Занятие 10. Изолированные особые точки

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Часть 3.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

1.69 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3126 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

∞

−

∑

(−1)n (z −1)n , если 0 <

z −1

<1 и

∑(−1)n+1

, если 1 <

z −1

< +∞ ;

(z −1)n+1

z −1

n=0

(z − 2)n

n=0

1 ∞

∞

−

∑(−1)

, если

0 <

z −2

< 5 и ∑(−1)

, если

z −2

> 5 .

5(z − 2)

(z − 2)n

25 n=0

n=0

∞ (−1)n+1 in+1

∞

(−1)n zn

∞

zn−1

∞

∞ zn+1

∞

zn+1

9.5 1)

∑

+ ∑

; 2)

∑

+ ∑

+ ;

zn+1

+1 in

n=0

∞

∑

− ∑

+ ∑

−

∑

(z +

2n−1

2n+1

(z +

2n+2

n=0

n=0 (z +1)

n=0

(z +1)

n=0

∞ 2 5 8 (3n − 4)

∞

zn+1

9.6 1) 3 −

∑

< 27

; 2)

∑(−1)

< 3/ 4 ;

27 n=2

n!34n−1

n=0

3n+1

∞

3ln 2 + ∑(−1)n+1

(z −1)

z −1

< 8/ 5 ; 4)

∑(2−n−1 −

3−n−1) (z + 4)n ,

z + 4

< 2 ;

n 8n

n=1

n=0

∞

z−n+2

∑

, 0 <

< +∞ .

n=0

9.7 1)

z −1

< 2 ; 2) ряд расходится во всех точках, кроме z = i ; 3)

∞ zn

∞ 1

1 ∞ (−1)n

1 ∞

(z −1)n

9.8 1) − ∑

−

∑

; 2)

∑

∑(−1)

;

n+1

n=0

n=0 z

3 n=0

(z −1)

12 n=0

∞

n+2

∞

n+1

−

(z −i)+1

1 ∑

(z −i)

(−1)

+ 1 ∑

(−1) (z −i)

z −i

(2i)n

(2i)n−1

4 n=0

∞

24k

∑

n=0 z4k +4

z< 2 / 2 .

−1 ∑∞ (−1)n (z −i)n .

4 n=0 (2i)n

10.1

характер:

1) sin 4z ; z

6) 1 ; sin z

10.2

x′+ x − 2y = 0,

x(0) = y(0) =1

x′+ 7x − y = 5,

x(0) = y(0) = 0

y′+ 2x +5y = −37t;

Аудиторные задания

Указать все конечные особые точки заданных ниже функций и определить их

sin z2

z −8

e2z

;

z3 +

(z −2)(z −i)

z(z +1)2 (z −i)3

z2 −1

1− cos z

z+3i

sin

;

cos

;

10)

z −1

z −2i

Определить тип особой точки z = 0 для функций:

133

cos z3 −1

e3z −1

3 ;

2 ;

z cos

;

5) sin

sin z − z

cos z

−1

10.3

Определить порядок нуля следующих функций:

cos z

−1

+ z2 / 2

1) 1−cos z ;

;

−1

;

e3z

−1

1+ z − ez

10.4

Для заданных ниже функций выяснить характер бесконечно удаленной особой

точки (устранимую особую точку считать правильной):

;

−3z5

+ 4z −2

;

4) 1+3z +3z2 ;

5) cos z .

5 + 2z2

z2 + z +8

1+3z

Домашние задания

10.5 Указать все конечные особые точки заданных ниже функций и определить их характер:

z−3i

(z +1)(z + 2)2 (z −i)4

;

sin

;

z2 +5z +6

; 5)

+16

;

z +1

z(z −π)

cos z

z −sin z

; 8)

;

10)

sin

;

z5 + 2z4

+ z3

sin 2z

Ответы: 10.1 1)

z = 0 –

устранимая особая точка; 2)

z1 = 0 –

устранимая особая точка;

z2 = −π/ 2 – простой полюс; 3)

z1 = 2 – простой полюс;

z2 = i

– простой полюс; 4)

z1 = 0 –

простой

полюс;

z2 = −1

–

полюс

второго порядка;

z3 = i

– полюс третьего порядка;

z1,2 = ±1 – простые полюсы; 6) zk

= πk, k z

– простые полюсы; 7) z1 = 0 – полюс второ-

го порядка; z2 =1 – существенно особая точка;

8) z = −3i

– существенно особая точка;

z = 2i

– существенно особая точка; 10) z = 0 – устранимая особая точка.

10.21) z = 0 – устранимая особая точка; 2) z = 0 – полюс третьего порядка; 3) z = 0 – существенно особая точка; 4) z = 0 – существенно особая точка; 5) z = 0 – существенно особая точка.

10.31) нуль второго порядка; 2) нуль третьего порядка; 3) нуль четвертого порядка; 4) нуль первого порядка.

10.41) правильная точка (устранимая особая точка); 2) полюс третьего порядка; 3) правильная точка (устранимая особая точка); 4) полюс второго порядка; 5) существенно особая точка.

