Занятие 3. Функциональные ряды

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Часть 3.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

1.69 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3125 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

5) внешность круга с центром в точке z = −i

и радиусом 1;

6) внутренность кольца с центром

в т. z = −2i и радиусами 2 и 5.

7.2 1) Re f (z)= x −2y, Im f (z)= −2x − y ; 2) Re f (z)= x2 + y2 −8xy, Im f (z)= 4(x2 − y2 );

3) Re f (z)= x2 − y2 + 2xy, Im f (z)=

y ; 4) Re f (z)=

, Im f (z)= 8y .

Аудиторные задания

3.1 Найти область сходимости ряда:

∞	1	2x −3	n
1) ∑				;
		4x + 5
n=1	n!

∞(−1)n−1

5)n∑=1 n 3n (x −5)n ;

	∞	1	x	n
9)	∑	n		;

n=1			x +1
	∞				x
13)	∑ 2n sin					.

	n=1				3n

∞

1 n

∞

(−1)n 1

− x n

∑

; 3)

∑

2nx ;

∑

;

(2n −1)x2n−1

n=1

−1

+ x

∞

2n−1

∞

−1)

∑

;

∑ 3n2 xn2 ;

∑

;

2n −1

n 9n

n=1

∞

10)

∑

;

11)

∑ n e−n x ;

12)

∑

;

n=1 1+ x2n

n=1

n=1 1+ x2n

3.2 Можно ли почленно интегрировать ряд в области его сходимости:

∞

cos nx

∑

;

∑

x2 + n2

n=1

3.3

Можно ли почленно дифференцировать ряд в области его сходимости:

∞

cos nx

∑

;

∑

x2 + n2

n=1

Домашние задания

3.4

Найти область сходимости ряда:

∞

n xn

∑

;

2) ∑ n enx ;

3) ∑

;

n3 + x2n

n=1

∞

3n+3

∞

∑

;

5) ∑8n x3n arctg

;

6) ∑e−n2x ;

n=1

(2n +1)8n+1

n=1

∞

(−1)n

∞

+ x n

∞

2n sinn x

∑

;

8) ∑

;

9) ∑

n=1

n xn

n=1

100

− x

n=1

	∞			1
3.5	Можно ли почленно интегрировать ряд ∑							.
			2
		x		+ n			n
	n=1
			∞
3.6	Можно ли почленно дифференцировать ряд ∑				sin nx				.
					7
		n=1				n

119

Ответы:			3.1		1)					5		−	5		2)	(− ∞; −1)	(1; + ∞);			3)	(− ∞; 0);		4)	(0; + ∞);
Ответы:			3.1		1)	− ∞; −				4		−	4	; + ∞ ;	2)	(− ∞; −1)	(1; + ∞);			3)	(− ∞; 0);		4)	(0; + ∞);
										4			4
5)	− ∞; 4			2		5	1				6) (− ∞; −1) (1; + ∞); 7)							− ∞; −	1		1		; 8)	− 2; 4 ;
5)	− ∞; 4			3		5	3	; + ∞ ;			6) (− ∞; −1) (1; + ∞); 7)							− ∞; −	3			; + ∞	; 8)	− 2; 4 ;
				3			3												3		3
9)	−	1			;	10)			(− ∞; −1) (1; + ∞);						11)	(0; + ∞);		12)	(− ∞; −1) (−1; 1) (1; + ∞);
9)	−	2	; + ∞		;	10)			(− ∞; −1) (1; + ∞);						11)	(0; + ∞);		12)	(− ∞; −1) (−1; 1) (1; + ∞);
		2

13) (− ∞; + ∞).

3.2 1) Да; 2) да. 3.3 1) Да; 2) да.

3.4 1) (1; ∞+); 2) (–∞; 0); 3) (–∞;	∞+); 4) [–2; 2); 5)		1	;	1	; 6)	(0; ∞+);
		−	2		2

(− ∞; −1) (1; + ∞); 8) (− ∞; 0); 9)

x − πk

≤

k z . 3.5 Да. 3.6 Да.

Занятие 4.

Степенные ряды

Аудиторные задания

4.1

Найти сумму ряда

∞

<1.

∑

n=1n

4.2

Найти область сходимости степенного ряда:

∞

∑

+1)n ; 2) ∑

(x + 4)n ; 3) ∑

(x −

1)n ;

4) ∑(n x)n ;

5) ∑

;

n=1(2n +1)!

n=1

n=12n

n=1

n=1 n!

