1 ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. СХОДИМОСТЬ

∞

u1 + u2 + + un + = ∑un

(1.1)

n

Sn = ∑ui = u1

+ u2

+ + un .

(1.2)

∞

∞

1. Если ряд ∑un

сходится и сумма ряда равна S, то и ряд ∑aun , где a = const , также

n=1

n=1

∞

∞

2. Если сходится ряд ∑un с суммой S1

и сходится ряд ∑vn

с суммой S2, то сходятся

n=1

n=1

∞

и ряды ∑(un ±vn ), причем суммы их соответственно равны S1 ± S2.

n=1

3. Если к ряду добавить или отбросить конечное число членов, то полученный и ис-

ходный ряды сходятся или расходятся одновременно.

1

1

1

1

Пример 1.1. Найти сумму ряда:

+

+

+ +

+ .

1 2

2 3

3 4

n(n +1)

Решение. Общий член ряда

1

1

1

. Следовательно:

= n

−

n(n +1)

n +1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Sn =

−

+

−

+

−

+ +

−

=1−

;

2

2

3

n +1

1

3

4

n

n +1

S = lim Sn

1

= lim

1−

=1.

n→∞

n→∞

n +1

a + aq + aq2 + + aqn + , a ≠ 0 .

(1.3)

Решение.

Это ряд

геометрической

прогрессии с n-ой

частичной суммой

Sn =

a(1− qn )

. Рассмотрим lim Sn .

1− q

n→∞

1.

Если

q

<1, то

lim

a(1−qn )

=

a

.

1

−q

1−q

n→∞

2.

Если

q

>1, то

lim Sn

= lim

a(1

− qn )

= ∞ .

1

− q

n→∞

n→∞

= lim (a n)= ∞.

3.

Если q =1, то Sn = a + a + + a = an

, lim Sn

n→∞

n→∞

4.

Если q = −1, то Sn = a − a + a − a +

(−1)n−1a

и не существует

lim Sn .

n→∞

∞

Значит, ряд ∑aqn

при

q

<1 сходится и при

q

≥1 – расходится.

∞

1

n=1

Ряд ∑

называется обобщенным гармоническим и сходится при α >1. Доказатель-

α

n=1n

lim un = 0 .

n→∞

Доказательство.

∞

lim Sn = S , тогда

lim Sn−1 = S . Рас-

Пусть ряд ∑un сходится, и

n=1

n→∞

n→∞

смотрим un = Sn − Sn−1 .

lim un = lim (Sn − Sn−1)= S − S = 0 .

n→∞

n→∞

∞

расходится.

Следствие 1.1. Если lim un ≠ 0 , то ряд ∑un –

n→∞

n=1

∞

Пример 1.3. Исследовать сходимость ряда: ∑

n + 3

.

n=13n + 2

Решение. Так как

lim un

= lim

n +3

= 1 , то есть lim un ≠ 0 , то ряд расходится (по

n→∞

n→∞ 3n + 2 3

n→∞

необходимому признаку сходимости).

Теорема 1.2 (первый признак сравнения). Пусть даны два знакоположительных

∞

∞

ряда ∑un

и ∑vn . Если выполняется un ≤ vn для всех натуральных n, то: 1) если сходится

n=1

n=1

∞

∞

∞

ряд ∑vn , то сходится и ряд ∑un ;

2)

если ряд ∑un

расходится,

то расходится и

n=1

n=1

n=1

∞

ряд ∑vn .

n=1

∞

∞

Доказательство. Пусть

Snu , Snv – частичные суммы рядов ∑un и

∑vn соответствен-

n=1

n=1

Snu ≤ Snv

∞

но. Из условия un ≤ vn следует

. Пусть ряд ∑vn

сходится, и его сумма равна S2, то

вания предела последовательность S1u , S2u , S3u , имеет предел lim Snu

∞

= S1 , то есть ряд ∑un

n→∞

n=1

– сходится.

Пусть ряд

∞

расходится.

Так как это знакоположительный ряд, то

lim Snu = ∞ .

∑un

n=1

n→∞

Поскольку Snu ≤ Snv , то

∞

расходится.

lim Snv = ∞, то есть ряд ∑Snv

n→∞

n=1

Замечание. Теорема справедлива и в случае,

когда неравенство un ≤ vn

выполняется

только начиная с некоторого n N .

∞

n

Пример 1.4. Исследовать сходимость ряда: ∑

3

.

n

n=16

+ 4

Решение.

Так как an =

3n

3n

1 n

<

=

= bn .

6n + 4

6n

2

Ряд

∞

1

n

сходится (ряд геометрической прогрессии с q <1). Следовательно, схо-

∑ 2

n=1

Теорема 1.3

(второй (предельный) признак сравнения). Пусть даны два знакопо-

ложительных ряда

∞

∞

lim un = A ,

∑un

и ∑vn . Если существует отличный от нуля предел

n=1

n=1

n→∞ vn

0 < A < ∞ , то эти ряды сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. По определению предела последовательности

Из lim un = A следует

un − A

< ε , то есть

n→∞ vn

vn

(A −ε) vn < un < (A +ε) vn

(1.4)

∞

Если же ряд

∑un

расходится, то из правой части неравенства (1.4) и теоремы о пер-

n=1

∞

(A +ε)vn

∞

вом признаке сравнения следует расходимость ряда ∑

, то есть расходимость ∑vn .

n=1

n=1

∞

n

Пример 1.5. Исследовать сходимость ряда: ∑

.

n=13n + 4

. Возьмем для сравнения ряд с v

=

1

, являющийся расходя-

Решение. u

n

=

n

3n + 4

n

n

ствует предел lim

un+1 = l . Тогда ряд сходится при l <1 и расходится при l >1.

n→∞

un

Доказательство. По определению предела последовательности

lim

un+1 = l следует

n→∞

un

un+1 −l

< ε для любого ε > 0 и n > Nε , то есть

un

l −ε < un+1 < ε+l .

(1.5)

un

Пусть l <1,

тогда можно подобрать ε так, чтобы l + ε = q <1. Из правой части (1.5)

∞

∞

получаем un+1 < un (ε + l)= un q < un−1 q2 < < u1 qn = vn . Ряд ∑vn = ∑u1

qn – сходится

n=1

n=1

∞

(ряд геометрической прогрессии с q <1). Значит, ряд ∑un

сходится по первому признаку

n=1

сравнения.

Пусть l >1, тогда можно подобрать ε так, чтобы l −ε >1. Из левой части (1.5) следует,

что

un+1 >1, то есть un+1 > un . Значит, последовательность

(un ) возрастает и lim un ≠ 0 .

un

n→∞

∞

Условие необходимого признака сравнения не выполняется, значит, ряд ∑un расходится.

n=1

Замечания.

1.

Признак Даламбера работает и в случае, когда lim

un+1 = ∞.

n→∞

un

2.

Если lim

un+1 = l =1, то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

n→∞

un

∞

∑un

и существует lim n

un

= l . Тогда ряд сходится при l <1 и расходится при l >1.

n=1

n→∞

Доказательство. По определению предела последовательности из lim n

= l следу-

un

n→∞

l −ε < n

un

< ε+l .

(1.6)