134

10.5 1) z1 = −1 – простой полюс;

z2 = −2 – полюс второго порядка;

z3 = i

– полюс четверто-

го порядка; 2) z = 3i

– существенно особая точка; 3)

z = 0

– простой полюс; 4)

z1 = −2 –

простой

полюс;

z2 = −3 –

простой

полюс;

z1,2 = ±4i

–

простые

полюсы;

z = 0 – существенно особая точка; 7) z1 = 0 – полюс третьего порядка; z2 = −1 – простой

полюс;

8) z1 = 0

–

устранимая особая

точка;

z2 = π

– устранимая

особая точка;

πk

, k Z /{0} – простые полюсы; 9) z = 0 – полюс третьего порядка; 10)

z = 0 – устра-

нимая особая точка.

Занятие 11.

Вычеты. Основная теорема о вычетах

Аудиторные задания

11.1 Найти вычеты указанных ниже функций в изолированных особых точках

z2 +1

z2 − 2z +1

sin 2z

;

; 5)

;

(z − 2)(z + 3)

z2 (4 − z2 )

4 + z2

z2(z −1)

(z −1)3

6) cos3 z ; z3

11.2

4+z

1) e z ;

11.3

1) sin 1 ; z

11.4

1− cos z

z+i

10) (z −1)

2z2

;

8) e

;

sin

;

cos

z −1

Найти вычеты функций относительно z = 0 .

cos z

1/ z

2) sin

;

Найти вычеты функций относительно z = ∞.

1+z

5 1/ z2

2) e

;

3) z e

;

cos

Используя теоремы о вычетах, вычислить следующие интегралы:

z−2∫

zdz

∫=2

z2dz

∫=1

ezdz

=∫1/ 2

;

=2 (z −1)(z − 2)

(z2 +1)(z + 3)

z2 (z2 + 9)

(z −1)2 (z2 +1)

3 1/ z

∫

sin

dz ;

∫z e

dz ;

∫z e

;

sin

dz .

z+2i

11.5 При помощи вычетов вычислить определенные интегралы:

2π

+∞

x −1

∫

;

∫

dx .

2 + cos x

−∞ (x

2 +1)

135

Домашние задания

11.6 Найти вычеты указанных ниже функций в изолированных особых точках:

z +1

cos

;

2 ;

;

− 4

z3 −9z

(z2

+1)

z +1

11.7 Используя теоремы о вычетах, вычислить следующие интегралы:

z+∫2

z2dz

∫=3

zdz

∫=4

ezdz

;

(z −1)(z + 2)

(z2 + 4)(z − 2)

z2 (z2 + 9)

∫

sin zdz ;

∫

cosπz

dz .

(z +1)3

z−(i+1)

z+i

Ответы:

11.1 1) Res f (2)= 5; Res f (−3)= −2 ; 2) Res f (2)= 1 ; Res f (− 2)= − 1 ; Res f (0)= 0 ; 16 16

3) Res f (2i)= −2; Res f (− 2i)= −2 ; 4) Res f (1)= 0; Res f (0)=1; 5) Res f (1)= − 1 sin 2 ; 2

6) Res f (0)= −3/ 2 ; 7) Res f (0)= 0 ; 8) Res f (−i)= 2 ; 9) Res f (0)= 0 ; 10) Res f (1)= 0 .

11.2	1)	Res f (0)= 4e ; 2) Res f (0)= 2 ; 3) Res f (0)= −																	1		; 4) Res f (0)=							1	.
11.2	1)	Res f (0)= 4e ; 2) Res f (0)= 2 ; 3) Res f (0)= −																			; 4) Res f (0)=							6	.
																		2			1							6
11.3	1)	Res f (∞)= −2 ; 2) Res f (∞)= e ; 3) Res f (∞)= −																			1	; 4) Res f (∞)= 0 .
11.3	1)	Res f (∞)= −2 ; 2) Res f (∞)= e ; 3) Res f (∞)= −																				; 4) Res f (∞)= 0 .
						πi			2πi											6			2π							π
11.4	1) 2πi; 2)					πi		; 3)	2πi	; 4) 0; 5) 2πi; 6) πi; 7) 0; 8) 0. 11.5 1)													2π				; 2) −			π	.
11.4	1) 2πi; 2)							; 3)		; 4) 0; 5) 2πi; 6) πi; 7) 0; 8) 0. 11.5 1)																	; 2) −				.
				5					9																3			2
11.6	1)	Res f (2)= 8; Res f (− 2)= 8 ; 2) Res f (0)= −														1	; Res f (3)=							2		; Res f (−3)= −						1	;
					i							i			9					9								9
3) Res f (i)= −					i		; Res f (−i)=					i	; 4)		Res f (−1)= 0 ; 5)				Res f (0)= −π.
3) Res f (i)= −							; Res f (−i)=					4	; 4)		Res f (−1)= 0 ; 5)				Res f (0)= −π.
			8πi	4						1		4	1
			8πi							1			1					3
11.7	1)	−										−								.

			3	; 2) 0; 3) 2πi							9		27	sin 3 ; 4) 2πi; 5) π
			3								9		27

Занятие 12.

Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение элементарных функций. Основные теоремы

Аудиторные задания

12.1 Проверить, являются ли оригиналами функции:

136

1) f (t)

4) f (t)

0,	t < 0,
=	t ≥ 0;
4,	t ≥ 0;
	0,	t < 0,
=		t > 0;
sin(2 −i)t,		t > 0;

2) f (t)

5) f (t)

0,			t < 0,
=			t ≥ 0;
tg t,
0,			t < 0,
=	2	,	t > 0;
2t

3)		0,	t < 0,
3)	f (t) =
	e(3+i)t , t > 0;

6)		0,	t < 0,
6)	f (t) =		t ≥ 0.
	sin t,		t ≥ 0.