∞

n x +1 n

∞

∑

;

∑

;

8) ∑

;

9) ∑

; 10)

∑

n=1n

n=1(4n −3)8n

n=12n + 3n

n=1n

n=1n(n +

4.3

Найти сумму ряда:

∞

xn−1 , если

∞

xn+1

∑

< a ;

∑

, если − a ≤ x < a .

+1)a n

n=1a n

n=1(n

Домашние задания

4.4

Найти область сходимости степенного ряда:

∞

1 n2

∞

(−2)n (x + 2)n

∞

∑

xn ;

2) ∑

;

3) ∑

;

∑ n5n (x −3)n ;

n=1

n + 2n

n=1

∞

3n2

(x + 2)n ;

∞

(x − 2)n

∞

x −1

∞

100n (x + 2)n

∑

6) ∑

;

7) ∑

; 8)

∑

;

n +1

n !

n=1

n n

n=1

120

∞	1	n2		∞
9) ∑			(x + 2)n ;	10) ∑ n 3n xn .

n=1	5			n=1

4.5 Почленно дифференцируя или интегрируя данный степенной ряд, найти его сум-

му.

Указание. В некоторых примерах сумму ряда следует домножить или разделить на x, x2 и т.д.

1)	1 2			+		2 3			+				3 4				+			4 5						+ ,			x	<10 ;
	1 2					2 3							3 4							4 5
	100				1000						10000							100000
	100				1000						10000							100000
2)	x +			x2			+	x3		+			x4		+ ,							x	<1;									3)			x2	−			x3		+		x4		−				x5			+ ,		x			<1;
				x2				x3					x4																						x2				x3				x4						x5
				2				3						4																				1 2				2		3			3 4					4		5
				2				3						4																				1 2				2		3			3 4					4		5
4)	1		+	2x			+	3x2			+			4x3			+ ,							x	< 5 ;							5) x +				x2				+		x3		+					x4			+...,		x		< 2 .
	1			2x				3x2						4x3																						x2						x3							x4
	5			52				53						5	4																					2 2					3	22					4			23
	5			52				53						5	4		1																			2 2					3	22					4			23
Ответы: 4.1 S(x) =																	1			. 4.2 1)							− ∞ < x < ∞; 2) 3 < x													< 5 ; 3) 1 < x < 3; 4)													x = 0; 5) расходит-
Ответы: 4.1 S(x) =																x +1				. 4.2 1)							− ∞ < x < ∞; 2) 3 < x													< 5 ; 3) 1 < x < 3; 4)													x = 0; 5) расходит-
																x +1
ся; 6)																																																										a
				−1 < x <1; 7)												− 2 < x < 2 ; 8)												−3 < x < 3 ; 9)								−1 < x < 3; 10)														−1 ≤ x ≤1. 4.3 1)									;
				−1 < x <1; 7)												− 2 < x < 2 ; 8)												−3 < x < 3 ; 9)								−1 < x < 3; 10)														−1 ≤ x ≤1. 4.3 1)								(a − x)2	;
		a ln a																	1			1
2)							− x. 4.4 1)										−				;			; 2) (− 2,5; −1,5]; 3)													(−			2; 2); 4)						(2,8; 3,2); 5) x = −2 ; 6) [1;3];
2)		(a − x)					− x. 4.4 1)										−			е	;	e		; 2) (− 2,5; −1,5]; 3)													(−			2; 2); 4)						(2,8; 3,2); 5) x = −2 ; 6) [1;3];
		(a − x)																		е		e
7)		(−1; 3);						8)				(− ∞;					+ ∞);					9)					(− ∞; + ∞)					; 10)				−		1	;	1		. 4.5						1)				20			; 2) − ln(1− x) ;

																																						3		3											(10 − x)3
																																						3		3											(10 − x)3
3)	(x +1)ln(x +1) − x; 4)																					5					; 5)	2ln				2	.
3)	(x +1)ln(x +1) − x; 4)																		(5 − x)2								; 5)	2ln			2 − x		.
																			(5 − x)2												2 − x

Занятие 5.

