= i;

w = i(2z +1), G : квадрант Re z ≥ 0, Im z ≥ 0 ;

∫Re zdz , γ – отрезок прямой от точки z0 = 0

до точки z1 = 2 +i;

zdz

8) f (z)=

z + 2

γ∫

γ :

z + i

=1;

7) f (z)= z2e z ,

z = 0;

;

z2 +1

(z −1)3 (z

+1)

f (z)=

;

10) ∫

γ :

z + 2i

(z −2)sin z

(z2 + 4)2

Вариант 2

f (z)= zi,

= i;

2) w = sin z;

3) u = x3 −3xy2 + 2, f (0)= 2 +i;

w = e2z +i, G : полоса −∞ < Re z < +∞,0 ≤ Im z ≤π;

∫zdz,

где γ – ломаная с вершинами в точках z0 = 0, z1 =1, z2 =1+i;

∫

ezdz

γ :

= 2;

7) f (z)= sin

z0 = 0 ;

8) f (z)=

;

(z2 +i)3

(z −i)3

tgz

f (z)=

;

10) ∫

dz,

γ :

z + 2

= 2.

(z +3)

z + 2

172

Вариант 3

f (z)= ez ,

z = 3 + π i;

2) w = ch z;

3) v = 2ex cos y, f (0)= 2(1+i);

w = (1−i)(1+ z), G :треугольник с вершинами в точках z1 = 0, z2 = −i, z3 =1;

∫

z2dz,

γ – отрезок прямой, соединяющий точку z = 0 с точкой z

=1+i ;

z2dz

, γ :

z −i

= 2;

f (z)=

, z =1;

8) f (z)= соs

;

γ∫ (z −2i)2

(z +3)(z −1)4

z + i

f (z)=

;

10) ∫ ez dz,

γ :

=1.

z2 −1

γ 2z

Вариант 4

f (z)= 2z , z0 =1+ i ;

2) w = cos z ;

3) u = x2 − y2 + 5x + y −

, f (1)= 6 − 2i (

> 0)

;

x2 + y2

w =

, G :полуплоскость Im z ≥ 0 ;

z +i

∫

γ – полуокружность

=1 от точки z0 =1 до точки z1 = −1, лежащая в верхней по-

луплоскости;
6) ∫			dz		,
6) ∫		(z −1)3 (z +1)3			,
γ		(z −1)3 (z +1)3
9)	f (z)=		сos z	;
			z3

γ :	z +1	=1,5; 7)	f (z)= sin		1		,

					(z −2)
				dz
10)			∫			,
				(z + 2)(z −1)
			γ

Вариант 5

z = 2 ; 8) f (z)=			(z +6)sin(z +5)	;
z = 2 ; 8) f (z)=			(z4 − z2 )(z2 −25)	;
0			(z4 − z2 )(z2 −25)
0
γ :	z	= 3 .
γ :	z	= 3 .

f (z)= Ln z, z0 = 3 + 4i ;

2) w = e z2 ;

3) u = x2 − y2 + xy, f (0)= 0;

w =

z +i

G :квадрант Re z > 0,

Im z ≤ 0 ;

z −i

∫Re z dz,

γ– окружность

z −a

= R , пробегаемая против часовой стрелки;

ezdz

γ :

=1,5 ;

f (z)=

z = 0 ;

f (z)=

z2 +1

;

∫γ (z +i)2

z −1

(x −1)2

f (z)=

;

10) ∫

zdz

γ– эллипс

=1.

(z −1)2

z2 −1

173

Вариант 6

1) f (z)= ez , z0 = 2 −3i ;

4)w = z1+1, G : полуплоскость

5)∫zdz , где γ – дуга параболы

γ
6) ∫		ezdz		,	γ :		z +1	=1,5 ;
		ezdz
		(z + 2)4
γ		(z + 2)4
9)	f (z)=		sin z			;
9)	f (z)=		z3 − z			;
			z3 − z

2) w = sh z ;

3) v = x3 + 6x2 y −3xy2 − 2y3 , f (0)= 0 ;

Re z ≥ 0 ;

y =x2 от точки (0,0) до точки (1,1);

7) f (z)= (z −2)3 e

8) f (z)=

z−2

, z = 2 ;

;

1−cos z

10) γ∫

γ :

z −1−i

= 2 .