12.2 Пользуясь определением преобразования Лапласа, найти изображения оригина-

лов:

f (t) =1;

f (t) = eαt

(α > 0);

f (t) = t ;

4) f (t) = ch(4 −3i)t ;

f (t) = sin t ;

f (t) = cost ;

f (t) = eαt cosβt ;

f (t) = e3t cos 2t ;

9) f (t) = t2 .

12.3 Используя свойства линейности и подобия, найти изображение оригиналов:

f (t) = 2e−it

+5cost −3;

f (t) = sin 2t 5cos5t ;

f (t) = cos4 t −sin4 t ;

f (t) = sin2 5t ;

f (t) = 3sin t −2cost ;

f (t) = 3sin 4t −2cos5t .

Домашние задания

12.4 Проверить, являются ли следующие функции оригиналами:

t < 0,

f (t) =

t < 0,

f (t)

t < 0,

f (t) =

t ≥ 0;

−

t ≥ 0.

sin 3t

sin 2t,

12.5

Используя определение преобразования Лапласа, найти изображение оригина-

лов:

t < 0,

f (t) =

t < 0,

f (t) =

t ≥ 0;

e−7t ,

sin αt,

12.6 Пользуясь теоремой подобия,

найти изображение оригинала

shβt ,

зная,

что

•

sh t =

•

p2 −1

Ответы: 12.1 1) является; 2) не

является;

не

является;

6) является.

12.2 1) F(p)=

; 2)

F(p)=

; 3)

F(p)=

; 4) F(p)=

; 5)

F(p)=

;

p −α

p2 −7 + 24i

1+ p2

F(p)=

; 7) F(p)=

p −α

; 8) F(p)=

p −3

; 9) F(p)=

p2 +1

(p −α)2 +β2

(p −3)2 + 4

12.3 1) F(p)=

5 p

−

; 2) F(p)=

−

; 3) F(p)=

;

p +i p2 +1 p

2 p2 + 49 2 p2 + 9

p2 + 4

3 −2 p

2 p

F(p)=

−

; 5) F(p)=

; 6)

F(p)

−

+100

+16

+ 25

137

12.4 1) Да; 2) Да; 3) Нет. 12.5 1) F(p)=	1	; 2) F(p)=	α	. 12.6	β	.
	p +7		p2 +α2		p2 −β2

Занятие 13.

Основные теоремы операционного исчисления

Аудиторные задания

13.1 Пользуясь свойствами смещения и запаздывания, найти изображение оригина-

лов:

f (t) = e−3t sin πt ;

f (t) = shβt cosβt ;

f (t) = sin(t −2) 1(t −2);

f (t) = sin(t − 2) 1(t);

f (t)

0 < t < 2π,

;

f (t) = e−3t

cos2 t ;

t ≥ 2π;

sin 2t,

f (t) = ch 5t sin 3t ;

f (t) = e−αt ;

f (t) = e3t

sin 4t ;

10)

f (t) = e−5t cos7t ;

11)

f (t) = e−4t

ch 5t ;

12)

f (t) = e5t

sh 2t ;

13)

f (t) = cos(3t +1);

14)

f (t) = sin(5t −4);

15)

f (t) = e−3t cos(6t −5).

13.2 Найти оригиналы по их изображениям:

F( p) =

2 p +1

;

F( p) = e− p

; 3)

F( p) =

3p − 2

;

p2 +5 p +10

p2 −9 p2 + 5

p2 − 4

(p −1)2 + 3

F( p) =

p −3

;

F( p) =

e−2 p

;

F( p) =

;

2 p2 −6 p −1

p2 + 4 p + 3

p2 +10 p + 41

F( p) =

p + 3

;

F( p) =

;

F( p) =

20 p

p2 + 2 p +10

(p −1)3(p + 2)2

p2 + 4 p2 +9

Домашние задания

13.3 Пользуясь теоремами подобия и запаздывания, найти изображение оригинала:

1) f (t)= cos(t −	π	), t >	π	;	2) f (t) = e−4t sin(t +7).

13.4Применяя теорему запаздывания, найти оригинал для функции:

−2 p

4 p +5

;

( p

+1)3

p2 +9 p

6 p2

+3p +1

13.5

Используя свойства преобразования Лапласа и таблицу изображений основных

функций, найти изображения заданных функций:

t2 −

1 et ;

sin2 2t ;

sin3t −t cost .

138

13.6

Найти оригинал, если:

F( p) =

p + 2

;

2) F( p) =

3 − p

p2 + 4 p + 20

4 p2 +8 p −51

Ответы: 13.1 1) F(p)=

; 2) F(p)=

p −β

−

p +β

;

(p +3)2 + π2

(p −β)2 +β2

(p +β)2 +β2

F(p)= e−2 p

; 4) F(p)= cos2

−sin 2

;

2 +1

p2 +1

−

2πp

−2πp

p +3

F(p)=

−e

−2πe

; 6) F(p)=

;

+ 4

p +3

(p +3)

F(p)=

3(p2 +34)

; 8)

F(p)=

; 9) F(p)=

;

(p2 +34)2 −100 p2

p + α

(p −3)2 +16

10) F(p)=

p + 5

; 11) F(p)

p + 4

; 12)

F(p)=

;

(p + 5)2 + 49

(p + 4)2 −25

(p −6)2 −4

−

p +3

−(p+3)

13) F(p)=

e 3 ; 14)

F(p)=

; 15) F(p)=

p2 +9

p2 + 25

(p +3)2 +36

−

13.2 1) f (t)

= 2e

2 cos

t −

sin

t ;

f (t)= ch 3(t −1) 1(t −1)+

sin

t 1(t); 3)

f (t)=

sh 2t +3et cos

t +

sin

t ;

f (t)=

(t)=

−t+2

−3t+6

); 6) f (t)= 7e

−5t

t −

; 5)

− e

sin 4t ;

f (t)= e

−t

; 8) f (t)=

3t2 + 2t −2

2t +1

−2t

cos3t +

sin3t

;

f (t)=10sin 2t + 20cos3t .

