z − 2

1

1

1

∞

(−1)n (z − 2)n

0 <

z − 2

< 5 5 + (z

− 2)= 5 1+

−

+

= −

∑

,

5

5

z − 2

5n

1

+

5 n=0

5

1

1

1

∞

n

1

∞

n+1

f

(z)=

−

∑

(−1)

(z −2)n =

1

+

∑

(−1)

(z −2)n .

z −2

5n

z −2

5n+2

5

25 n=0

5

n=0

5

При

z −2

> 5

5 +(z −2)= (z −2) 1+

z −2

n

n

n+1

n

1

1

1

1

∞

∞

5

−

= −

= −

∑

(−1)

5

= ∑

(−1)

5 + (z − 2)

(z − 2)

5

z − 2 n=0(z − 2)n

n=0

(z − 2)n+1

1+ z − 2

1

1

∞

n+1

5

n−1

1

1

∞

n

n−1

∞

n

n

f

(z)=

+ ∑

(−1)

= 1

−

+ ∑

(−1) 5

= ∑

(−1) 5

.

5

z − 2

n=0

(z − 2)n+1

5

z − 2

5(z − 2)

n=1

(z − 2)n+1

n=0(z − 2)n

+1

Итак,

∞

n+1

∞

n

n

f

(z)=

1

1

+ ∑

(−1)

(z − 2)n , 0 <

z − 2

< 5, f (z)= ∑

(−1)

5

,

z − 2

> 5 .

5

z − 2

n=0

5n+2

n=0(z − 2)n+1

ведения функции

1

в окрестности точки

z = 0 .

f

z

Пусть функция f (z) аналитична в окрестности точки z = ∞ . Тогда функция

1

f

z

Заменив в разложении (3.62) z на

1 , Cn на

a−n , получим ряд

z

∞

∞

f (z)= ∑

a−n

+ ∑an zn ,

(3.63)

n

n=0 z

n=1

который называется разложением функции f (z)

в ряд Лорана в окрестности бесконечно

∞

удаленной точки. При этом ряд ∑an zn

называется главной частью ряда Лорана (4.21), а ряд

2

1

а) z cos

;

б)

z3e z .

z3

Решение.

а) Воспользуемся известным разложением

z

2

z4

z6

n z2n

∞

n

z2n

cos z =1

−

+

−

+ + (−

1)

+ = ∑(−

1)

.

2!

4!

6!

(2n)!

(2n)!

n=0

Тогда

2

22

24

26

n

z2n

∞

n

z2n

cos

=1−

+

−

+ +

(−1)

+ = ∑(−1)

,

z3

2!z6

4!z12

6!z18

(2n)!z6n

(2n)!z6n

n=0

.

2

22

24

26

z2n

∞

22n

n

n

z cos

= z

−

+

−

+ + (−1)

+ =

∑(−1)

.

z3

2!z

5

4!z11

6!z17

(2n)!z6n−1

(2n)!z6n−1

n=0

Главная часть ряда Лорана в окрестности точки

z = ∞ содержит только одно слагае-

мое z, а правильная часть содержит бесконечное число слагаемых (все остальные).

б) ez =1+

z

z

2

z

3

z

n

∞

z

n

+

+

+ +

+ = ∑

1!

2!

3!

n!

n=0 n!

1

1

1

1

1

1

∞

1

e z =1

+

+

+

+

+

+

= ∑

1!z

2!z2

3!z3

4!z4

n!zn

n=0n!zn

1

z

1

1

1

∞

1

z3e z = z3 + z

2 +

+

+

+

+ =

∑

4!z

n!zn−3

2

3!

n=0n!zn−3