ПРАКТИКУМ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИКА. ЧАСТЬ 3

ОГЛАВЛЕНИЕ

Занятие 1.

Числовые ряды. Основные определения. Признаки сходимости рядов

с положительными членами.................................................................................

117

Занятие 2.

Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Абсолютная и условная сходимость ...................................................................

118

Занятие 3.

Функциональные ряды..........................................................................................

119

Занятие 4.

Степенные ряды ......................................................................................................

120

Занятие 5.

Ряды Фурье...............................................................................................................

121

Занятие 6.

Разложение функции в ряд Тейлора, Маклорена.

Применение рядов в приближенных вычислениях.........................................

124

Занятие 7.

Функция комплексной переменной. Предел. Производная.

Условия Коши-Римана ..........................................................................................

127

Занятие 8.

Интеграл от функции комплексной переменной..............................................

129

Занятие 9.

Ряды Тейлора и Лорана .........................................................................................

131

Занятие 10.

Изолированные особые точки ............................................................................

133

Занятие 11.

Вычеты. Основная теорема о вычетах..............................................................

135

Занятие 12.

Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение

элементарных функций. Основные теоремы....................................................

136

Занятие 13.

Основные теоремы операционного исчисления .............................................

138

Занятие 14.

Дифференцирование и интегрирование оригиналов и изображений.........

140

Занятие 15.

Свертка функций. Теорема Бореля. Формулы Дюамеля..............................

142

Занятие 16.

Применение операционного исчисления к решению линейных

дифференциальных уравнений, систем дифференциальных уравнений,

интегральных уравнений и уравнений с частными производными...........

144

Занятие 17.

Дифференциальные уравнения в частных производных .............................

148

РАЗДЕЛ КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ ......................................................................................................

151

Типовой расчет «Ряды» ..............................................................................................................

151

Типовой расчет «Элементы операционного исчисления»...................................................

159

Типовой расчет «ТФКП»............................................................................................................

171

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЙ РАЗДЕЛ

ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА. ЧАСТЬ 2» ...........................................

183

Программа дисциплины.............................................................................................................

183

Экзаменационные вопросы для студентов 2 курса (3 семестр) ..........................................

185

Перечень учебно-методических пособий.................................................................................

187

2

4

8

∞

1

1) 1+

+

+ +

+ ;

2) 2 + 6 +10 +14 +18 + ;

3) ∑

.

3 9

27

n=1

n(n + 3)

1.2

Установить, выполняется ли необходимый признак сходимости ряда:

∞

2n +1

∞

∞

5 n

∞

n2 +1

∞

1

∞

n2 + 2

n +1

1) ∑

;

2) ∑

;

3) ∑

1+

; 4)

∑

; 5) ∑ соs

; 6) ∑

.

2n +

2

n +

2

(n +1)3

n

n

+1

n=1

n=1

n=1

n

n=1

n=1

n=1

1) ∑

1.3

Установить, сходятся ли ряды, используя признаки сравнения:

6) ∑

1

.

5

n

+

1 ; 2) ∑ 1

; 3)

∑ 1

; 4) ∑

2

k

; 5)

∑ n

+1 ;

∞

∞

∞

∞

∞

∞

n=1 2n

n2 + 6

n + 5n

1+ 22k

n=1 n2 +1

n=1 n

n=1

n=1

n=1

n2 +1

1.4

Установить, сходятся ли ряды, используя признаки Даламбера и Коши (радикаль-

ный или интегральный):

∞

n3

∞ 2n

∞ 1 n

+1

n2

∞

1

1) ∑

;

2) ∑

2

;

3) ∑

;

4)

∑

;

(n +

1)!

2n

n

(n +1)ln(n +1)

n=1

n=1 n

n=1

n=1

1

5) ∑ 1

;

6) ∑

1

;

8) ∑

1

.

7) ∑ e

n

;

∞

∞

∞

∞

(ln n)n

2

2

n=2 n

n=2

ln n

=

n

=

n

+ 2n + 2

n 1

n 1

∞

1

∞

1

1)

∑

;

2) ∑

.

3n−1

n=1

n=1

n(n + 2)

1.6

Установить, сходятся ли указанные ряды:

∑

10n +1

∞

n

+ 2

∞

1

∞

7n +1

1)

;

2)

∑

;

3)

∑

;

4)

∑

5n

;

10n + 5

+1

3n + n

n=1 n2 + n

n=1

n=1

∞

1

∞

1

∞

1

∞

5n + 6 n

5)

∑ arcsin

;

6)

∑ tg

;

7)

∑

;

8)

∑

;

(n + 4)!

n=1

n

n=1

n

n

n=1

n=1

3n − 4

∞ ln2 n

∞ n + 2

∞

∞ 1

2 n

n

∑

∑

∑

9)

;

10)

∑

4

n ;

11)

n!

;

12)

.

=

n

n=1 n

n=1

=

n

5

n 1

n

1

Занятие 2.

Знакопеременные и знакочередующиеся ряды.

Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость

Аудиторные задания

2.1 Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующие ряды:

∞

(−1)n

∞

n

2n2 −1

∞

(−1)n (3n +1)

∞

n

1

1)

∑

;

2) ∑(−1)

5 + n2

;

3)

∑

;

4) ∑

(−1)

;

n(n

+ 2)

n ln2 n

n=1(3n −1)!

n=1

n=1

n=2

∞

1

∞

3n

n

∞

(−1)n

∞

(−1)n

5) ∑(−1)n ln 1

+

;

6) ∑(−1)n

; 7)

∑

;

8) ∑

;

3n +1

=

n

=

n=1 n + 3

n

=

n

n 1

n 1

n 1

∞ cos na

∞

(−1)n

9)

∑

;

10) ∑

.

n!

ln n

n=1

n=2