−

πp

13.3 1) F(p)=

; 2) F(p)=

e−4 p .

p2 +1

13.4 1) f (t)= t −2 ; 2)

f (t)=

(t −2)e−(t−2); 3)

f (t)=

−

cos3t

;

139

							1									1
							1									1
	f (t)=	2		5		−		t		3	5		5		−		t
4)			cos		t e		4		−			sin		t e 4			.
4)		3	cos	48	t e		4		−	2	48	sin	48	t e 4			.
		3		48						2	48		48

F(p)=

(p)=

F(p)=

1− p2

13.5 1)

−

; 2) F

−

; 3)

2(p −1)

2 p

2(p2 +16)

p2 +9

(p2 +1)2

t −

e−t

t .

13.6 1)

f (t)= e−2t

cos 4t ; 2)

f (t)=

e−t sh

Занятие 14.

Дифференцирование и интегрирование оригиналов и изображений

Аудиторные задания

14.1Найти изображение дифференциальных выражений:

1)y′′(t)−4y′(t)+3y(t), если y(0)=1, y′(0)= 2;

2)	y	′′′	′′	′		′	′′
2)	y	(t)	+6y (t)+ y (t)−2y(t)+3, если y(0)= −3, y (0)= 7, y					(0)=1;
3)	y	′′′	′′	′		′		′′
3)	y	(t)	−3y (t)+ 2y (t)−4y(t)+1, если y(0)= −1, y (0)= 2, y (0)= −3;
4)		′′	′		′	5)	′′	′		′
4)	y (t)− y (t)−6y(t), если y(0)=1, y (0)= 0;					5)	y (t)+ 2y (t)+ y(t), если y(0)= 2, y (0)= 2.
		14.2 Пользуясь свойством дифференцирования изображения, найти изображения
оригиналов:
1)	f (t) = t cosβt ;			2)	f (t) = t2 sh 3t ;	3)	f (t) = 2t −3t4 ;		4)	f (t) = t2 cos3t ;
5)	f (t) = t sin 5t ;			6)	f (t) = t e−2t ;	7)	f (t) = t3 e−4t ;		8)	f (t) = t cos5t .
лов:		14.3 Пользуясь свойством интегрирования оригинала, найти изображения оригина-
лов:					t			t
	t			sin 2t)dt ;	t	+3)e2tdt ; 3)		t		t
1)	∫(e−3t ch 2t +e4t			sin 2t)dt ;	2) ∫(t7 −5t4 −2t2	+3)e2tdt ; 3)		∫(sin t +3t2 sin 2t)dt ; 4) ∫t e−2tdt .
	0				0			0		0

14.4

Найти оригиналы следующих изображений:

F( p) =

;

F( p) =

;

F( p) =

;

p(p2 + 4)

p2 (p2 + 4)

(p −3)5

F( p) =

2 p −5

F( p) =

;

(p + 2)6

p(p2 +1)

(p2 +1)2

F( p) =

;

p(p2 +5)

p2 + 4 p

p2 +9 p

14.5

Используя теорему интегрирования изображения, найти изображения функций:

140

f (t) =

1−cos 2t

e−3t ; 2)

f (t) =

et −1

; 3)

f (t) =

e−αt sinβt

; 4) f (t) =

sin t

; 5) f (t) =

sin

Домашние задания

14.6 Найти изображение дифференциального выражения при заданных начальных условиях:

′′′	′′	′	′	′′
x (t) + 6x (t) + x (t) − 2x(t); x(0)			= x (0) = 0;	x (0) =1.
14.7	Пользуясь теоремой смещения и теоремой дифференцирования изображения,
найти изображение оригинала t sin t .
14.8	Пользуясь теоремой об интегрировании оригинала, найти изображение функции

∫cos τdτ.

14.9 Используя теорему интегрирования изображения, найти изображение функции:

sh t

;

sin 2t

Ответы:

14.1 1) F(p)= (p2 −4 p +3)Y (p)− p + 2; 2)

F(p)= (p3 +6 p2 + p −2)Y (p)+3p2 +11p −40 +

;

F(p)= (p3 −3p2 + 2 p −4)Y (p)+ p2 −5 p +11+

; 4) F(p)= Y (p)(p2 − p −6)+1− p ;

F(p)= Y (p)(p2 + 2 p +1)−2 p −6 .

