имеет по крайней мере один корень.

Доказательство. Проведем доказательство от противного. Предположим, что много-

получим f (z) ≤ M для любых z. А тогда в силу теоремы Лиувилля 3.7 имеем f (z)= const ,

что противоречит определению функции f (z). Это свидетельствует о том, что многочлен Pn (z) имеет по крайней мере один корень. Теорема доказана.

Следствие. Всякое алгебраическое уравнение n-ой степени, коэффициенты которого

– действительные или комплексные числа, имеет n корней, действительных или комплексных, если k-кратный корень считать за k корней.

Часто именно это следствие называют основной теоремой алгебры.

3.4. Ряды в комплексной области

3.4.1 Числовые ряды

Определение 3.24. Числовым комплексным рядом называется выражение вида

n=1

67

где zn = xn +iyn – комплексные числа.

Определение 3.25. Сумма Sn = z1 + z2 + + zn называется n-ой частичной суммой ря-

да.

Определение 3.26. Числовой комплексный ряд (3.43) называется сходящимся, если сходится последовательность Sn его частичных сумм. Число S = nlim→∞ Sn называется суммой

ряда.

Очевидно, что ряд (3.43) сходится тогда и только тогда, когда сходится каждый из ря-

дов

n=1

При этом S = S1 +iS2 , где S1 – сумма ряда (3.44), а S2 – сумма ряда (3.45). Это означает, что исследование сходимости ряда с комплексными числами сводится к исследованию сходимости рядов (3.44) и (3.45) с действительными членами.

В теории рядов с комплексными членами основные определения, многие теоремы и их доказательства аналогичны соответствующим определениям и теоремам из теории рядов с действительными членами. Приведем некоторые из них.

Остатком ряда (4.43) называется ряд

zn при n → ∞ стремится к нулю

68

чит, и абсолютная сходимость ряда (3.43). Теорема доказана.

Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму S, что и исходный ряд.

Абсолютно сходящиеся ряды можно почленно складывать и перемножать.

При исследовании на сходимость рядов с комплексными членами применимы все известные из действительного анализа признаки сходимости знакопостоянных рядов, в частно-

лютно, а при l >1 – расходится.

Пример 3.21. Исследовать сходимость ряда

Решение.

а) Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов исходного ряда

Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно.

б) Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов заданного ряда

Применяя к последнему ряду радикальный признак Коши, получим

3.4.2 Функциональные комплексные ряды

Функциональным комплексным рядом называется ряд

69

n=1

где f1(z), f2 (z), , fn (z), – функции комплексной переменной, заданные на некотором множестве комплексных чисел.

n

Сумма Sn (z)= ∑ fk (z)= f1(z)+ f2(z)+ + fn (z) называется n-ой частичной суммой

k =1

ряда (3.47).

Определение 3.27. Ряд (3.47) называется сходящимся к сумме f (z), если

Множество D точек z, в которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.

Если ряд (3.47) сходится к сумме f (z), то

∞

f (z)= ∑ fn (z)= f1(z)+ f2 (z)+ + fn (z)+ fn+1(z)+ = Sn (z)+ rn (z),

n=1

где rn (z)= fn+1(z)+ fn+2(z)+ = f (z)− Sn (z) называется остатком ряда (3.47).

Из неравенства (3.48) следует, что ряд (3.47) сходится в точке z тогда и только тогда, когда nlim→∞ rn (z)= 0 .

Ряд (3.47) называется равномерно сходящимся в области D к сумме f (z), если для любого ε > 0 можно указать такой номер N = N(ε), что при всех n ≥ N

f (z)− Sn (z) = rn (z) < ε, для любых z D .

Теорема 3.10 (признак Вейерштрасса). Если члены ряда (3.47) удовлетворяют нера-

(3.47) сходится равномерно в D.

Доказательство этой теоремы повторяет доказательство аналогичного признака для действительных функциональных рядов.

ряд сходится равномерно.

70

то исходный ряд в круге z ≤1 сходится абсолютно и равномерно.

Комплексные равномерно сходящиеся функциональные ряды обладают следующими

свойствами.

1. Пусть члены ряда (3.47) являются в области D аналитическими функциями и этот ряд сходится равномерно в D к сумме f (z). Тогда f (z) – аналитическая в D функция. Это свойство следует из теоремы Вейерштрасса.

2. Пусть члены равномерно сходящегося в области D ряда (3.47) являются аналитическими функциями в D и этот ряд сходится к f (z) в D равномерно. Тогда ряд (3.47) можно интегрировать почленно вдоль любой кривой l, расположенной в D, причем

3.Пусть ряд (3.47) аналитических в D функций сходится в каждой точке области D,

∞

а ряд ∑ fn′(z) сходится в D равномерно. Тогда ряд (3.47) можно почленно дифференциро-

n=1

вать в D, причем

n∑∞ fn (z) ′ = n∑∞ fn′(z).

=1 =1

Доказательства свойств 2 и 3 аналогичны доказательствам теорем о почленном дифференцировании и интегрировании равномерно сходящихся действительных функциональных рядов.

При определении области сходимости комплексных функциональных рядов можно пользоваться признаками Коши или Даламбера. Если существует

71