Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Часть 3.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

1.69 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 3115 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

eiz =1+ iz

(iz)2

(iz)3

+ +

(iz)n

+ =

(−1)n

− + (−1)n

2n+1

= 1

−

+i z

−

= cos z +i sin z ,

(2n)!

(2n +1)!

то есть формулу Эйлера eiz

= cos z +i sin z .

Пример

3.26.

Разложить

ряд

Тейлора

в окрестности точки

a = 0 функцию

f (z)=

1 + e−z .

Решение.

∞

=1− z + z2

− z3 + −(−1)n zn + = ∑zn ,

<1;

1+ z

n=0

∞

e−z =1−

−

+ −

(−1)

+ = ∑(−1)n

n=0

Просуммировав равенства, получим

f (z)=

+ e−z = 2 − 2z + 1

− 1

1+ z

∞

= ∑(−1)n

zn.

n=0

Этот ряд сходится в круге

<1.

zn , z C. n!

++(−1)n 1+ 1 zn + =

3.4.5 Ряд Лорана

Обобщением ряда Тейлора является ряд Лорана, в который разлагается аналитическая

функция в некотором кольце.
Теорема 3.14.	Функция f (z),		аналитическая в кольце	ρ <	z − a	< R , разлагается
Теорема 3.14.	Функция f (z),		аналитическая в кольце	ρ <	z − a	< R , разлагается
внутри него в сходящийся ряд
∞	∞	C−n	∞
f (z)= ∑Cn (z − a)n + ∑		C−n	= ∑Cn (z − a)n .	(3.56)
f (z)= ∑Cn (z − a)n + ∑			= ∑Cn (z − a)n .	(3.56)
n=0	n=1(z − a)n		n=−∞

Коэффициенты этого ряда вычисляются по формулам:

Cn =	1	f (z)dz	;	C−n =	1	f (z)(z −a)n+1dz ,	(3.57)
	2πi ∫γ (z −a)n+1				2πi ∫γ

где γ – окружность z −a = r; ρ < r < R .

Доказательство теоремы проводится рассуждениями, аналогичными доказательству теоремы о разложении аналитической функции в степенной ряд Тейлора (при необходимости его можно опустить).

Пусть z0 – произвольная внутренняя точка кольца ρ < z − a < R . Построим концен-

трическое с ним кольцо ρ1 < z − a < R1 радиусами ρ1 и R1 , ρ < ρ1 < R1 < R такое, что точка z0 расположена внутри него. Обозначим меньшую окружность внутреннего кольца l, а боль-

шую – L. Так как функция

f (z)

аналитична в замкнутом кольце ρ1 ≤

z − a

≤ R1, то по инте-

гральной формуле Коши для многосвязной области (3.38)

f (z0 )=

f (z)dz

−

f (z)dz

(3.58)

2πi ∫

z − z

2πi

∫

z − z

Так как

z − a

= R1 ,

для

z L

z − a

= ρ1 для z l ,

то для любой точки z кольца

ρ1 ≤

z −a

≤ R1

справедливы неравенства:

− a

z − a

= R

− a

= q

z L;

<1 ,

z − a

(3.59)

(ρ =

)

z − a

− a

= q

1 ,

z l.

z0 − a

Учитывая это, получим (используя формулу суммы бесконечно убывающей геомет-

рической прогрессии):

(z L)

z − z0

(z − a)−

(z0 − a)

(z − a)(1−(z0 − a)/(z

− a))

(3.60)

∞ z

− a n

∞

− a)n

∑

= ∑

;

− a n=0

− a

n=0

(z − a)n+1

(z l)

= −

z − z0

(z − a)− (z0 − a)

(z0

− a)(1− (z − a)/(z0 − a))

(3.61)

∞

z − a

∞

n−1

− a)

= −

∑

n .

∑

z0 − z n=0 z0 − a

n=1

(z0 − a)

Как следует из первого соотношения (3.59), ряд (3.60) сходится равномерно в круге z − a < R1 . Аналогично из второго соотношения (3.59) следует, что ряд (3.61) сходится рав-

номерно вне окружности z − a > ρ1. Таким образом, оба ряда (3.60) и (3.61) сходятся в коль-

це ρ1 < z − a < R1. Подставив ряды (3.60) и (3.61) в равенство (3.58) и почленно проинтегрировав, получим

∞ (z

− a)n

∞

(z − a)n−1

f (z0 )

L∫n∑=0

f (z)dz +

∫l n∑=1

f (z)dz =

2πi

− a)n+1

2πi

(z0 − a)n

∞

f (z)dz

∞

= ∑

∑

(z0

− a)n + ∑

∑ f (z)(z − a)n−1dz

− a)n

n=0

2πi ∫n=0(z − a)n+1

n=1

2πi ∫n=1

∞

C−n

f (z)dz

= ∑Cn (z0

− a)n + ∑

где Cn =

; C−n =

f (z)(z − a)n−1dz .

