Решение.

a) f (z)=

z +3

. Проверим, является ли особая точка z0 =1 полюсом. Для этого вос-

(z −1)2

пользуемся теоремой 3.18.

f (z)=

ϕ(z)

, где

ϕ(z)= z +3 аналитична в точке

z =1, ϕ(1)= 4 ≠ 0 .

Следовательно,

(z −1)2

z =1 – полюс второго порядка.

b) f (z)=

1

. В примере 3.28 (с) мы получили, что z = 0

– нуль первого

sin2 z −1+cos z

ное число, равное значению интеграла

1

∫

f (z)dz = Res f (z), где L – контур, целиком при-

2πi

L

z=z0

Cn =

1

f (ξ)

dξ, n = 0,±1,±2 ,

2πi L∫

(ξ− z0 )n−1

В частности, если z0

– устранимая особая точка, то Res f (z)= 0 , так как C−1 = 0 .

z=z0

∞

C−1

f (z)= ∑Cn (z − z0 )n +

.

n=0

z − z0

∞

f (z)(z − z0 )= ∑Cn (z − z0 )n+1 +C−1 .

n=0

Найдем lim

f (z)(z − z0 )= lim

∞

= C−1.

∑Cn (z − z0 )

+C−1

n+1

z→z0

z→z0 n=0

Res f (z)= C−1

= lim f (z)(z − z0 ).

(3.65)

z=z0

z→z0

Пусть z0 – полюс порядка m >1, то есть разложение

f (z) в ряд Лорана имеет вид:

∞

C−1

C−2

C−m

f (z)= ∑Cn (z − z0 )n +

+

+ +

, C−m ≠ 0 .

(z − z0 )2

(z − z0 )m

n=0

z − z0

∞

f (z)(z − z0 )m = ∑(z − z0 )n+m +C−1(z − z0 )m−1 +C−2 (z − z0 )m−2 + +C−m .

n=0

Дифференцируя последнее равенство ( m −1) раз, получаем:

d m−1

(f (z)(z − z0 )m )= (m −1)!+m!C0 (z − z0 )+ .

m−1

dz

Переходя к пределу при z → z0 , находим:

Res f (z)= C−1

=

1

lim

d m−1

(f (z)(z − z0 )m ).

(3.66)

dzm−1

z=z0

(m −1)! z→z0

Из формулы 3.65 можно получить удобную форму для нахождения вычета для полюса

первого порядка,

если

f (z)

представима в виде f

(z)=

ϕ(z)

, где ϕ(z), g(z)

аналитичны в

g(z)

точке z = z0 , ϕ(z0 )≠ 0, g(z0 )≠ 0, g′(z0 )≠ 0 .

А именно:

Res f (z)=

lim

ϕ(z)(z − z0 )

=

lim

ϕ(z)

=

ϕ(z)

.

(3.67)

z=z0

z→z0

g(z)

z→z0

g(z)− g(z0 )

g′(z0 )

z − z0

Теорема 3.20

(основная теорема о вычетах). Пусть функция

f (z)

аналитична в

замкнутой области

за исключением конечного числа особых точек

zk D, k =1, n ,

D

n

∫ f (z)dz =2πi ∑Res f (z), L – граница области D.

L

k =1z=zk

Пример 3.31. Найти вычеты следующих функций в особых точках:

1

b) f (z)=

sin z

1

a)

f (z)= z3 e z ;

;

c)

z

f (z)= sin 1+

z

.

1

∞

1

∞

3−n

1

1

1

f (z)= z3 e z = z3 ∑

= ∑

z

= z3 + z2 +

+

+

z−1

+

n=0 zn n!

n=0

n!

2! 3! 4!

Res f (z)= C−1 =

1

=

1

.

4!

24

z=0

c)

1

f (z)= sin 1+

. Особой точкой является точка z0 = 0 . Разложим f (z) в ряд Лора-

z

на:

1

1

1

∞

n

∞

n

(−1)

(−1)

f (z)= sin 1

+

z

= sin1 cos

z

+cos1 sin

z

= sin1

∑

2n

+cos1

∑

2n+1

=

n=0 z

(2n)!

n=0 z

(2n +)!

1

1

1

1

sin1

1

= sin1 1−

+

+cos1

−

+

= sin1

+cos1

−

+ .

2!z2

3!z3

z

2!

z2

z

Следовательно,

Res f (z)= C−1 = cos1.

z=0

Пример 3.32. Найти вычеты следующих функций в особых точках:

a) f (z)=

z + 2

;

b) f (z)=

z + 2

;

c) f (z)=

z3

.

z2 −2z −3

(z +1)2 (z −3)

z2 −1

Решение.

a)

f (z)=

z + 2

=

z + 2

.

Особыми

точками

функции

являются

z0 = −1,

z2 − 2z −3

(z +1)(z −3)

z1 = 3 . Точки z0

и z1

являются полюсами I порядка. Для нахождения вычетов воспользуемся

формулой 18.2:

Res f (z)= lim

z + 2

z

z + 2

1

.

+1

=

lim

= −

(z +1)(z −3)

4

z=−1

z→−1

z→−1 z −3

z + 2

z + 2

= 5 .

Res f (z)= lim

(z −3)

= lim

(z +1)(z −3)

z=3

z→3

z→3

z +1 4

b) f (z)=

z + 2

. Особой точкой функции является точка z0 = −1, которая есть

(z +1)2 (z −3)

полюс второго порядка. Воспользуемся формулой 3.66.

1

z + 2

2

′

′

Res f (z)=

(z +1)

=1.

2

lim

= lim (z + 2)

z=−1

(2 −1)! z→−1

(z +1)

z→−1

c) f (z)=

z3

. Особыми точками функции являются z0 =1, z0 = −1, которые явля-

z2 −1

Res f (z)=

ϕ(1)

z3

1

=

=

z

=

′

2

1

g (1) 2z z=1

Res f (z)=

ϕ(−1)

z3

1

=

=

.

=−

′

z

1) 2z z=−1

2

1

g (−

Пример 3.33. Вычислить следующие интегралы, пользуясь основной теоремой о вы-

четах:

1

1

a)

∫z3 e z dz ;

b)

∫

sin 1+

z

dz .

z

=1

z−1

=2

Решение.

1

1

a)

∫z3 e z dz . Особой точкой

f (z)= z3 e z

является точка z = 0 , которая лежит внут-

z

=1

1

1

ри контура. Следовательно, по теореме 18.1

∫z3 e z dz = 2πi Res f (z). Но

Res f (z)=

(см.

24

z

=1

z=0

z=−1

1

1

1

пример 3.31 а). Следовательно,

∫z3 e z dz = 2πi

=

πi .

24

12

z

=1

b)

1

. Особой точкой

1

которая

∫ sin 1+

z

dz

f (z)= sin 1+

z

является точка z = 0 ,

z−1

=2

∫

1

sin 1+

z

dz = 2πi Res f (z)= 2πi cos1 (см. пример 3.31 с).

z−1

=2

z=0

Пример 3.34. Вычислить следующие интегралы, пользуясь основной теоремой о вы-

четах:

a)

∫

ez

dz ;

b)

∫

ctg z

dz .

3

(4z − π)

z−1

=1

(z +1) (z −1)

z

=1

Решение.