Ряды Фурье

Аудиторные задания

5.1

Разложить в ряд Фурье функцию

f (x)

на интервале (− π, π):

− x, −π < x ≤ 0

2) f (x)= sin

3) f (x)=

f (x)=

2x,

0 < x < π

;

5.2

Разложить в ряд Фурье функцию

f (x)

на интервале (0, π):

1) по косинусам, если f (x)

= 1,

0 < x ≤1

;

2) по синусам, если

1 < x < π

4) f (x)= π + x .

f (x)= cos x ;

121

					1
3) по косинусам, если f (x)= 1− 2x, 0 < x ≤					2 .
			0,	1 < x < π
				2
	5.3	Разложить в ряд Фурье функцию			f (x) на интервале (−l, l):
1)		1, −1 < x ≤ 0	;	2) f (x)= ex , l =		1	;	3)		−1, −1 < x ≤ 0			.
1)	f (x)=		;	2) f (x)= ex , l =		2	;	3)	f (x)=	1,	0	< x <1	.
	x, 0 < x <1					2				1,	0	< x <1

	5.4	Разложить в ряд Фурье функцию				f (x), заданную на интервале (0, l):
1)	по косинусам, если f (x)=1− x,				l =1;2) по косинусам, если f (x)= x + x2, l =1;
3)	по синусам, если f (x)=1+ x,			l = 2 ; 4) по синусам, если						f (x)= x2 ,	l =1.
					Домашние задания
	5.5	Разложить в ряд Фурье функцию f(x) на интервале (−π,π) :
1)		5x, − π < x ≤ 0	;	2)		−3, −π < x ≤ 0			;	3) f (x) = e−x / 2 .
	f (x) =	− x, 0 < x < π			f (x) =		1,	0 < x < π

	5.6	Разложить в ряд Фурье функцию f(x) на интервале (0,π) :
1)			1− x, 0 < x <1			;		2) по синусам, если			f (x) = cosπx ;
	по косинусам, если f (x) =			0	, 1 ≤ x < π

3)	по синусам, если f (x)		1,	0 < x < π/ 2			.
			=	π/ 2 < x < π
			0,

5.7 Разложить в ряд Фурье функцию f(x) на интервале (−l,l) :

f (x) =

0,−3 < x <

2) f (x) = e−x , l =1;

f (x) =

, l = 2.

x, 0 < x <

5.8

Разложить в ряд Фурье функцию f(x), на интервале (0,l) :

по косинусам, если

f (x) = 2 + 3x, l = 3;

2) по синусам, если

f (x) = x, l = 3;

по синусам, если f (x) = x −

, l = 2 .

∞ cos(2n −1)x

∞ (−1)n+1 sin nx

8 ∞

n+1

nsin nx

Ответы:

5.1 1)

π−

∑

+ ∑

;

∑(−1)

;

2n −1

4n2

−1

π n=1

n=1

π n=1

∞ cos(2n +1)x

∞ (−1)n+1

2 1

∞ sin n

−

∑

1)2

; 4) π+ 2∑

sin nx . 5.2 1)

+ ∑

cos nx

;

π n=0 (2n +

n=1

2 n=1

122

∞

sin

2) 2π∑

((−1)

cos1−

1)sin nx ; 3)

+16

∑

cos nx .

2π

n=11−(nπ)

n=1

∞

cos(π(2n +1)x)

∞

sin(πnx)

5.3 1)

−

∑

−

∑

;

n=1

(2n −1)

π n=1

∞

1/ 2(cos(2πnx)−πnsin(2πnx))

2) 2Sh

1+ 4∑(−1)n

;

n=1

1+(2πn)

∞

sin((2n

+1)πx). 5.4 1)

∞

cos(2n +1)πx

∞

3(−1)n −1

∑

; 2)

∑

cos nπx ;

π n=1

2n −1

n=0 (2n +1)

n=1

∞

∑

1−3(−1)

sin

nπx

; 4)

∑

((−1)n −1)−(−1)n sin nπx .

π n=1

π n=1 n

(πn)

∞ cos(2n +1)x

∞

(−1)n+1 sin n x

∞

sin(2n

+1)x

5.5 1) −

π+

∑

+ 4

∑

; 2) −1+

∑

;

2n +1

π n=1

n=1

π n=0

∞ (−1)n

(2cos n x + 4nsin n x)

1+ ∑

n=1 4n

π 2

∞

sin n / 2 2

∞

((−1)n cosπ2 −1)sin n x ;

5.6 1)

4∑

cos n x

; 2)

∑

π n=1 π

− n

n=1

∞

1−cos

nπ

∑

sin n x .