14.2 1) F(p)=

p2 −β2

; 2) F(p)=

18(p2 +3)

; 3)

F(p)= 2

−3

;

(p2 +β2 )2

(p2 −9)3

F(p)=

2 p(p2 −27)

F(p)

10 p

; 5)

;

F(p)=

; 7) F(p)=

;

(p2 +9)3

(p2 + 25)2

(p + 2)2

(p + 4)4

F(p)=

p2 −25

(p2 + 25)2

p +3

14.3 1) F(p)=

;

p (p

+3)

−4

(p −4) +

F(p)=

; 3) F(p)=

−

−2

;

−2)

141

4) F(p)=

p(p + 2)5

f (t)=

f (t)= e

14.4 1) f (t)= (1− cos2t); 2)

; 3)

;

t −

sin 2t

		t	4		3t	5			f (t)= et (1−te−t − e−t ); 7) f (t)=	1		cos 2t
4)	f (t)= e−2t			−			; 5)	f (t)=1− cost ; 6)			−		;

		12		40					2		2

f (t)=

−

e−4t ; 9) f (t)= sin 3t .

14.5 1) F(p)= ln

p2 + 6 p +13

; 2) F(p)

= ln

;

p + 3

p −1

F(p)= arctg

p +α

; 4) F(p)=

− arctg p ; 5)

F(p)=

−arctg

14.6 F(p)= (p3 + 6 p2 + p − 2)X (p)−1. 14.7

F(p)=

2 p

. 14.8 F(p)=

(p2 +1)2

p2 +1

14.9 1) F(p)=

p +1

; 2) F(p)=

−arctg

p −1

Занятие 15.

Свертка функций. Теорема Бореля. Формулы Дюамеля

Аудиторные задания

15.1

Найти свертку функций:

(t) = t,

(t) = et ;

(t) = eαt ,

(t) = eβt ;

(t) = cosαt, f

(t) = cos 2t ;

(t) = cht,

(t) = sin t ;

(t) = t, f

(t) = cost ;

(t) =1−αt, f

(t) = eαt ;

f (t) = e5t , f

(t) = et ;

f (t) = 2t, f

(t) = e−3t .

15.2 Найти свертку и ее изображение:

(t) = cos 2t, f

(t) = sin 2t ;

(t) = e5t , f

(t) = sin 4t .

15.3 Найти изображение свертки функций с помощью теоремы Бореля:

(t) = sh 2t, f

(t) = ch 5t ;

(t) = tn , f

(t) = e3t

cos5t .

15.4 Пользуясь теоремой Бореля, найти оригиналы изображений:

F( p) =

; 2) F(p)

F( p) =

; 4) F(p)

; 3)

(p2 +α2 )2

p4 −1

(p2 +1)(p2 + 4)

p4 +13p2 +36

142

15.5

Пользуясь формулой Дюамеля, найти оригинал изображения:

F(p)=

F( p) =

3) F( p) =

p3e−2 p

;

p4 −8 p2 +12

p3(p2 +1)

(p2 + 9)2

15.6

Найти оригиналы изображений с помощью вычетов:

F( p) =

7 − 2 p

;

F(p)

+ 2

;

(p + 2)(p −1)2

+ 4

F(p)=

p2 + 21p −40

F(p)

5 p2 +60 p +146

;

(p +1)(p2 −5 p +6)

(p2 + 4)(p +5)2

15.7

С помощью разложения дробей на простейшие найти оригиналы изображений:

F(p)=

3p2 −3p

;

2) F(p)=

(5 p + 4)e−2 p

;

p4 −1

(p −1)2 (p2 + 2 p +5)

F(p)=

3p2 +3p + 2

4) F(p)=

p−4 p

;

(p −2)(p2 + 4 p +8)

(p +1)3(p +3)

15.8

Найти свертку функций:

f (t) = e5t , f

(t) = t3 ;

f (t) = t, f

(t) = cos5t ;

f (t) = e4t , f

(t) = t2 .

Домашние задания

15.9

Используя теорему Бореля об изображении свертки, найти изображение функ-

ции:

f2 (t) = e7t .

∫τet−τ sin(t −τ)dτ;

f1(t) = 4t,

15.10 Найти оригиналы для заданных функций:

; 2)

; 3)

4 − p

; 4)

p + 2

; 5)

; 6)

2 p + 3

( p +1)( p

−3)

p2 + p +1

p2 + 9

p3 + 3p

p4 +

2 p2

− 3

p3 + 4 p2 + 3p

eβt − eαt

Ответы: 15.1 1) e

−t −1; 2)

; 3)

t cosαt +

sin αt

; 4)

β − α

6) t; 7)

e5t −

et ; 8)

e−3t −

15.2 1) F(p)=

2 p

F(p)=

; 2)

(p2 + 4)

(p −5)(p2 +16)

15.3 1) F(p)=

; 2)

F(p)=

n!(p −3)

p2 −4

p2 −25

pn+1((p −3)2 + 25)

1 (ch t −cost); 5) 1−cost ; 2

143

15.4 1) f (t)=	1		1			1

					;	2) f (t)= (ch t −cost);
	2	t cosαt +	2	sin αt
						2

4) f (t)= 1 (3sin 3t −2sin 2t).

	5
15.5 1)	f (t)=1/ 2(3ch									t −ch							t); 2)			f (t)= t2 / 2 +cost −1;
								6							2
3) f (t)= cos3(t − 2)−1,5(t − 2)sin 3(t − 2).
		11			−2t		5					11						t

15.6 1)	f (t)= e										t −								;	2) f (t)= ch t sin t ;
						+						9				e
		9					3
4) f (t)= 3sin 2t −t e−5t .
15.7 1)	f (t)= −		1	et −			5		e−t +				3	cost +sin t ;

		4				4						2

3) f (t)= 1 (cost −cos 2t); 3

3) f (t)= 8e3t −5e−t −2e2t ;

2) f (t)= 1 (et−2 (18(t −2)+1)−e−(t−2)(cos 2(t −2)+10sin 2(t −2)))1(t −2); 16

3)f (t)= e2t +e−2t (2cos 2t −0,5sin 2t);

4)f (t)= 1 (e−(t−4)(1−2(t −4)+ 2(t −4)2 ))−e−3(t−4) 1(t −4).

