Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Часть 3.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

1.69 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 3110 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

f ′(z)= 8z +8i, f ′(z0 )= f ′(1)= 8 +8i , тогда

K = f ′(z) = f ′(1) = 8 +8i = 64 + 64 = 82;

α= arg f ′(z0 )= arctg 88 = arctg1 = π/ 4.

3.3Основные интегральные теоремы функции комплексной переменной

3.3.1 Интеграл от функции комплексной переменной

Пусть в области D комплексной плоскости определена однозначная и непрерывная функция f (z)= u(x, y)+ iv(x, y) и l – кусочно-гладкая ориентированная кривая в D с начальной точкой A и конечной точкой B. Кривую l разобьем на части точками A = z0 < z1 < z2 < < zn = B , взятыми в порядке следования по l от A до B. В каждой «эле-

ментарной дуге» zk −∩1zk (k =1,2, ,n) выберем точку ck и составим интегральную сумму

n
∑ f (ck )∆zk , где ∆zk	= zk − zk −1 .	(3.24)
k =1
Если существует	конечный предел интегральной суммы	(3.24) при

∆ = max ∆z → 0 (n → ∞), не зависящий ни от способа разбиения кривой l на части, ни от вы-

бора точек c

∩z

, то он называется интегралом от функции

f (z) по кривой l и обозна-

k −1

чается ∫ f (z)dz .

Итак, по определению,

∫ f (z)dz = lim

∑ f (ck )∆zk .

(3.25)

∆→0 k =1

Покажем, что если l – гладкая кривая, а f (z) – непрерывная и однозначная функция,

то

интеграл

(3.25)

существует.

Действительно, пусть

f (z)= u(x, y)+iv(x, y), z = x +iv ,

= x

+iy

Тогда

f (c

)

= u(x

, y

)+iv(x

, y

), ∆z

= (x

+iy

)−(x

+iy

k −1

)= ∆x

+i∆y

k −1

Поэтому

yk )+ iv(xk , yk ))(∆xk

+ i∆yk )=

∑ f (ck )∆zk =

∑(u(xk ,

k =1

, yk )∆xk + u(xk , yk )∆yk ).

= ∑

(u(xk , yk )∆xk − v(xk , yk )∆yk )+ i ∑(v(xk

k =1

Обе суммы, находящиеся в правой части последнего равенства, являются интегральными суммами для соответствующих криволинейных интегралов. При сделанных предположениях о кривой l и функции f (z) пределы этих сумм существуют. Поэтому после перехода

к пределу (в последнем равенстве) при ∆→0 получим:
∫ f (z)dz = ∫udx − vdy + i∫vdx + udy .			(3.26)
l	l	l

Формула (3.26) показывает, что вычисление интеграла от функции комплексного переменного сводится к вычислению криволинейных интегралов от действительных функций действительных переменных.

Формулу (3.26) можно записать в удобном для запоминания виде:

∫ f (z)dz = ∫(u + iv)(dx + idy).		(3.27)
l	l
Если	x = x(t), y = y(t), где t1 ≤ t ≤ t2	– параметрические уравнения кривой l, то

z = z(t)= x(t)+iy(t) называют комплексным параметрическим уравнением кривой l, формула (3.27) преобразуется в формулу

	t2	′
∫	f (z)dz = ∫	′	(3.28)
∫	f (z)dz = ∫	f (z(t))z (t)dt .	(3.28)
l	t1

Действительно, считая z(t) непрерывной и дифференцируемой функцией, получаем

		t2	t2
∫ f (z)dz = ∫(u +iv)(dx +idy)= ∫			(u +iv)(xi′ +iyi′)dt = ∫ f (z(t))z′(t)dt .
l	l	t1	t1
Основные свойства интеграла от функции комплексной переменной
1)	∫dz = zn − z0 .
	l

n
∑∆zk = ∆z1 + ∆z2 + + ∆zn = z1 − z0 + z2 − z1 + + zn − zn−1 = zn − z0 .
k =1
2)	Линейность.
∫(a1 f1(z)± a2 f2(z))dz = a1∫ f1(z)dz ± a2 ∫ f2(z)dz, a1, a2 – комплексные числа.
l		l	l
3)	Аддитивность.
∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz , где			l = l1 +l2 , то есть интеграл по всему пути l равен
l	l1	l2

сумме интегралов по его частям l1 и l2 .

4)	∫ f (z)dz = − ∫ f (z)dz , то есть при перемене направления пути интегрирования ин-
	l	l −
теграл изменяет свой знак на противоположный (в других обозначениях кривой: ∫					= − ∫	).
				AB	BA
5)	Оценка	модуля интеграла. Если	f (z)	≤ M во всех точках кривой l,		то

∫ f (z)dz

≤ Ml , где l – длина кривой l.