π n=1

∞

(2n +1)πx

∞

(−1)n

n πx

5.7 1)

−

∑

cos

−

∑

sin

;

(2n

n=0

+1)

π n=1 n

∞

cos n πx + n πsin n πx

∞

(2n +1)πx

2) 2sh1

+ ∑(−1)n

; 3) 1−

∑

cos

n=1

1+ (πn)

n=0

(2n +1)

∞

(2n +1)πx

∞

n πx

5.8 1)

−

∑

cos

; 2)

∑(−1)n+1

sin

;

π2

n=0

(2n +1)2

π n=1

∞

(2n +1)πx

∑

sin

π3

(2n +1)3

n=0

123

Занятие 6.

Разложение функции в ряд Тейлора, Маклорена. Применение рядов в приближенных вычислениях Аудиторные задания

6.1 Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в ряд Тейлора функции f (x) по степеням x − x0 :

f (x)= ln(1+ex ),

x = 0 ;

f (x)= lncos x,

x = 0 ;

f (x)= x

= 3 ;

f (x)=

=1;

f (x)= ctg x,

;

f (x)= cos2 x,

;

3 − x

f (x)=

= −2 ;

f (x)= 2

+ cos x,

x =

;

f (x)= sin 3x,

= −

;

10) f (x)= xex ,

x =1.

6.2 Разложить функции в ряд Маклорена, используя разложения основных элемен-

тарных функций:

f (x)= e2x ;

f (x)= 3

;

f (x)= sin2 x ;

f (x)=

8 − x3

;

4 + x2

f (x)=

f (x)= arctg x ;

3 + 4x

;

9 + x2

;

f (x)= ln 1

;

f (x)= (1− x)e−2x ;

10)

f (x)= x cos 2x .

6.3

а) С помощью рядов вычислить приближенно с заданной точностью ε:

1/ ε, ε = 0,0001;

2) ln 0,98,

ε = 0,0001;

3) sin

ε = 0,0001;

ε = 0,001;

5) cos25°,

ε = 0,0001.

б) С помощью рядов вычислить приближенно определенные интегралы с указанной точ-

ностью ε:

0,5

x5 sin xdx,

0,2 e−x

0,5

∫

ε = 0,0001;

∫

dx, ε = 0,001;

∫

ε =

0,0001;

3 1+ x3

0,1

0,5

π 4 cos x

∫

ε = 0,001;

10)

∫

dx,

ε = 0,0001.

1+ x

π 6

6.4 Найти с помощью рядов решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющих данным начальным условиям:

124

′′

− xy

′

+ y −1 = 0, y(0)= y (0)= 0 ;

′′

+ xy = 0, y(0)= y (0)=1;

′

+ y = x +1, y(0)=1;

′′

+ y = 0, y(0)= y (0)=1;

=1− xy,

y(0)= 0 ;

= 0,

′

′′

−sin xy

′

y(0)= 0, y (0)=1;

′

′′

′

−(1+ x )y

= 0, y(0)= −2,

= y −

3y +

4x + 2, y(0)= 2 ;

y (0)= 2 ;

′

= e

+ xy,

y(0)= 0 ;

10) y

′′

= x

′

− y ,

y(0)=1, y (0)= 0 .

Домашние задания

6.5Разложить функцию f (x)= 4x в ряд Тейлора по степеням x −1.

6.6Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в ряд Тейлора функции

f (x)= ctg x в точке x		=	π	.
f (x)= ctg x в точке x		=		.
	0	4
		4
6.7	Разложить	f (x)=			1				в ряд Маклорена, используя разложения основных


						16 + x2
						16 + x2
элементарных функций.
6.8	С помощью рядов вычислить приближенно значения функций с точностью ε:
1) cos10°,	ε = 0,0001;	2) 3					,	ε = 0,001; 3)		1		, ε = 0,0001; 4) ln5, ε = 0,00001.
						70				1
						70
										4
										4	e

6.9 С помощью рядов вычислить приближенно определенный интеграл с указанной точностью ε:

0,5	arctg x
∫		dx, ε = 0,001.
∫		dx, ε = 0,001.

