Важно, что если dx и dy нельзя считать постоянными, то последняя формула уже не
будет верна. Например, при n = 2 имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
∂f (x; y) |
∂f (x; y) |
|
|
|
|
∂f (x; y) |
∂f (x; y) |
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
d |
2 |
x + d |
|
|
|
|
d |
2 |
y . |
|
|
|
|
|||||||||||
d u = d(du)= d |
∂x |
dx + |
∂x |
|
|
∂y |
dy + |
∂y |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Сумма первого и третьего слагаемых даст нам выражение, ранее полученное для d 2u . Поэтому в итоге
d 2u = |
|
∂2 f (x; y) |
dx2 + 2 |
∂ |
2 f (x; y) |
dxdy + |
∂2 f (x; y) |
dy2 |
+ |
|
∂f (x; y) |
|
d 2x + |
∂f (x; y) |
d 2 y , |
|||||||||||||||||
|
|
∂x2 |
|
|
|
∂x∂y |
∂y2 |
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
т.е. в данном общем случае выражение для d 2u |
содержит слагаемые, зависящие от d 2x и |
|||||||||||||||||||||||||||||||
d 2 y , чего не было ранее в формуле (1.21) при n = 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1.4.3 Формула Тейлора для функции нескольких переменных |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Для функции нескольких переменных формула Тейлора имеет вид: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
df |
(x , y |
0 |
) |
|
|
|
d 2 f (x , y |
0 |
) |
|
|
d n f (x , y |
0 |
) |
|
|
d n+1 f |
(x Qx, y |
0 |
+Qy) |
|
||||||
f (x, y)= f (x |
, y |
0 |
)+ |
|
0 |
|
|
+ |
0 |
|
|
+ + |
|
|
0 |
|
|
+ |
|
|
0 |
|
|
|
, (1.24) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
|
|
|
1! |
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
(n +1)! |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Видим, что формула содержит в правой части функцию и ее дифференциалы различ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ного порядка в заданной точке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пример 1.28. Разложить по формуле Тейлора функцию f = x5 + y4 |
|
в т. |
M (1;2) до |
|||||||||||||||||||||||||||||
второго порядка включительно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Решение. Формула Тейлора в этом случае будет иметь вид: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
f (x, y)= f (M )+ df (M )+ d 2 f (M )
2!
f (M )=1+16 =17
df (M )= fx′(M )(x − x0 )+ f y′(M )(y − y0 ) fx′ = 5x4, f y′ = 4y3
Следовательно,
df (M )= 5 14 (x −1)+ 4 23(y −2)= 5(x −1)+32(y −2),
d 2 f (M )= fx′′2 (M )(x −1)2 + 2 fxy′′ (M )(x −1)(y −2)+ f y′′2 (M )(y −2)2,
где f ′′2 = 20x3 |
, |
f ′′ |
= 0, |
f ′′2 =12y2 |
, |
d 2 f (M )= 20(x −1)2 + 48(y −2)2 . |
x |
|
xy |
|
y |
|
|
Тогда разложение (1.24) будет иметь вид:
f (x, y)=17 +5(x −1)+32(y −2)+10(x −1)2 + 24(y −2)2 .
23