(z2 +1)(z −1)

Вариант 7

f (z)= сos z, z0 = i ;

2) w = z2ez ;

3) u = x2 − y2 + 2x, f (i)= 2i−1;

w = z2 ,

G : прямоугольник 0 ≤ Re z ≤1,

0 ≤ Im z ≤ 2 ;

∫zzdz,

γ – дуга окружности

=1, 0 ≤ arg z ≤ π;

f (z)= ez ,

∫

, γ :

=1,5;

= 0 ;

8) f (z)=

;

(z +1)

2 (z + 2)

sin2 z

f (z)=

;

10)

∫

ezdz

γ :

z −i

=1.

z2 −1

z4 + 2z2

Вариант 8

f (z)= sin z,

z0 =1+ 2i ;

2) w = z2 −

;

3) u = −2ex sin y, f (0)= 2i;

w = ez ,

G : полоса −∞ < Re z < +∞,

−π ≤ Im z ≤ 0 ;

∫z2dz,

γ– ломаная с вершинами в точках z0 = 0 ,

z1 =1,

z2 =1+i;

γ :

=1;

f (z)=

= i;

8) f (z)=

cos z

;

∫γ z2 + 2z

z2 +1

z −

f (z)=

сos z

;

10) ∫(z −1)

dz ,

γ :

z +

= 0 .

(z + 4)z2

z +1

Вариант 9

174

f (z)= Ln z, z = 3 + 4i;

2) w = ez Re z;

3) u = x3 −3xy2 , f (0)= i;

w = z2 ,

G : полуполоса 0 ≤ Re z ≤1, Im z ≥ 0;

∫

(2 −3z + z2 )dz,

γ −произвольный контур, соединяющий точку z

= 0

с точкой z

= i;

6) ∫γ

zdz

γ :

z + 2i

= 2;

7) f (z)=

, z0 =1;

8) f (z)= tg z ;

z2 +9

z(z −1)2

f (z)=

;

10) ∫

z +1

dz ,

γ :

= 3.

(z −1)(z

+ 2)

(z −2)2

Вариант 10

f (z)= 2z ,

=1−i;

2) w = z3 + Im z;

3) v = arctg

(x > 0),

f (1)= 0;

w = i(2 − z),

G :квадрат 0 ≤ Re z ≤1, 0 ≤ Im z ≤1;

∫z dz,

γ −отрезок прямой от точки z0 = 0 до точки z1 =1+ i;

γ∫

cos zdz

γ :

= 2;

f (z)=

, z

= 0;

8) f (z)=

;

z(z + 5)

(z2 +1)3

(z −i)2

f (z)= cos z

;

10)

∫

(z + 3)dz

γ :

z − 1

=1.

(z −1)(z +1)2

Вариант 11

f (z)= Ln z,

= −i;

2) w = (z + i)ez ;

3) v = y2 − 2y − x2 +1, f (2i)= i −1;

w = (1+ i)z + 3,

G :круг

≤1; 5) ∫Re z dz,

γ −радиус–вектор точки z0 = 2 + i;

ezdz

− e−

γ :

z +1

=1,5;

f (z)=

, z = i;

f (z)

= e

;

∫γ z(z −1)3

(z −i)(z −1)

f (z)=

z +1

;

10) ∫

zdz

γ :

z −2

= 0,5 .

z3 + 4z

(z −1)(z −2)2

Вариант 12

f (z)= cos z,

= 5 −i;

2) w = ez+i;

3) v = 3x2 y − y3 + 3y −1,

f (1+ i)= 2 + 4i;

w =

z −i

G :квадрант Re z > 0,

Im z > 0;

z + i

175

∫z dz,

γ − отрезок прямой, соединяющий точку z0 = 0 с точкой z1 = 2 + i;

8) f (z)=

γ :

z + 2i

=1;

7) f (z)= z3e z , z = 0;

;

∫γ z2 (z2 + 4)

z2 + 5z +

sin zdz

f (z)=

cos z

;

10) ∫

γ:

= 2.

