4.2 Основные теоремы операционного исчисления

n

постоянные. То есть, если

f (t)= ∑Ci fi (t), то

i=1

n

F(p)= ∑CiFi (p),

(4.5)

i=1

где Fi (p)= L{fi (t)}.

∞

∞ n

n

∞

n

∫e− pt f (t)dt = ∫

∑e− pt

Ci fi (t)dt = ∑Ci ∫e− pt fi (t)dt = ∑Ci Fi (p).

0

0 i=1

i=1

0

i=1

Пример 4.3. Найти изображение функции

f (t)= 6sin t −5cost .

Решение. На основании теоремы сложения имеем, что

L{f (t)}= 6

1

−5

p

=

6 −5 p

.

p2 +1

p2 +1

p2 +1

n

n

f (t)= ∑Ci fi (t)← F(p)= ∑Ci Fi (p).

i=1

i=1

F(p)=

1

p

,

F

(4.6)

α

α

Обозначим

∞

z = αt.

Тогда

∞

z

∞

z

L{f (αt)}= ∫e−Pt f (αt)dt =

dz = αdt; t =

z

= ∫e

−P

α

f (z)dz

=

1

∫e

−P

α

f (z)dz =

α

α

0

0

α

0

при

t = 0

z = 0

при t = ∞ z = ∞

p

= p′

1

F(p′)=

1

p

=

=

F

.

α

α

α

α

То есть, L{f (αt)}=

1

F

p

.

α

α

Пример 4.4. Найти изображение оригинала

f (t)= sin αt .

Решение. Учитывая, что L{sin t}=

1

, на основании теоремы подобия имеем:

p2 +1

L{sin αt}=

1

1

=

1

1

=

1

α2

=

α

.

α

p

2

α

p2

α

p2 + α2

p2 + α2

+

1

+1

α2

α

То есть, L{sin αt}=

α

.

p2 + α2

Пример 4.5.

f (t)= e−αt .

Решение. Имеем, что L{et }=

1

.

p −1

Тогда L{e−αt }= −

1

1

= −

1

−α

=

1

.

α

p

−1

α

p +α

p +α

−α

То есть, L{e−αt }=

1

.

p + α

Пример 4.6.

f (t)= 3sin 5t −4cos3t .

Решение. Знаем, что

L{sin t}=

1

;

L{cost}=

p

. Тогда

p2 +1

p

2 +1

Пример

4.7. Найти начальную функцию (оригинал), если его изображение

F(p)=

20

+

20 p

.

p2 + 4

p2 + 9

L{e−αt f (t)}= F(p + α),

(4.7)

Доказательство. По определению изображения имеем:

∞

∞

L{e−αt f (t)}= ∫e− pt e−αt

f (t)dt = ∫e−(p+α)t f (t)dt =

Обозначим

=

0

0

(p + α)= p′

∞

′

f (t)dt =

F(p′)=

F(p + α).

= ∫e− p t

0

Аналогично получаем L{eαt f (t)}= F(p −α).

Пример 4.8. Найти изображение функции

f (t)= e−αt .

Решение. Оригинал f (t)= e−αt

1;

L{1}=

1

. Тогда согласно теореме 4.5 имеем:

p

L{e−αt }=

1

.

p +α

Пример 4.9. Найти изображение оригинала

f (t)= eαt sin wt .

Решение. Имеем, что L{sin wt}=

w

. Тогда согласно теореме 4.5 имеем:

p2 + w2

L{eαt sin wt}=

w

.

(p −α)2 + w2

Пример 4.10. Найти изображение функции

f (t)= e−αt ch wt .

Решение. Знаем, что L{ch wt}=

p

. Тогда L{e−αt ch wt}=

p +α

.

p2 − w2

(p +α)2 − w2

Пример

4.11.

Найти

начальную

функцию, изображение

которой

имеет вид:

F(p)=

p +3

.

p2 + 2 p +10

Решение. Преобразуем выражение изображения функции

3

F(p)=

(p +1)+ 2

=

p +1

+

2 3

=

p +1

+

2

3

.

(p +1)2 +9

(p +1)2 +9

(p +1)2 +9

(p +1)2 +9

3

(p +1)2 +9

Рисунок 4.1

Тогда изображением функции

f (t ± τ) будет F(p)= e±Pτ F(p). То есть,

L{f (t ± τ)}= e± pτ F(p).

(4.8)

Доказательство. Полагая, что F(p) является изображением оригинала f (t), найдем

изображение функции fτ(t). По определению изображения имеем:

∞

∞

Обозначим

∞

z = t −τ

L{fτ(t)}= ∫e− pt

fτ(t)dt = ∫e− pt f

(t −τ)dt =

= ∫e− p(z+τ)f (z)dz =

0

0

dz = dt

0

при t = τ z = 0

∞

= ∫e− pτ e− pz f (z)dz = e− pτF(p).

0

Получили, что L{fτ(t)}= e−pτF(p).

Аналогично находится изображение функции fτ(t)= 0,

t < −τ

.

f (t + τ), t > −τ,