Действительно,

∑ f (ck )∆zk

≤ ∑

f (ck )∆zk

≤ M ∑

∆zk

≤ Ml , где

∑

∆zk

– длина ло-

k =1

маной z0z1z2 zn , вписанной в кривую l.

Все приведенные свойства интеграла функции комплексной переменной непосредственно вытекают из его определения (3.24) и представления (3.28).

Пример 3.14. Вычислить интеграл I = ∫(1+i −2z)dz , где AB – часть параболы

∫ y = x2	от точки A = 0 до точки B =1+i .
l
Решение. Для вычисления интеграла используем формулу (3.26). Перепишем подын-
тегральную функцию в виде f (z)=1+i −2z =1+i −2(x −iy)= (1−2x)+i(1+ 2y). Здесь
u =1−2x, v =1+ 2y; I = ∫(1−2x)dx −(1+ 2y)dy +i ∫(1+ 2y)dx −(1−2x)dy .
	AB		AB
Так как AB – парабола y = x2 , то для параболы имеем dy = 2xdx, 0 ≤ x ≤1.
I = 1∫(1−2x −(1+ 2x2 )2x)dx +i1∫(1+ 2x2 +(1−2x)2x)dx =
	0	0								.
1	1		1		2		1		4	.
1	1						1
∫	(1−4x −4x3 )dx +i∫(1+ 2x −	2x2 )dx = (x −2x2 − x4 )				x3	= −2	+		i.
∫	(1−4x −4x3 )dx +i∫(1+ 2x −	2x2 )dx = (x −2x2 − x4 )		+i x + x2 −	3	x3	= −2	+	3	i.
0	0		0		3		0		3
0	0						0

3.3.2 Теорема Коши для односвязной области

Для формулировки и доказательства теоремы Коши приведем некоторые определе-

ния.

Определение 3.1. Область D называется односвязной, если внутренность любой замкнутой кривой, принадлежащей области D, состоит только из точек данной области (область без «дыр»). Область D с присоединенной к ней границей называется замкнутой областью.

Определение 3.2. Однозначная комплексная функция f (z) называется аналитической в точке z, если она дифференцируема (выполнены условия Коши-Римана) как в самой точке z, так и в некоторой ее окрестности. Функция f (z) называется аналитической в области D, если она аналитична в каждой точке этой области.

Теорема 3.3 (Коши). Если функция f (z)= u(x, y)+iv(x, y) аналитична в односвязной замкнутой области D с границей Γ, то

			∫ f (z)dz = 0 .		(3.29)
			Γ
			Доказательство		теоремы приведем для случая, когда частные производные
∂u	,	∂v	, ∂u	, ∂v функции	f (z)= u +iv непрерывны в области D (это достаточные условия
∂x		∂x	∂y	∂y

дифференцируемости функции f (z)). По формуле (3.26)

∫ f (z)dz = ∫udx −vdy +i∫vdx +udy .

Применим к каждому криволинейному интегралу по замкнутому контуру в правой

части последнего равенства формулу Грина:

∫

∂Q −

∂P

Pdx +Qdy =

∫∫

dxdy.

∂x

∂y

f (z)dz =

− ∂v − ∂u

∂u −

∂v

∫

dxdy +i

dxdy.

∫∫

∂x ∂y

∫∫

∂x

∂y

Учитывая, что для аналитической функции

f (z)= u +iv в области D выполняются ус-

ловия Коши-Римана

∂u

= ∂v ;

∂u

= − ∂v , получим

∂u

− ∂v

= 0;

− ∂u

− ∂v = 0 ,

∂x

∂y

∂x

∂y

∂x

∂y

откуда следует формула (3.29).

Пример 3.15. Вычислить интегралы (обход контуров – против часовой стрелки):

а) ∫

dz ;

б) ∫

z2z

dz .

z −3i

+ z

Решение.

а) Единственная особая точка (нарушается аналитичность) подынтегральной функции z = 3i находится вне области z < 12 . По теореме Коши интеграл равен нулю.

б) Особые точки z = 2i, z = −2i вне области z <1, интеграл равен нулю.

