Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Часть 3.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

1.69 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3122 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

F(p)= −Φ (p).			(4.18)
	′
Проинтегрируем равенство (4.18) вдоль любого пути, лежащего в полуплоскости
η	η
∫F(z)dz = −∫Φ′(z)dz = −Φ(z)		ηP = Φ(p)−Φ(η).
P	P

Перейдем к пределу при η→∞. При этом действительная часть Reη → ∞ .

∞

∫F(p)dp = Φ(p), т.к.

Φ(η)= 0 при Reη → ∞ .

f (t)

∞

Итак,

∫F(p)dp

= L

, что и требовалось доказать.

Пример 4.19. Найти изображение для

f (t)=

sin t

Решение. Так как L{sin t}=

, то согласно (4.17):

P2 +1

sin t

∞ dp

∞

= arctg p

= arctg∞−arctg p

−arctg p .

∫p p2

Пример 4.20. Найти изображение

f (t)= 1− cos2t e−5t .

Решение. Функция f (t) является оригиналом, так как она непрерывна при всех t>0, а

lim f (t) – конечен. Найдем изображение для 1−cos 2t :

L{1−cos 2t}=

−

p2 + 4

t→0

Тогда по (2.18)

1− cos2t

∞

∫

−

lim

−

lim

ln p −

ln(p

+ 4

dp =

∫

+ 4

dp =

Reη→∞ P

Reη→∞

+ 4

lim ln

lim

− ln

= ln1− ln

= ln

Reη→∞

+ 4

Reη→∞

+ 4

Тогда

−cos 2t

−5t

(p +5)2 + 4

p2 +10 p + 20

= ln

p +5

4.4 Свертка функций. Теорема Бореля. Интегралы Дюамеля

Сверткой двух функций f1(t) и f2 (t) называется функция

F(t)= ∫ f1(t −τ)f2 (τ)dτ.

(4.19)

106

Интеграл, определяющий свертку, не меняет своего значения от перестановки функций f1(t) и f2 (t). Поэтому свертка двух функций симметрична относительно свертываемых функций.

При решении дифференциальных уравнений операционным методом бывает полезна следующая теорема.

Теорема 4.11 (теорема свертывания Бореля). Если F1(p) и F2 (p) есть изображения

функций f1(t)

f2 (t), т. е.

F1(p)→ f1(t),

F2(p)→ f2(t), то F1(p) F2 (p) есть изображение

(τ)f2 (t −τ)dτ, т.е.

функции ∫ f1

F1(p)F2 (p)→ ∫ f1(τ)f2

(t −τ)dτ.

(4.20)

Доказательство. Применим к функции ∫ f1(τ)f2

(t −τ)dτ оператор Лапласа

(τ)f

∞

e− pt

(τ)f

(*)

(t −τ)dτ =

∫

(t −τ)dτ dt .

∫

Справа – двухкратный интеграл по области интегрирования: τ = 0, τ = t в системе ко-

ординат (τ,t). Изменив порядок интегрированияв нем, получим

∞

e− pt f

Пусть

(*)=

t −τ = z

∫

(τ)

(t −τ)dt dτ =

∫

t = z + τ

Тогда

∞e− pt

(t − τ)dt =

∞e− p(z+τ)f

(z)dz = e− pτ

∞e− pz f

(z)dz = e− pτF (p)

∫

Тогда * имеет вид:
(*)	∞ f	(τ)e− pτF	(p)dτ = F	(p)∞e− pτ f		(τ)dτ = F	(p)F (p).
	∫ 1	2	2	∫	1	2	1
	0			0
t	(τ)f2 (t −τ)dτ ← F1(p)F2 (p).
∫ f1	(τ)f2 (t −τ)dτ ← F1(p)F2 (p).
0
			t		(t −τ)dτ называется сверткой двух функций f1(t) и
Замечание 1. Выражение ∫ f1(τ)f2					(t −τ)dτ называется сверткой двух функций f1(t) и
			0

f2 (t). Операция получения свертки называется свертыванием двух функций, при этом

107

∫ f1(τ)f2 (t −τ)dτ = ∫ f1(t −τ)f2

(τ)dτ,

т.е. свертка функций обладает переместительными свойствами.

Замечание 2. Если f (t)= f (t), f

(t)=1, то f (t)→ F(p),

(t)→

и теорема сверты-

вания для этих функций запишется так:

f (τ)dτ ←

F(p).

∫

Таким образом, легко находится изображение интеграла от данной функции.

Пример

4.20. Пользуясь

теоремой

свертывания,

найти

оригинал функции

F(p)=

p4 −1

Решение.

Имеем: F(p)=

. Так как

→ cht,

→ sin t , то по

p2 −1

p2 +1

p2 −1

p2 +1

теореме свертывания

[sh(t − τ)sin

τ ch(t − τ)cosτ]

(cht − cost).

→

∫ch(t − τ)sin τdτ = −

−1

Пример 4.21. Найти оригинал функции, если F(p)=

F (p)

, где

(t)→ f (t).

p2 +1

Решение.

Имеем:

→ sin t, F

(p)→ f (t).