2πi L∫(z − a)n+1

2πi ∫l

n=0

n=1(z0 − a)n

В этих формулах, согласно интегральной формуле Коши для многосвязной области

(3.38) в качестве контура интегрирования можно взять окружность

z0 − a

= r, ρ1 < r < R1 . По-

скольку ρ1 можно взять сколь угодно близким к ρ,

а R1 – к R, то последний ряд сходится во

всем кольце ρ < z − a < R . В силу того, что z0 – произвольная внутренняя точка этого кольца, справедливы формулы (3.56), (3.57). Теорема доказана.

	Ряд (3.56) называется рядом Лорана функции		f (z) в окрестности точки z = a ,	при
		∞
этом ряд		∑Cn (z −a)n называют правильной или	регулярной частью Лорана, а	ряд
		n=0
∞
n∑=1	C−n	– его главной частью. Правильная часть ряда Лорана есть степенной ряд, сходя-
n∑=1	(z − a)n

щийся в круге z − a < R , а главная часть представляет собой ряд, сходящийся при z − a > ρ,

то есть вне круга радиусом ρ с центром в точке a.

Ряд Тейлора для аналитической в окрестности точки a функции f (z) является частным случаем ряда Лорана, так как в этом случае коэффициенты

C−n =	1		f (z)(z − a)n−1dz = 0, n =1,2, ,
	2πi ∫
		γ

согласно интегральной теореме Коши. Следовательно, ряд Лорана аналитической в окрестности точки a функции f (z) состоит лишь из правильной его части, то есть представляет собой ряд Тейлора.

Теорема 3.15. Разложение в ряд Лорана функции f (z), аналитической в кольце D:

ρ <	z − a	< R , единственно.					f (z) имеет два разложения:
ρ <	z − a	< R , единственно.
	Доказательство. Предположим противное – функция
		+∞			+∞	(z −a)n . Тогда
	f (z)= ∑Cn (z − a)n и f (z)=				∑Cn′	(z −a)n . Тогда
		n=−∞			n=−∞
		+∞	+∞	(z −a)n =		+∞
	0 ≡ ∑Cn (z −a)n −		∑Cn′	(z −a)n =		∑(Cn −Cn′ )(z −a)n ,	для любых z D . Умножив
		n=−∞	n=−∞		n=−∞

это тождество на (z − a)k −1 , где k – любое целое число, и проинтегрировав по окружности γ:

z − a < r, ρ < r < R , получим


∫	+∞	(Cn −Cn′ )(z − a)n+k −1dz =	+∞	(Cn −Cn′ )∫(z − a)n+k −1dz ≡ 0 .
	∑		∑
γ n=−∞			n=−∞		γ

Отсюда с учетом равенства (3.35) получим (n = −k)

(C−k −C−′ k )2πi ≡ 0 C−k ≡ C−′ k , k = 0,±1,±2, .

Теорема доказана.

Замечание. Вычисление контурных интегралов по формулам (3.57), как правило, достаточно затруднительно. Поэтому для разложения функций в ряды Лорана используются искусственные приемы. На практике используют известные разложения основных элементар-

ных функций; дробь вида		1		разлагается в ряд, являющийся рядом геометрической про-

		z − z0
грессии; дробь вида	1		, где k >1 – целое, разлагается в ряд, который получается из
	(z − z0 )k

ряда геометрической прогрессии последовательным дифференцированием (k −1) раз; сложная дробь представляется в виде суммы простейших дробей.

Приведем примеры разложения функций в ряд Лорана.

Пример 3.27. Найти разложения указанных функций в ряды Лорана по степеням z − z0 и установить области сходимости полученных разложений:

в) f (z)=

а) z2e z , z

= 0 ;

б)

, z

= 0 ;

, z

= 2 .

z(1− z)

(z − 2)(z

+3)

Решение.

а) Используем известное разложение

∞

ez =1+ z +

+ +

+ = ∑

, 0 <

< +∞.

n=0 n!

∞

Заменив z на

, получим e z =1+

+ +

+ = ∑

. Тогда

2!z2

n!zn

n=0n!zn

∞

z2e z = z2 + z +

+ +

+ =

∑

, 0 <

< +∞ .

2! 3!z

n!zn−2

n=0n!zn−2

б)

= z

(используем формулу суммы бесконечно убывающей геометри-

z(1− z)

1− z

∞

ческой прогрессии) =

+1+ z

+ +

+ =

+ ∑

, 0 <

<1.

n=0 n!

в) f (z)=

−

(z − 2)(z +3)

5 z − 2

z +3

z − 2 5

+(z − 2)

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 3115 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.20252.23 Mб0Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf
#
24.11.20252.43 Mб0Математика. Часть 1.pdf
#
28.12.20251.69 Mб0Математика. Часть 2-1.pdf
#
24.11.20254.84 Mб0Математика. Часть 2.pdf
#
24.11.20251.69 Mб1Математика. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.6 Mб0Математика.pdf
#
28.12.20252.17 Mб0Математика_1.pdf
#
28.12.20251.51 Mб0Математика_2.pdf
#
28.12.2025883.18 Кб0Математика_3.pdf
#
28.12.2025921.92 Кб0Математика_4.pdf