3.3.3 Теорема Коши для многосвязной области

Теорема 3.4. Пусть f (z) – аналитическая функция в замкнутой многосвязной облас-

ти D с границей Γ γk , где Γ – внешний контур области D, а γk – замкнутые непересе-

k =1

кающиеся контуры, расположенные внутри D. Тогда

	n
∫ f (z)dz = ∑ ∫ f (z)dz .		(3.30)
Γ	k =1γk
Доказательство. Рассмотрим для определенности трехсвязную область D,		ограни-

ченную внешним контуром Γ и внутренними контурами γ1 и γ2 . Выберем положительное направление обхода контуров: при обходе область D остается слева. Проведем две линии

(два разреза) AB, соединяющие контуры Γ и γ1									и CD, соединяющий Γ и γ2 . Тогда, добавив к
границе области D отрезки AB, BA, CD и DC (каждый из разрезов проходится дважды в про-
тивоположных направлениях), область D превратим в односвязную. По теореме 3.3
∫		+ ∫	+ ∫	+ ∫	+ ∫ + ∫		+ ∫ = 0,		(3.31)
Γ		AB	γ−	BA	CD	γ−	CD
			1			2
где γ−, γ	−	– контуры, имеющие ориентацию, противоположную ориентации контура Γ, то
1	2
есть он ориентирован по часовой стрелке. Так как
∫ = − ∫ ;				∫ = − ∫ ;		∫ = −∫ ;		∫ = − ∫ ,
AB			BA CD		DC	γ1−	γ1	γ2−	γ2
то из равенства (3.31) получим
∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz ,
Γ			γ1		γ2

то есть формулу (3.30) для трехсвязной области.

3.3.4Интеграл с переменным верхним пределом. Первообразная

инеопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Из теоремы (3.3) (Коши) следует, что если f (z) – аналитическая функция в односвязной области D, то интеграл от нее не зависит от формы пути интегрирования, а зависит лишь от начальной точки z0 и конечной точки z пути интегрирования. Действительно, пусть Γ1 и

Γ2 – две кривые в области D, соединяющие z0 и z. По теореме Коши

∫ f (z)dz = 0 , то есть ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz = 0 или

Γ1 +Γ2−

Γ1

Γ2−

∫ f (z)dz − ∫ f (z)dz = 0 , откуда ∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz .

Γ1

Γ2

Γ1

Γ2

В таких случаях, когда интеграл зависит только от начальной точки и конечной точки

пути интегрирования, пользуются обозначением ∫ f (z)dz = ∫ f (z). Если здесь зафиксировать

Γ z0

точку z0 , а z изменять, то интеграл с переменным верхним пределом ∫ f (z) будет функцией

от z. Обозначим эту функцию через F(z): F(z)= ∫ f (z)dz .

Можно доказать, что если функция f (z) аналитична в односвязной области D, то функция F(z) также аналитична в D, причем

	z	′
′				(3.32)
F (z)= ∫ f (z)dz = f (z).				(3.32)
	z0
Функция F(z)		называется первообразной	для функции f (z) в	области D, если
′
F (z)= f (z).
Можно показать, что если F(z) есть некоторая первообразная для				f (z), то совокуп-
ность всех первообразных f (z) определяется формулой F(z)+ C , где C = const .
Совокупность всех первообразных функций			f (z) называется неопределенным инте-
гралом от функции f (z) и обозначается символом
∫ f (z)dz , то есть				(3.33)
∫ f (z)dz = F(z)+ C , где F (z)= f (z).				(3.33)
		′

Методы вычисления неопределенных интегралов от аналитических функций в комплексном анализе те же, что и в действительном. Так, например, справедливы формулы:

	∫ezdz	= ez +C; ∫zndz =		zn+1	+C, n ≠ −1;		∫dz = Lnz +C;
	∫ezdz	= ez +C; ∫zndz =			+C, n ≠ −1;		∫dz = Lnz +C;
				n +1			z
	∫sin zdz = −cos z +C;		∫cos zdz = sin z +C;
	Пусть F(z) является первообразной для функции							f (z) в односвязной области D. То-
		z				также является первообразной для f (z). По формуле
гда интеграл		∫ f (z) согласно (3.32)				также является первообразной для f (z). По формуле
		z0
	z	(z)= F(z)+ C .						z0	(z)= F(z0 )+ C ,
(3.33)	∫ f	(z)= F(z)+ C .	При			z = z0	отсюда	∫ f	(z)= F(z0 )+ C ,	то	есть
	z0							z0
0 = F(z0 )+ C, C = −F(z0 ). Тогда
	z
	∫ f (z)= F(z)− F(z0 ).										(3.34)
	z0

Полученная формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

Пример 3.16. Вычислить интеграл I = ∫(sin z + z5 )dz , где l – ломаная, соединяющая

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 3110 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.20252.23 Mб0Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf
#
24.11.20252.43 Mб0Математика. Часть 1.pdf
#
28.12.20251.69 Mб0Математика. Часть 2-1.pdf
#
24.11.20254.84 Mб0Математика. Часть 2.pdf
#
24.11.20251.69 Mб1Математика. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.6 Mб0Математика.pdf
#
28.12.20252.17 Mб0Математика_1.pdf
#
28.12.20251.51 Mб0Математика_2.pdf
#
28.12.2025883.18 Кб0Математика_3.pdf
#
28.12.2025921.92 Кб0Математика_4.pdf