6.10Найти четыре члена разложения в ряд решения ДУ при заданных начальных ус-

ловиях

	′′				′						0, y(0)=1,									′												′			2	3							1
1) xy	′′		+ y		′	+ xy =														′	;						2)				y	′	= y + x = 0, y(0)= .
1) xy			+ y			+ xy =														y (0)= 0	;						2)				y		= y + x = 0, y(0)= .
																																										2
Ответы:					6.1 1) ln 2 +									x					x2	+ ; 2)		x2						x4				x6			+ ;
																+									+						−
														2		+		8					2		+		12				−	20
														2				8					2				12					20
				+	3				(x −3)+										(x −3)2 + ; 4)							1			+		3		(x −1)+				3
3) 3								3									3																							(x −1)2 + ;
		3						3									3
		3				2									22																22
						2									22												3				22					23
							π					4					π 2				1													π 2							π 2
							π					4					π 2				1							3						π 2				3			π 2
					−					+										+ ; 6)																						+ ;
5) 1− 2 x					−					+			x −							+ ; 6)				−						x −			3		+	3!			x −			+ ;
							4					2!					4				4 2						1!						3			3!					3

125

x + 2 (x + 2)2

π 2

7) −

; 8) 2

;

1−

x −

−

x −

π 5

9) −

−

e(1+ 2(x −1)+3(x

−1) + ).

x +

+ ; 10)

(2x)2

(2x)n

2 x 6

2 5(3n −4)

x 3n

6.2 1) 1+ 2x +

+ +

+ ; 2)

2 −2

+ +

;

1 ∞

n+1

(2x)2n

∞

x2n+1

∞

4n xn+1

∑(−1)

; 4)

∑(−1)

; 5) ∑(−1)

;

2 n=1

(2n)!

n=0

3n+1

1 3

(−1)n1 3 (2n −1)

∞

x2n+1

1−

+ +

x2n

; 7)

∑(−

1)n

;

1 18

n!18

n=0

2n +1

∞ 2n xn

∞

2n xn+1

∞

x2n+1

−

+(−1)

+ ; 9)

∑

− ∑(−1)

; 10) ∑(−1)

2n n

(2n)!

2 22 2

n=0

6.3 a) 1) 0,3679; 2) – 0,0202; 3) 0,3091; 4) 3,915; 5) 0,9063; б) 6) 0,00108; 7) 32,864; 8) 0,4926; 9) 0,494; 10) 0,3230.

6.4

1) y =

3x6

+ ; 2)

y =1+ x −

2x4

+ ; 3) y

=1+

− ;

−

2x5

4) y = x −

−

+ ; 5) y = x −

− ; 6)

y = x +

+ ;

(1!)2 2

(2!)23

(3!)2 4

3 5

7) y = −2 + 2x − x2 + ; 8) y = 2

+ 4x2 +

x4 +

2x3

; 9)

y = x +

+ ;

10)

y =1

2x4

−

2x5

+ .

(x −1)−

3 7

6.5

−1)

(x −1)

+ .

43 3!

π 2

π 3

6.6

+ .

−

−2 x

x −

1 3

1 3 5

6.7

4 1−

2 16

2!162

−

+ .

33 3!163

6.8

1) 0,9849; 2) 4,121; 3) 0,7788; 4) 1,6099. 6.9 0,487.

126

6.10 1)	y =1	−	x2	+	x4	−	x6	+ ; 2)	y =	1	+	1	x +	1	x2 +	1	x3 + .
			22		22 42		22 42 62			2		4		8		16

Занятие 7.

Функция комплексной переменной. Предел. Производная. Условия Коши-Римана

Аудиторные задания

7.1 Описать области, заданные следующими соотношениями:

1) 0 < Re(2z)<1;

− 2

< 2 ;

z −i

> 2 ;

< Im

4) 1 <

z + 4

< 3 ;

z + i

>1;

6) 2 <

z +i

< 5 .

7.2 Найти действительную и мнимую части функции

f (z):

1) f (z)= 2i z + z ;

3)f (z)= Re(z2 −i)+ i Im 1 z + 4 ;

2) f (z)= z z + 4i z2 ;

4) f (z)= Im z + 2i Re(4iz).

7.3

Найти образы указанных точек при заданных отображениях:

z0 = i; ω = z2 −i ;

2) z0 = −i; ω = e2z ;

3) z0 =

1−i

; ω = (z +i)2 ;

z0 =

πi

; ω = sin(iz);

z0 =1−5i; ω = cos z ;

z0 = −2i; ω = Ln z .