						1			3		3				2		6				6			5t		6							1				1					t2			t				1 e4t
15.8 1) e	−5t			−				t	3	−				t	2	−				t −		+e		5t						; 2)					−				cos5t ; 3) −				−					−			+				.
15.8 1) e				−		5		t		−	25			t		−	125			t −		+e								; 2)			25		−		25		cos5t ; 3) −				−		8			−	32		+		32		.
						5					25						125				625				625								25				25				4				8				32				32
15.9 1) F(p)=											1								; 2)		F(p)	=		4				17			.

							p2 (p2 −2 p + 2)																p2				p −7
																														e−		t
						f (t)=						1	(e3t −et );									f (t)=				2						t				3		t ;			f (t)=			4			sin 3t −cos3t ;

15.10			1)																		2)											2 sin								3)
15.10			1)																		2)											2 sin		2						3)
											4																		3					2							3

4) f (t)=		2			2											1										1							3													1						1
		2			2											1										1							3													1			−t			1		−3t
			−				cos				3t +							sin 3t ; 5)				f (t)=				4		sht				−	3		sin				3t	; 6)	f (t)=1−							e		−			e			.
	3		−		3		cos				3t +					3		sin 3t ; 5)				f (t)=						sht				−			sin				3t	; 6)	f (t)=1−				2			e		−		2	e			.
	3				3											3																													2							2

Занятие 16.

Применение операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений, систем дифференциальных уравнений, интегральных уравнений

и уравнений с частными производными

Аудиторные задания

16.1 Найти решения дифференциальных уравнений при заданных начальных услови-

ях:

144

′′

′

+9x =144e

3t / 2

, x(0)

′

;

′′

+ 4x = sin

′

+12x

=1, x

(0)

t, x(0) = 0, x (0) = 0 ;

−9x = 2 −t, x(0) = 0, x (0) =1;

+ 4x = 2cost, x(0) = 0, x (0) = 4 ;

′′

′

′′

′

′′

′

= 0 ;

+ 2x

′′

′

′′

′′′

− x = e

, x(0) =1, x

(0)

+ x = cost, x(0) = 0, x (0) = 0, x

(0)= 0, x

(0)= 0 ;

′′

− 2y

′

−

3y = e

′

′′

+ y

′

− 2y = e

−t

y(0) = 0,

′

, y(0) = 0, y (0) = 0 ;

y (0) =

9)y′′′− y′ = t, y(0) = 0, y′(0) = 0, y′′(0)=1.

16.2Найти решения систем дифференциальных уравнений при заданных начальных

условиях:

x′−3x −5y = 0,

x(0) = 2, y(0) = 5 ;

x′− x + y =1,5t2,

x(0) = 0, y(0) = 0 ;

y′+ 2x −8y = 0,

y′+ 4x + 2y =1

+ 4t,

x′−2x −4y = cost,

x(0) = 0,

y(0) =

0 ;

x′ = x

+ 2y,

x(0) =

0, y(0) = 5;

2y = sin t,

y′+ x +

y′ = 2x + y +1,

x′ = 2y,

x(0) = 2, y(0) = 2 ;

x′ = 3x + 4y,

x(0) =1,

y(0) =1.

y′ = 2x,

y′ = 4x −3y,

16.3

Решить интегральные уравнения:

∫(1+t −τ)y(τ)dτ =

e−t sin t ;

y′′(t)− 4∫(y′(τ)+ y(τ))e−(t−τ)dτ = 0, y(0)= 0, y′(0)= 6 ;

3) y′(t)+ 2y(t)+ ∫t y(τ)(e−3(t−τ) +3et−τ)dτ = 0, y(0)=1;

y′′(t)+ ∫(y′′(τ)+ y(τ))sin(t −τ)dτ = 2cost, y(0)= 0, y′(0)= 0 ;

∫ y(τ) sin(t −τ)dτ = sin2 t ;

6) ∫y(τ) ch(t − τ)dτ = tn ;

8 t

y(t)

= sin 2t −

∫ y(τ)sh 3(t −τ)dτ;

8) y(t)= ∫ ydt +1.

16.4 Найти решения уравнений в частных производных:

(x +t)

∂u

= x +u, u(x,0) = x3 − x,

0 < x < ∞,

0 < t < ∞ ;

∂t

∂2u

= a2

∂2u

∂u(x,0)

= 0, u(0,t)= E0 sin ωt,

u(l,t)= 0 ;

∂t2

∂x2

∂t

∂u

−

∂u

= t + x −u, u(x,0) =1− x,

0 < x < ∞,

0 < t < ∞;

∂t

∂x

145

∂2u

∂u

+u = t, u(x,0)= x

∂u(x,0)

= 0, 0 < x < ∞, 0 < t < ∞ ;

∂t2

∂x

∂t

∂2u

= a2

∂2u

, u(x,0)= 0,

∂u(x,0)

= 0 , u(0,t)=1, u(l,t)= 0, 0 < x < ∞, 0 < t < ∞ .