π 2

−

z z −

Вариант 13

f (z)= Arccos z,

z = 2;

2) w = z2 + Re z;

3) u = e1+y cos x,

f (−i)=1+ 3i;

w =

1+ z

G :полуплоскость Re z ≤ 0;

1− z

∫z2dz,

γ −произвольный контур, соединяющий точку z1 = 0 с точкой z2 =1+ i;

ezdz

γ :

z −2

=1,5;

7) f (z)= z2 sin 1 ,

= 0;

f (z)=

;

∫γ z(z −1)

(4 + z2 )sin z

f (z)=

z −1

;

10) ∫

=1.

z2 +1

z3 + 4z2

Вариант 14

f (z)= Arccos z,

1+2 y

z0 = 2i;

2) w

= z

Im z;

sin 2x,

= 3;

v = e

−

w = (1−i)z + 2i,

G :круг

≤1;

∫Rez dz,

γ −дуга параболы y = x2 от точки (0,0) до точки (1,1);

γ :

=1;

f (z)= zcos 1 ,

z = 0;

8) f (z)= z2 sin 1 ;

∫γ z2 + 4z

f (z)=

e−z

;

10) ∫

dz ,

γ:

=1,5.

1− z2

176

Вариант 15

f (z)= Ln z,

=1+ i;

2) w = (z + i)2 ;

3) u = x4 − 6x2 y2 + y4 , f (0)= 0;

w = −i(2z −1),

G : полуплоскость Rez ≥ 0;

∫sin zdz,

γ − произвольный контур, соединяющий точку z0 = 0 с точкой z1

+i;

∫

sin 2z dz

γ :

= 2;

7) f (z)= (z −3i)sin

= 3i;

f (z)=

cos z

;

−3i

γ (z +1)

z −

+1)

f (z)=

;

10) ∫

dz ,

γ :

+ 9)2

(z +1)2 z

Вариант 16

f (z)= Аrcsin z,

z = 2;

2) w = Re z ;

3) u =

, f (2)= 1 ;

x2 + y2

w = (1+i)z,

G :круг

z −1

≤1;

∫

dz,

γ −отрезок прямой, соединяющий точку z1 = −1 с точкой z2 =1;

z2dz

γ :

= 3;

7) f (z)=

z = 0;

8) f (z)=

z −1

;

∫γ (z −2)3

z(z

+1)

cos z

z2 +1

f (z)=

;

10) ∫

cos z

dz ,

γ:

= 3.

(z + 2)2 (z

−3)

Вариант 17

f (z)= ez ,

z0 =

πi

;

2) w = z2 sin z;

3) u = x3 −3xy2 + 3x2 − 6x −3y2 ,

f (0) = 0;

w =

z + i

G :полуплоскость Re z > 0;

z −i

∫Re z dz,

γ −отрезок прямой, соединяющий точку z1 = i с точкой z2 = 2 −i;

γ :

z −i

=1;

7) f (z)= cos

= 3;

8) f (z)=

ez − z −1

;

∫γ z2 +1

z −3

177

z −2

f (z)=

e z

;

10)

∫

dz ,

γ :

z +0,5

= 3 .

z −1

z(z −1)

Вариант 18

f (z)= z1+i ,

z = i;

w =

cos z

;

3) v = x + y −3,

f (0)= 0 ;

w =

, G :полуплоскость

Re z > 0 ;

z + i

∫

dz,

γ – полуокружность

=1 от точки

z1 = −1 до точки

z2 =1, лежащая в верхней

полуплоскости;

6) ∫γ

, γ :

z −3i

= 2 ;

7) f (z)=

, z0 = 3 ;

8) f (z)=

;

z3 + 4z

(z +1)(z −3)

tg z

sin z

f (z)= e z ;

10) ∫

dz ,

γ :

= 2.

π 2

z z −

Вариант 19

f (z)= cos z,

z0 =1+ i;

2) w = Ln z;

3) v = 2xy, f (0)= 0;

w = 3z2 ,

G :полуплоскость Im z > 0;

∫z3dz,

γ −произвольный контур, соединяющий точку z0 = 0 с точкой z1 =1+ i;

ezdz

γ :

z −i

= 3;

7) f (z)=

, z =1;

8) f (z)=

;

∫γ z2 + π2

(z −1)(z −3)

sin4 z

f (z)=

;

10) ∫

z −1

dz ,

γ :

= 3.

