L{f (αt ± τ)}=

1

±

p

τ

p

α

e

F

.

(4.9)

α

α

Пример 4.12. Найти изображение функции

f (t)= sin(wt + ϕ).

Решение. Известно, что L{sin t}=

1

. Тогда согласно следствию имеем:

p2 +1

1

p

1

1

p

w2

w

p

L{sin(wt +ϕ)}=

e

ϕ

e

ϕ

e

ϕ .

w

=

w

=

w

p 2

p2 + w2

p2 + w2

w

+1

w

w

4.3 Дифференцирование и интегрирование оригиналов и изображений

Теорема 4.7 (дифференцирование оригинала). Если F(p)

является изображением

для f (t), то p F(p)− f (0) является изображением для

f

′

(t):

′

(4.10)

p F(p)− f (0)→ f (t).

Доказательство. На основании определения изображения можно записать

′

∞

− pt

′

(4.11)

L{f (t)}= ∫e

f (t)dt .

0

′

′′

f

(n)

(t) удовлетворяют условию

Предполагаем, что все производные f (t), f

(t), ,

f (n)(t)

< MeS0t .

(4.12)

∞

− pt

′

u = e−pt

du = −pe−pt

= e

− pt

f (t)

∞

∞

− pt

∫e

f (t)dt =

′

0

+p ∫ f (t) e

dt = .

0

0

dv = f (t)dt v = f (t)

= − f (0)+ p F(p)= p F(p)− f (0).

Здесь

lim e−pt

f (t)= 0 .

t→∞

Получили, что

′

L{f (t)}= p F(p)− f (0).

p

n

F(p)

−(p

n−1

f (0)+ p

n−2

′

(n−2)

(0)+ f

(n−2)

(0))→

f

(n)

(t).

(4.13)

f (0)+ + pf

Замечание. Формула (4.13) упрощается, если

f (0)=

f (0)=

= f

(n−1)

(0)=

0 :

′

L{f (n)(t)}= pn F(p).

(4.14)

То есть, чтобы продифференцировать оригинал в этом случае нужно его изображение

умножить на p.

Пример 4.13. Найти изображение для

f (t)= ch wt .

1

′

L{(sh wt)}=

w

Решение. Имеем, что

ch wt

=

(sh wt) .

В

свою

очередь

и

w

p2 − w2

sh(0)= 0 . Тогда на основании формулы (4.14) можем записать

L{(ch wt)}=

1

w

p =

p

.

p2 − w2

p2 − w2

w

Пример 4.14. Найти изображение дифференциального выражения

′′

′

′

y

(t)−4y (t)+ 2y(t)+1, если

y(0)= −1, y (0)= 2 .

Решение. Имеем y(p)→ y(t). Тогда

L{y (t)}= py(p)− y(0)= py(p)+1

′

′′

2

′

2

L{y (t)}

= p y(p)− py(0)− y

(0)= p y(p)+ p −2

Используя свойство линейности, получим:

′′

′

2

L{y (t)−4y

(t)+ 2y(t)+1}= p y(p)+ p −2 −4 py(p)−4 + 2y(p)+1 =.

= p2 y(p)+ y(p)(2 −4 p)+ p −5.

Теорема 4.8 (дифференцирование изображений). Если F(p) является изображени-

ем для f (t), то F (n)(p) является изображением для (−1)n tn f (t):

F(n)(p)→ (−1)n tn f (t).

(4.15)

′

∞

− pt

∞

− pt

∫t e

f (t)dt = ∫e

(−t f (t))dt

F (p)= −

0

0

∞

2

− pt

∞

− pt

2

′′

f (t)dt = ∫e

(t f (t))dt

F

(p)= ∫t e

0

0

0

0

(–t).

Пример 4.15. Найти изображение функции

f (t)= t sin wt .

Решение. Известно, что

L{sin wt}=

w

. Тогда

p2 + w2

d

w

−2 pw

2 pw

−t sin wt ←

=

. Следовательно, t sin wt ←

.

p

2

+ w

2

2

(p2

2

dp

(p2 + w2 )

+ w2 )

Пример 4.16. Найти изображение для

f (t)= t2 sh 5t .

Решение. Имеем, что L{sh 5t}=

5

. Тогда −t sh 5t ←

−10P

.

P2 −25

(P2 − 25)2

Для заданной функции

2

−10P

′

−10(P

2

2

+10P 2(P

2

2P

−25)

−25)

t

sh 5t ←

=

=.

(P2 −25)2

(P2 −25)4

(P2

−25)(−10P2 +

250 + 40P2 )

30P2 + 250

=

=

(P2 −25)3 .

(P2 −25)4

Теорема 4.9 (интегрирование оригинала). Если

F(p)

является изображением для

f (t), то

t

F(p)

L

f

(t)dt =

.

(4.16)

∫

p

0

функции:

t

p +5

3

L ∫

(e−5t ch 2t +e8t sin 3t)dt

=

+

.

2

2

(p +5) −4

(p −8) +9

0

Тогда согласно (4.16) получим:

t

p +5

+

3

2

2

1

p +5

3

L ∫

(e−5t ch 2t +e8t sin 3t)dt

=

(p +5) −4

(p −8) +9

=

+

..

p

(p −8)2

p (p +5)2

−4

+9

0

Теорема 4.10 (интегрирование изображения). Если

F(p)

является изображением

∞

f (t)

f (t), то ∫F(p)dp является изображением для

:

P

t

f (t)

∞

F(p)dp .

L

=

∫

(4.17)

t

P

То есть, если изображение интегрируется от p до ∞, то оригинал делится на t.

Доказательство. Так как

f (t)

– оригинал, то

f (t)

тоже является оригиналом. Обо-

t

f

(t)

значим L

= Φ(p). Продифференцируем изображение.

t

f (t)

′

= L{− f (t)}= −F(p)

Φ (p)= L −t

t