7.4

Вычислить следующие пределы:

lim

+ zi + 2

;

lim

cos z

;

3) lim

sin(iz)

;

lim

e2iz +1

z→−2i

z + 2i

z→0 ch(iz)

z→

πi

ch z +ish z

→π/ 2

e−iz +1

7.5 Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения найти

f (z):

′

f (z)= ez / 2 ;

2) f (z)= ch z ;

f (z)= 4(x2 −2)−4(y2 + 4)+i(8xy −5);

4) f (z)= x2 +14xy + y2 −8 +i(2xy −7x2 +7 y2 + 4).

7.6 Проверить гармоничность приведенных функций и найти, когда это возможно,

аналитическую функцию по данной ее действительной или мнимой части:

u(x, y)= x3 −3xy2 ;

2) v(x, y)= 2ex sin y ;

3) u(x, y)= x2 − y2 +5x + y −

;

4) v(x, y)= 2xy +8x2 −8y2 + 4x .

x2 + y2

127

Домашние задания

7.7

Описать области, заданные соотношениями:

1) 1 <

z +3i

< 3;

> 2 ;

z −4i

< 5 .

7.8

Найти действительную и мнимую части функции

f (z):

1) f (z)= 2i − z +3iz2 ;

2) f (z)= iz2 −4z ;

3) f (z)= ez z2 .

7.9

Вычислить следующие пределы:

1) lim

z2 − 2iz +8

;

2) lim

−2iz +3

z2 +16

z2 +9

z→4i

z→3i

7.10

Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения найти

f (z):

′

1) f (z)= e4z + 2z −4 ;

2) f (z)= z2 + 4iz + 5;

3) f (z)= sh(2z).

7.11

Проверить гармоничность приведенных ниже функций и найти, когда это воз-

можно, аналитическую функцию по данной ее действительной или мнимой части:

1) u(x, y)= 2xy +3 ;

2) v(x, y)= 3 + x2 − y2 −

2(x2 + y2 )

Ответы: 7.1 1) полоса, ограниченная прямыми x = 0, x =1/ 2 ;

2) полоса, ограниченная прямыми y = ±6 ; 3) внешность круга с центром в точке z = i и ра-

диусом

4) внутренность

кольца с

центром в т.

z = −4 и р диусами 1 и 3;

7.3 1)

6) ln 2

7.41)

7.51)

7.61)

−1−i ; 2) i; 3) cos 2 −isin 2 ; 4) − 2 ; 5) 1 (e5 +e−5 )cos1+ i (e5 −e−5 )sin1;

	2	2	2
3π


+i	+ 2πk , k Z .
2
−3i ; 2) 1; 3) ∞; 4) 0.

	1	ez / 2 ; 2) sh z ; 3) 8x +i8y ; 4) Условия Коши-Римана не выполняются.
	2
	2

f (z)= (x3 −3xy2 )+ i(3x2 y − y3 + C); 2) f (z)= 2ex cos y + C + 2iex sin y ;

128

f (z)= x2

− y2 + 5x + y −

+ i

2xy + 5y −

− x + C

;

+ y

f (z)= (x2 −16xy − y2 − 4y + C)+ i(2xy +8x2 −8y2 + 4x).

7.71) внутренность кольца с центром в т. z = −3i и радиусами 1 и 4; 2) внешность круга с центром в точке z = 0 и радиусом 2;

3) внутренность круга с центром в т. z = 4i и радиусом 5.

7.81) Re f (z)= −x −6xy, Im f (z)= 2 − y +3x2 −3y2 ;

2)Re f (z)= −2xy −4x, Im f (z)= x2 − y2 + 4y ;

3)Re f (z)= ex (x2 − y2 )cos y −2xyex sin y , Im f (z)= ex (x2 − y2 )sin y + 2xyex cos y .

7.9 1) 3 ; 2) 2 . 7.10 1) 4e4z + 2 ; 2) 2ch(2z); 3) 2z + 4i .

7.111) f (z)= 2xy + 3 + i(y2 − x2 + C);

					x										y
2)	f (z)=	− 2xy +						+ C	+ i	3	+ x2	− y2 −						.
2)	f (z)=	− 2xy +	2(x	2		2	)	+ C	+ i	3	+ x2	− y2 −	2(x	2		2		.
				2	+ y	2								2	+ y	2
					+ y										+ y		)

Занятие 8.