∂t2

∂x2

∂t

Домашние задания

16.5 Найти решения дифференциальных уравнений при заданных начальных услови-

ях:

− x = cost −sin t, x(0) = 0 ;

−5x + 6x =12; x(0) = 2, x (0) = 0 ;

′

′′

′

′′

′

;

′′

′

= e

−3t

; x(0)

′

+ 4x +3x =1; x(0)

= 3, x (0) = −2

+3x

= 0, x (0) = −1 .

16.6Найти общее решение дифференциального уравнения x′′+ 9x = cos3t .

16.7Найти решения систем дифференциальных уравнений при заданных начальных

условиях:

	x′+ 4y + 2x = 4t +1,
2)		3		2		x(0) = y(0) = 0 ;
	y′+ x − y =		t		;
	y′+ x − y =	2	t		;
		2
	x′ = 4y + z,		x(0) = 5,
4)	y′ = z,		y(0) = 0,
			z(0) = 4.
	z′ = 4y;		z(0) = 4.

16.8

Решить интегральные уравнения:

∫ y(τ)(t −τ)

dτ =

;

∫ y(τ)cos(t −τ)dτ =1−cost .

16.9

Найти решения уравнений:

∂2u

−

= −pA

sin

πx

u(0,t)= u(l,t)= 0 ;

∂x

∂u

= a2

∂2u

, u(x,0)= 0, u(0,t)= u0, t > 0 ;

∂t

∂x2

∂2u

nπx ∂u(x,0)

∂u(0,t)

∂u(l,t)

∂x

∂t2

, u(x,0)= Acos

∂t

= 0 ,

∂x

= 0, 0 ≤ x ≤ l .

Ответы: 16.1 1) x(t)= e−3t / 2 (18t2 + 2t +1); 2) x(t)=	1	(1− cos2t −t sin 2t);

8

146

3) x(t)= (3t + 6 − 7e3t − e−3t )/ 27 ;

4) x(t)= (2 + 0,5t) sin 2t ;

5) x(t)= 0,5(tet −sh t);

6) x(t)= t(sin t −t cost)/8 ; 7)

9) y(t)= −2t − t2 + et + e−t .

			2
16.2 1)		x(t)= 5e2t −3e−7t ,
16.2 1)							−7t				2t
							−7t	− e			2t		;
		y(t)= 6e						− e					;
	x(t)= −			2		−2e−t +			8			e3t ,
	x(t)= −					−2e−t +						e3t ,
4)			3					3
4)			1					8
	y(t)=		1		+ 2e−t +			8		e3t ;
	y(t)=		3		+ 2e−t +					e3t ;
			3					3

16.31) y(t)= e−t 1 −sin t ;

y(t)= 1 te3t − 1 e3t + 1 e−t ; 8)

4 16 16

2)x(t)= −0,5t2,

y(t)= t2 +t;

	x(t)=	5		e2t −	1		e−2t ,
		2
5)			2
		5				1
	y(t)=			e2t −			e−2t ;

		2	2

y(t)= sh t ;

3)x(t)=1+10t −3sin ty(t)= 4 −7t + 2sin t

	x(t)=	6	e5t
		5
6)
		3
	y(t)=		e5t

		5

−2cost,

−2cost;

−1 e−5t ,

+2 e−5t .

2) y(t)= 3sh 2t ; 3) y(t)= 4e−t − 4te−t −3e−2t ; 4) y(t)= t sin t ;

y(t)= (1+3cos 2t)/ 2 ;

y(t)= ntn−1 −tn+1 /(n +1), n > 0 ;

y(t)= (13sin 2t −16sht)/5 ;

y(t)= et .

16.4

1) u(x,t)

; 2) u(x,t)= E

sin(ω(e − x)/ a)sin ωt

∞

sin(kπx / e) sin(akπt / e)

= x

− x +tx

+ 2aωe

∑

sin(ωe / a)

−a

k =1

3) u(x,t)= t +e−t (1−2t −2x)+ x ; 4) u(x,t)= t + x cost −sin t −0,5t sin t ;

5) u(x,t)=1−

∞

kπx

kπat

cos

/ k .

−

∑ sin

π k =1

16.5

1) x(t)= sin t ; 2) x(t)= 2 ; 3) x(t)=

+3e−t −

e−3t ; 4) x(t)=

(e−3t

−1)−

e−3t .

16.6

x(t)= C

cos3t +C

sin 3t +

sin 3t .

x(t)= 4e−2t

−3e−t ,

x(t)

= t

2 + t,

x(t)

=1−t − e−6t cost,

16.7

; 2)

;

−3t

−2t

y(t)

= −

t2;

; 3)

−6t

−2e

;

=1− 7t − e

cost + e

sin t;

y(t)= 3e

y(t)

x(t)=1+ 3e2t + e−2 t ,

y(t)= e2t − e−2t ,

z(t)= 2e2t + 2e−2t .

16.8

1) y(t)=1; 2)

y(t)= t . 16.9 1) u(x,t)= Acos

πat

sin

πx

;

147

x / 2a

nπat

nπx

−τ

2) u(x,t)=U0 1

−

∫e

dτ

; 3) u(x,t)= Acos

cos

Занятие 17.

Дифференциальные уравнения в частных производных

Аудиторные задания

17.1 Определите тип дифференциального уравнения:

∂2u

∂u

+ 2 xy

+ y

−

= 0 ;

∂x2

∂y2

∂x∂y

∂y

∂2u

−

2xy

∂2u

+ x2

∂2u

= 0 ;

∂2u

−

∂2u

= 0 .