Обозначив

= F (p)

p2 +1

F(p)= F1(p), получим:

F1(p)F2 (p)→ ∫ f (τ)sin(t −τ)dτ – оригинал функции.

F1(p)F2 (p)÷∫ f2 (τ)f1(t −τ)dτ = ϕ(t)

Поскольку функция равна 0 при t = 0 , то пользуясь правилом дифференцирования

ϕ(t)= ∫ f1(τ)f2 (t −τ)dτ оригинала, получаем следующую запись теоремы Бореля:

pF1(p)F2 (p)÷ d ∫t f1(τ)f2 (t −τ)dτ. dt 0

Интеграл в правой части этой формулы называется интегралом Дюамеля. Если в ы- полнить дифференцирование в интеграле Дюамеля, то теорема свертки примет вид:

108

pF	(p)F	(p)→ f		(t)f		2	(0)+ t	f		(τ)f ′(t − τ)dτ.	(4.21)
1	2	1				2	∫	1		2
							0
Или, учитывая равноправность функции F1(p) и F2(p), имеем:
pF	(p)F	(p)→ f	2		(t)f		(0)+ t	f	2	(τ)f ′(t − τ)dτ.	(4.22)
1	2		2			1	∫		2	1
							0

Примененное здесь правило дифференцирования интеграла по переменной, входящей в качестве параметра в подынтегральную функцию и в верхний и предел интегрирования, определяется формулой

t	′	t
			′
∫	f (x,t)dx	= f (t,t)+ ∫	′
∫	f (x,t)dx	= f (t,t)+ ∫	ft (x,t)dx .
a		a

4.5 Обратное преобразование Лапласа

∞

Если F(p)= ∫e− pt f (t)dt – прямое преобразование Лапласа, то обратное преобразова-

ние Лапласа – возможность получить функцию-оригинал через известную функциюизображение:

f (t)=	1	S +iw	1		S +iw
		∫F(p)e ptdp =		lim	∫F(p)e ptdp ,	(4.23)

	2πi	S −iw	2πi w→∞ S −iw

где S – некоторая константа.

Пользоваться формулой для обратного преобразования можно при определенном виде функции F(p), либо для численного нахождения функции-оригинала по известному изображению.

Для восстановления оригинала f (t) по заданному изображению F(p) в простейших случаях используется таблица изображений.

Дополнительное применение свойств изображений позволяет существенно расширить возможности восстановления оригинала по заданному изображению.

Теорема 4.12 (Римана-Меллина). Пусть функция f (t) – ориганал, а F(p) – ее изображение. Тогда в любой точке t непрерывности оригинала f (t) справедлива формула Ри- мана-Меллина

	1	S +i∞
f (t)=		∫F(p)e ptdp ,	(4.24)
	2πi
		S −i∞

109

∞

которая является обратной к формуле F(p)= ∫e− pt f (t) и называется обратным преобра-

зованием Лапласа.

В точке t0, являющейся точкой разрыва 1-го рода функции f (t), правая часть форму-

лы Римана-Меллина равна

(f (t0 −0)+ f (t0 +0)).

Непосредственное применение формулы обращения для восстановления оригинала

f (t) по изображению F(p)

затруднительно. Для нахождения оригинала пользуются теоре-

мами разложения.

Теорема 4.13 (1-я теорема разложения). Если функция F(p)

в окрестности точки

p = ∞ может быть представлена в ряд Лорана

∞

F(p)= ∑

+ ,

k =0 pk +1

то функция f (t)

∞

= C0

+ C1t

+ C2 t

= ∑Ck

+ является оригиналом, имеющим изображе-

k =0

ние F(p)

∞

F(p)= ∑

→ ∑Ck t

= f (t).

(4.25)

k =0 pk +1

k =0

Теорема 4.14 (2-я теорема разложения). Если F(p)= QP((pp)) – рациональная правиль-

ная несократимая дробь, p1, p2, pn – простые или кратные нули знаменателя Q(p), то оригинал, соответствующий изображению F(p), определяется формулой


F(p)=	P(p)	n	P(p)		p t	= f (t).
		→ ∑ Res		e	k		(4.26)
	Q(p)
		k =1p= pk Q(p)

Теорема 4.15. Пусть F(p) – функция комплексной переменной p, обладающая свойствами:

1. Функция F(p), первоначально заданная в полуплоскости Rep = u > S0 (S0 −const) и удовлетворяющая в ней условиям:

а) F(p) – аналитическая функция в полуплоскости Rep = u > S0 ;

б) в области Rep ≥ u > S0 функция F(p) стремится к нулю при p → ∞ равномерно

110

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3122 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.20252.23 Mб1Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf
#
24.11.20252.43 Mб0Математика. Часть 1.pdf
#
28.12.20251.69 Mб0Математика. Часть 2-1.pdf
#
24.11.20254.84 Mб1Математика. Часть 2.pdf
#
24.11.20251.69 Mб1Математика. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.6 Mб0Математика.pdf
#
28.12.20252.17 Mб0Математика_1.pdf
#
28.12.20251.51 Mб0Математика_2.pdf
#
28.12.2025883.18 Кб0Математика_3.pdf
#
28.12.2025921.92 Кб0Математика_4.pdf