Интеграл от функции комплексной переменной Аудиторные задания

8.1 Вычислить интегралы по заданным контурам:

1)	∫Im zdz, L = {(x, y)\| y = 2x2, 0 ≤ x ≤1};			2) ∫Re(z + z2 )dz, L = {(x, y)\| y = 2x2, 0 ≤ x ≤1};
	L			L
3)	∫(z2 − z)dz, L = {z \|	z	=1, π ≤ arg z ≤ 2π};	4) ∫Im z2 Re zdz, L = {(x, y)\| y = 3x2, 0 ≤ x ≤1};

	L			L
5)	∫(Re z + Im z)dz , где L – отрезок, соединяющий начало координат и точку 2 −i .
	L

8.2Применяя формулу ∫ f (η)dη = F(z2 )− F(z1), вычислить интегралы:

	z1
	∫e2zdz, L = {(x, y)\| y = x3, 1 ≤ x ≤ 2}; 2)		1		3
1)		∫sin zdz, L = z \| z = t2 + it,		≤ t ≤		;
1)		∫sin zdz, L = z \| z = t2 + it,	2	≤ t ≤	2	;
	L	L	2		2
3)	∫z2 cos zdz , где L – отрезок прямой от т. z1 = i до т. z2 =1.
	L

129

8.3 Вычислить интегралы, применив теорему Коши, интегральную формулу Коши или формулу, получаемую дифференцированием интегральной формулы Коши (обход контуров – против часовой стрелки):


1) ∫			z2	dz ; 2) ∫			z2	dz ;
1) ∫			z − 2i	dz ; 2) ∫				dz ;
	z	=4			z	=1 z −2i
	z	=4			z	=1 z −2i

∫

;

∫

z2 + 2z

∫

e2z

dz ;

z+2

=2 (z2 −4)(z +i)

π


sh	(z +i)
2		dz ;
z2	−2z

∫

e2z

∫

e2z

dz ;

=1 z −πi

z − πi

∫

sin z sin(z −1)

dz ;

∫

sin z

dz ;

z2 − z

z+i

=1 (z + i)3

10)

∫

cos z

dz .

=4 (z − π)2

Домашние задания

8.4

Вычислить интегралы по заданным контурам:

∫

zdz , где L – верхняя полуокружность

= 2 с обходом против часовой стрелки;

L∫

dz,

=1, 0 ≤ arg z ≤

L = z

;

∫

(sin z + z5 )dz , где L – ломаная, соединяющая точки z

=1, z

= 0, z

= 2i ;

4) ∫Re(2z)dz , где L – отрезок, соединяющий точки z1 =1−i, z2 =1+i .

8.5 Выполнить действия согласно 8.3.

∫

;

∫

;

∫

;

∫

cos z

dz ;

1+ z2

z−i

1+ z2

z+i

=1 1+ z2

2 −π2

z2 +1

sh2 z

cos 2z

∫

dz ;

∫

dz ;

∫

dz ;

∫

dz .

=1 z2 −1

(z2

+1)(z2

−9)

(z −πi)3

z−1

z−i

Ответы: 8.1 1)

+ 2i ; 2)

−

i ;3)

+ πi ; 4)

+6i ; 5) 1−

i .

(e4+6i −e2+2i ); 2)

(3sin1+ 2cos1)−i(2ch1−sh1).

8.2 1)

− cos

−cos

; 3)

18.3 1) −8πi ; 2) 0; 3) 0; 4) 2πi ; 5) 0; 6) π; 7) 0; 8) πsh1; 9)

e−4 (2i −1); 10) 0.

130

8.4 1) 8πi ; 2) − i +1 ; 3) cos1−ch 2 − 65 ; 4) 0.

8.5 1) 0; 2) π; 3) – π; 4) – i; 5) 2πi ; 6) 2πi ; 7) 0; 8) − πi .

Занятие 9.