(z −1)3

z2 + 4

Вариант 20

f (z)= cos z,

z = 2 −i;

2) w = zi;

3) u = x2 − y2 , f (0)= 0 ;

w = (1+

i)z − 2i, G :круг

≤1;

∫Im z dz,

γ– отрезок прямой, соединяющий точку z0 = 0 с точкой z1 = 2 + i ;

178


6) ∫	(z2	+1)dz		, γ :	z +1	=1;

	z2 −1
γ
9. f (z)			sin z
		=	z(z2 + 4);

7) f (z)=

= 0

;

8) f (z)= cos z

;

z(z −1)

z −i

10) ∫

γ :

=1,5.

(1+ z)2 (z + 2)

Вариант 21

f (z)= zi ,

=1+ i;

2) w =

Im z

;

3) v = 4x3 y − 4xy3 , f (0)= 0 ;

w = i(3z −1),

G : полуплоскость Im z > 0 ;

∫

(z2 +iz −

2 )dz,

= 0

с точкой

= i −1;

γ – произвольный контур, соединяющий точку z

∫

γ :

z −2i

= 2;

7) f (z)=

, z

= 2 ;

f (z)= sin z ;

(z2 +

9)2

(z −1)(z − 2)3

f (z)=

z −1

;

10) ∫

γ :

= 2 .

z2 +1

sin z

Вариант 22

f (z)= Arcsin z,

z = 3;

2) w =

cos z;

3) v = 3x2 y + 6xy − 6y − x3 ,

f (0)= 0 ;

w = (1−i)(1+ z),

G :треугольник с вершинами в точках z1 = 0, z2 = −i, z3 = −1;

∫z

dz, γ −дуга параболы y = x2 от точки z1 = 0 до точки z2 =1+ i;

sin zdz

7) f (z)= ze−

f (z)

γ :

=1,5;

= 0;

;

∫γ (z +i)3

(z2 +1)2

cos z

f (z)=

;

10) ∫

γ :

z −1

= 2 .

z3 (z −i)

Вариант 23

f (z)= ez ,

3 + i;

2) w = z3i;

3) u = x2 − y2 + 3x, f (0)= 0 ;

w = ez+3 ,

G :полоса − ∞ < Re z < +∞, 0 ≤ Im z ≤ π ;

∫Im z dz,

γ −ломаная линия, соединяющая точки z0 = 0, z1 = i, z2 = 2 + i;

179

γ :

z −2i

=1;

7) f (z)=

, z =1;

f (z)=

z +1

;

∫γ z2 + 4

z(z −1)

z2 + 4z

f (z)=

;

10) ∫

eizdz

dz ,

= 4 .

(z −i)(z +1)

(z −π)3

Вариант 24

f (z)= Lnz,

z0 = 3 − 4i;

2) w = zcos z;

3) v = 2xy + 3y, f (0)= 0 ;

w =

z + i

G :полоса Re z > 0, Im z > 0 ;

∫z dz, γ − отрезок прямой, соединяющий точку z1 = 2i с точкой z2 =1−i ;

zdz

γ :

= 2;

7) f (z)= z2 cos

z = 0;

f (z)=

sin 2z

;

∫γ (z −1)2 (z +3)

(z +1)2

e−zdz

f (z)=

;

10) ∫

= 3 .

(z +1)3

Вариант 25

f (z)= cos z,

= 2i;

2) w =

z2 + i

;

3) u = x3 −3xy2 − 2y,

f (0)= 0 ;

w = i(1− z),

G : треугольник с вершинами в точках z1 = 0, z2 =1, z3 = −i;

∫(z + 2) dz,

γ −произвольный контур, соединяющий точку z1 = 0 с точкой z2 = i ;

sin zdz

γ :

=1,5;

7) f (z)=

z = 0;

f (z)= sin

1 ;

∫γ (z +i)3

z(z

2 + 5)

f (z)=

;

10) ∫

dz ,

γ :

= 3 .

