|
f (z) |
|
dz |
= |
2πi |
f |
(n) |
(z0 ). |
(3.42) |
|||||||||
Γ∫(z − z0 )n |
+1 |
n! |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 3.20. Вычислить интегралы (обход контуров – против часовой стрелки): |
||||||||||||||||||
а) I = ∫ |
sh2 z |
|
|
б) I = ∫ |
|
|
sin z |
|||||||||||
|
|
3 |
dz ; |
|
|
|
dz . |
|||||||||||
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||
|
|
z |
|
=1 |
z |
|
|
|
|
|
|
|
z+i |
|
=1 (z +i) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение.
а) Используем формулу (3.42) для производных аналитической функции при n = 2 .
Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = |
2πi |
f (sh2 z)″ |
|
|
|
= πi(2sh z ch z)′ |
|
= πi(sh 2z)′ |
|
= 2πich 2z |
|
z=0 = 2πi ; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
z=0 |
|
|
|
|
|
|
|
z=0 |
|
z=0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = |
∫ |
|
sin z |
dz = |
2πi (sin z)″ |
|
|
|
|
= πi(cos z)′ |
|
|
|
= −πisin z |
|
z=−i = |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
z+i |
|
=1 (z + i) |
|
|
|
2! |
|
|
|
z=−i |
|
|
|
z=−i |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i2 |
|
|
−i2 |
−1 |
1 |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
= πisin i = πi e |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
− e |
|
= πe |
|
− e |
= −πsh1. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.3.7 Теорема Лиувилля. Основная теорема алгебры
Как известно, методы теории функций комплексной переменной широко используются в других разделах математики. В частности, например, при доказательстве основной теоремы алгебры. Основная теорема алгебры называется так потому, что основное содержание алгебры XVII – XVIII веков сводится к решению уравнений. Основная теорема алгебры была доказана впервые в XVII веке французским математиком Жирором, строгое же доказательство было дано в 1799 г. немецким математиком Гауссом.
При доказательстве основной теоремы алгебры нам потребуется теорема Лиувилля.
Теорема 3.7 (Лиувилля). Пусть f (z) – аналитическая функция, ограниченная на всей комплексной плоскости. Тогда f (z) – постоянная функция.
Доказательство. Пусть z0 – произвольная точка комплексной плоскости, а
γ : z − z0 = R – окружность радиуса R с центром z0 . По интегральной формуле (3.39) для производной имеем
f ′(z0 )= 21πi ∫γ (z −f (zz0))2 dz .
Так как существует константа M, что f (z)≤ M для любых z, то
|
f (z) |
|
= |
|
f (z) |
|
|
≤ |
M |
и тогда |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(z − z0 )2 |
|
(z − z0 )2 |
R2 |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
66