Ряды Тейлора и Лорана

Аудиторные задания

9.1 Используя разложение основных элементарных функций, разложить функции в ряд по степеням z и указать область сходимости полученных рядов:

−z2

; 2) cos z

3) sin 2z cos 2z ; 4) sin

1) e

;

z ; 5)

; 6)

; 7)

ln z +

1+ z

4 + z2

1+ z − 2z2

9.2

Разложить функции в ряд по степеням z − z0

и указать область сходимости полу-

ченных рядов:

z3 − 2z2 −5z − 2, z0 = −4 ;

, z0 = 2 ;

, z0

= 3i ;

, z0 = 3.

z2 − 6z + 5

1− z

9.3

Найти область сходимости указанных рядов

∞

(−1)n (n +1)(n + 2)zn ;

∞

1)n ;

∞

(z −3)n

∑

2) ∑n(z +

3) ∑

n=0

n=1

n=0 n +1

9.4

Разложить данные функции в ряд Лорана в проколотой окрестности точки z0 :

ez2

, z0 = −1;

cos z, z0 = 0 ;

, z0 = 0 ;

(z +1)3

3) sin

, z0 = −2 ; 4)

+ 2

6) z e

, z0

= 0 ;

, z0 =1;

, z0 = 2 .

z cos

, z0 = 0;

z(z −1)

(z − 2)(z + 3)

9.5

Разложить данные функции в ряд Лорана в заданных кольцах:

,1 <

< 2 ;

, 0 <

<1;

,1 <

z +1

< 3 .

(z + i)(z + 2i)

z(1− z)

(z +1)(z + 2)

Домашние задания

9.6

Выполнить действия согласно 9.2.

, z0 = 0 ;

ln(5z + 3), z0 =1;

27 − z , z0 = 0 ;

3 + 4z

131

4)		1	, z0	= −4 ;	5) z2 e1/ z , z0	= 0.

	z2	+ 3z + 2

		9.7 Выполнить действия согласно 9.3.

∞	(z −1)n			∞
1) ∑			;	2) ∑n!(z −i)n ;
	n2	2n
n=1				n=1

∞

3) ∑(1+ i)n zn .

n=1

9.8 Выполнить действия согласно 9.5.

,1 <

< 2 ;

,1 <

z −1

< 2 ;

(z −1)(z − 2)

z(z + 3)

, 2 <

, 0 <

−i

< 2;

< +∞.

z2 +1

(z2 − 4)(z2 + 4)

∞

z4n

∞

Ответы: 9.1 1)

∑(−1)

< +∞ ; 2) ∑(−1)

< +∞;

n=0

(2n)!

1 ∞

n−1

(4z)2n−1

∞

n−1

(2z)2n−1

∑(−1)

< +∞; 4)

∑(−1)

< +∞;

2 z=1

(2n −1)!

2 n=1

(2n)!

∞

2n−1

∞

∑(−1)n+1

< 2 ; 6)

∑(1+ (−1)n 2n+1)zn ,

;

22n

n=1

n=0

∞

(2n −1)!z2n+1

z + ∑(−

<1.

2n n!(2n +1)

n=1

∞

(−1)n+1 (z − 2)n,

9.2 1) − 78 + 59(z + 4)−14(z + 4)2 + (z + 4)3 ; 2) ∑

z − 2

<1;

n=0

∞

(z −3i)n

∞

(z −3)2n

∑

z −3i

< 10 ; 4) − ∑

z −3

< 2 .

n+1

n=0

(1−3i)

n=0

9.3 1)

< 1 ; 2)

z +1

<1; 3)

z −3

<1.

z2n−3

∞

9.4 1)

−

, z ≠ −1

; 2) ∑(−1)

, 0 <

< +∞;

(z +1)2

(z +1)3

(2n)!

n=0

∞

(−1)n−1

∑

, 0 <

z + 2

< +∞ ;

(2n +1)!(z + 2)n+1

n=0

(−1)n z2−2n

∞

z2n−1

∞

z3−n

∑

, 0 <

< +∞; 5) ∑

, 0 <

< +∞; 6) ∑

, 0 <

< +∞ ;

n=0

(2n)!

n=0

132

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3125 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.20252.23 Mб1Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf
#
24.11.20252.43 Mб0Математика. Часть 1.pdf
#
28.12.20251.69 Mб0Математика. Часть 2-1.pdf
#
24.11.20254.84 Mб1Математика. Часть 2.pdf
#
24.11.20251.69 Mб1Математика. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.6 Mб0Математика.pdf
#
28.12.20252.17 Mб0Математика_1.pdf
#
28.12.20251.51 Mб0Математика_2.pdf
#
28.12.2025883.18 Кб0Математика_3.pdf
#
28.12.2025921.92 Кб0Математика_4.pdf