(z + i)2

z2 +1

Вариант 26

f (z)= Ln z, z0 = 2 +

2) w = zez;

3) u = x2 − y2 + 2x + y, f (0)= i ;

w = i(3z +1), G : квадрант Re z ≥ 0, Im z ≥ 0 ;

∫Re zdz , γ – отрезок прямой от точки z0 = 0

до точки z1 = 3 +i;

180

zdz

z +3

∫

γ :

z +i

= 4;

7) f (z)= z2e z ,

z = 0;

8) f (z)=

;

(z −1) (z +1)

f (z)=

;

10) ∫

γ :

z + 2i

=1.

(z −3)sin z

(z2 + 2)2

Вариант 27

f (z)= z2i ,

z0 = i;

2) w = sin z;

3) u = x3 −5xy2 + 2, f (0)= 2 +i;

w = e3z +i, G :полоса −∞ < Re z < +∞,0 ≤ Im z ≤π;

∫zdz, где γ

– ломаная с вершинами в точках z0 = 0, z1 =1, z2 =1+i;

ezdz

γ :

= 4;

7) f (z)

= sin

z0 = 0 ;

8) f

(z)=

;

∫γ (z −i)3

(z2

+i)3

tg z

f (z)=

;

10) ∫

dz,

γ :

z + 2

= 2.

z2 (z +3)

z + 4

Вариант 28

f (z)= ez ,

z0 = 4 +

2) w = ch z;

3) v = 3ex cos y,

f (0)= 2(1+i);

w = (1−i)(1+ z),

G :треугольник с вершинами в точках z1 = 0, z2 = −i, z3 =1;

∫z2dz,

γ– отрезок прямой, соединяющий точку z0 = 0 с точкой z1 = 2 +i ;

z2dz

, γ :

z −i

= 4 ;

7) f (z)=

, z0

=1;

8) f (z)= соs

;

∫γ (z −2i)2

(z +3)(z −2)4

z + 2i

f (z)=

;

10) ∫

dz,

γ:

=1.

z2 −1

Вариант 29

f (z)= 3z ,

z0 =1+i ; 2) w = cos z ; 3) u = x2 − y2 + 4x + y −

, f (1)= 6 −2i

(

> 0);

x2 + y2

w =

G :полуплоскость Im z ≥ 0 ;

z +i

∫γ

– полуокружность

= 2 от точки z

=1 до точки

z = 2 , лежащая в верхней по-

луплоскости;

181

∫γ

, γ :

z +1

=1,5;

7) f (z)= sin

, z0

= 3; 8)

f (z)

(z +6)sin(z +5)

;

(z −1)3(z +1)3

(z +3)

(z4 − z2 )(z2 −25)

f (z)=

сos z

;

10) ∫

γ :

= 3.

(z +3)(z −1)

Вариант 30

f (z)= Ln z, z0 = 2 + 4i ;

2) w = e z2 ;

3) u = x2 −2y2 + xy, f (0)= 0 ;

w =

z +i

G :квадрант Re z > 0,

Im z ≤ 0 ;

z −i

∫Re z dz,

γ– окружность

z −a

= R , пробегаемая против часовой стрелки;

ezdz

, γ :

= 3 ;

7) f (z)=

, z0 = 0 ;

f (z)

z2 +1

;

∫γ (z +i)2

z −2

zdz

(x −2)2

f (z)=

;

10) ∫

γ– эллипс

=1.

(z −2)2

z2 −1

182

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3129 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.20252.23 Mб1Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf
#
24.11.20252.43 Mб0Математика. Часть 1.pdf
#
28.12.20251.69 Mб0Математика. Часть 2-1.pdf
#
24.11.20254.84 Mб1Математика. Часть 2.pdf
#
24.11.20251.69 Mб1Математика. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.6 Mб0Математика.pdf
#
28.12.20252.17 Mб0Математика_1.pdf
#
28.12.20251.51 Mб0Математика_2.pdf
#
28.12.2025883.18 Кб0Математика_3.pdf
#
28.12.2025921.92 Кб0Математика_4.pdf