4 ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Операционное исчисление является одной из частей математического анализа. Его методы широко используются при решении практических задач в электронике, физике, автоматике, телемеханике и т.д.

Операционное исчисление позволяет существенно упростить решение различных задач. Например, при решении задач математического анализа трудной задачей является интегрирование функций. Чтобы обойти эти трудности применяются методы операционного исчисления, основой которых является некоторое интегральное преобразование функций действительной переменной, котороя позволяет дифференцирование над этими функциями заменить алгебраическими операциями над их интегральным преобразованием. В результате этого значиельно упрощается решение дифференциальных уравнений, которые приводятся к стандартному методу независимо от вида уравнения.

4.1 Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение

Рассмотрим комплексную функцию переменной t: f (t)= u(t)+iv(t),

где u(t) и v(t) – функции переменной t. Функция f (t) удовлетворяет трем условиям:

1)функция f (t) определена при t ≥ 0 , а при t < 0 f (t)= 0;

2)функция f (t) непрерывна или кусочно-непрерывна, т.е. в любом конечном интер-

вале она имеет конечное число точек разрыва I-го рода и конечное число точек экстремума. Внутри же любого частичного интервала она непрерывна и стремится к определенным пределам при стремлении изнутри интервала к ее границам;

3) для любого t ≥ 0 существуют такие постоянные числа M и S0 ≥ 0 , что f (t) ≤ M eS0t .

Определение 4.1. Функции f (t), удовлетворяющие указанным трем условиям, называются начальными функциями или оригиналом.

Например: а) функция

f (t)= σ, t ≥ 0

0, t < 0

является оригиналом, так как она непрерывна при t ≥ 0 и может быть представлена в виде

σ = σ e0 t ;

94

Аналогично доказывается абсолютная сходимость интеграла I2 .

Итак, интеграл (4.3) существует и определяет некоторую функцию от p, которую обозначим F(p):

95

Функция F(p) (4.4) называется Лапласовым изображением или просто изображением для оригинала f (t):

F(p)→ f (t) или L{f (t)}= F(p).

∞

Интеграл ∫e− pt f (t)dt называется интегралом Лапласа. Поэтому операционное исчис-

0

ление является теорией преобразования Лапласа. Ценность операционного ичисления состоит в том, что дифференцированию оригинала соответствует умножение его изображения на P, а интегрированию интеграла соответствует деление его изображения на P.

Примеры. Найти изображения оригиналов, пользуясь определением изображения.

96

1 . p − α

Теорема 4.2 (единственности). Если две непрерывные функции f (t) и ϕ(t) имеют одно и то же изображение F(p), то эти функции тождественно равны.

Эта теорема имеет большое значение, так как если при решении практической задачи удалось каким-либо способом найти изображение, а по этому изображению нашли его оригинал, то на основании сформулированной теоремы утверждаем, что найденный оригинал и есть решение задачи, и других решений нет.

Для нахождения изображений и оригиналов используется соответствующая таблица. Она получена на основе определения изображения и основных теорем операционного исчисления.

Таблица оригиналов и их изображений

97