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x2

∂y

17.2

Найдите решение уравнения

∂2u

∂2u , если u(x,0)= cos x;

∂u

(x,0)= 0 .

∂t2

∂x2

∂t

17.3

Найдите решение уравнения

∂2u

= a

∂2u

, если:

∂t2

∂x2

1) u(x,0)=

sin x

;

∂u

(x,0)=

;

2) u(x,0)= cos 2x;

∂u

(x,0)= sin x .

∂t

1+ x2

∂t

17.4

Найдите отклонение u(x,t)

закрепленной на концах x = 0

x = l однородной

струны от положения равновесия, если в начальный момент струна имела форму параболы с

вершиной в точке x = l и отклонением от положения равновесия − h , а начальные скорости

отсутствуют.

17.5 Струна закреплена на концах x = 0 и x = 2 . В начальный момент имеет форму параболы u = 2x − x2 . определить форму струны для любого момента времени, если начальные скорости точек струны отсутствуют.

17.6 Струна, закрепленная на концах x = 0 и x = l , в начальный момент имеет форму u = h(x4 + 2x3 + x). Найти форму струны для любого момента времени t, если начальные скорости отсутствуют.

17.7 Найти	решение	уравнения	теплопроводности	∂u	=	∂2u		,	если
				∂t		∂x	2

148

				l
x при 0	< x ≤
x при 0	< x ≤
u(x,0)=		l		2 и u(0,t)= u(l,t)≡ 0 .
l − x при		l	≤ x < l
l − x при			≤ x < l
	2
	2

17.8	Решить задачу Дирихле в круге 0 ≤ ρ ≤1, если u(ρ,ϕ)= ϕ2, ϕ =1.
17.9	Решить уравнение	∂2u	= a2	∂2u	+	a2	sin		πat	при начальных и граничных усло-
		∂t2		∂x2		l2			l

виях: u(x,0)= ut′(x,0)= u(0,t)= u(l,t)= 0 , где 0 ≤ x ≤ l								и t ≥ 0 .

Домашние задания

17.10

Определите тип дифференциального уравнения:

1) y2

∂2u

− x2

∂2u

−2x

∂u

= 0;

∂2u

+ x

∂2u

= 0 .

∂x2

∂x∂y

∂x

∂x2

∂y2

17.11

Найти закон свободных колебаний закрепленной на конце x = 0 однородной

струны, если правый конец ее при x = l

перемещается так, что касательная к струне остается

постоянно горизонтальной. В начальный момент струна находилась в положении равновесия

и ей была придана начальная скорость ut′(x,0)= sin πx . l

17.12 Определить температуру тонкого однородного стержня длины l, изолированно-

го от внешнего пространства, начальная температура которого равна f (x)= cx(l − x) . l2

17.13 Решить задачу Дирихле в круге 0 ≤ ρ ≤1, если u(1,ϕ)= ϕ.

Ответы: 17.1 1) параболический тип в области x + y > 0; x + y < 0 ;

2) параболический тип в области x2 + y2 = R2 ; 3) гиперболический тип.

17.2 u(x,t)= cos(x −t)+cos(x +t) = cos x cost . 2

17.3 1)	u(x,t)=	1	sin(x −at)		+	sin(x + at)	+	arctg(x + at)−arctg(x −at)	;
17.3 1)	u(x,t)=				+		+		;
		2
		2		x −at		x + at		a

2) u(x,t)= cos 2x cos 2at + 1 sin xsin at . a

17.4 u(x,t)= 4h (xl − x2 −t2 ). 17.5 u(x,t)=		323	∑	1	3 cos (2n +1)πat		sin (2n +1)πx .
			∞
	cr	π n=0 (2n +1)				2	2

149

17.6

u(x,t)= h(x4 +6x2a2t2 + x4t4 + 2x4 +3xa2t2 + x).

(α−x)2

(l−α−x)2

/ 2

−

17.7

u(x,t)=

∫

αl

dα + ∫(l −α)l

dα .

2π

l / 2

4π

17.8

u(x,t)=

π2 + 4∑

−

sin nϕ

ρn .

cos nϕ

u(x,t)=

πat

πx

17.9

−

cos

π3

sin

1 ∞

πat

(2n +1)πat

(2n +1)πx

∑

−sin

(2n +1)sin

sin

n=1 n(n +1)(2n +1)

17.10 1) гиперболического типа; 2) эллиптического типа при x > 0, гиперболического типа при x < 0 .

∞

πnx

aπn

−π2a2t

cx(l − x)

u(x,t)=

t . 17.12 u(x,t)= l

17.11

∑sin

sin

π n=1

∞

sin nϕ

17.13

u(ρ,ϕ)= 2∑

ρn .

n=1

150

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3126 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.20252.23 Mб1Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf
#
24.11.20252.43 Mб0Математика. Часть 1.pdf
#
28.12.20251.69 Mб0Математика. Часть 2-1.pdf
#
24.11.20254.84 Mб1Математика. Часть 2.pdf
#
24.11.20251.69 Mб1Математика. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.6 Mб0Математика.pdf
#
28.12.20252.17 Mб0Математика_1.pdf
#
28.12.20251.51 Mб0Математика_2.pdf
#
28.12.2025883.18 Кб0Математика_3.pdf
#
28.12.2025921.92 Кб0Математика_4.pdf