ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

Интегральное исчисление функций одной переменной

1.Первообразная функция. Неопределённый интеграл и его свойства. Таблица основных неопределённых интегралов. Замена переменной в неопределённом интеграле и интегрирование по частям.

2.Интегрирование рациональных функций разложением на сумму простых дробей.

3.Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции и некоторые иррациональные функции.

4.Понятие определённого интеграла. Суммы Дарбу и их свойства. Необходимые и достаточные условия интегрируемости функций. Интегрирование непрерывных и кусочнонепрерывных функций.

5.Интеграл с переменным верхним пределом и его дифференцирование. Формула Ньютона-Лейбница.

6.Замена переменной в определённом интеграле. Формула интегрирования по частям

вопределённом интеграле.

7.Геометрические приложения определённого интеграла: вычисление площадей плоских фигур; объемов тел; длин дуг; площадей поверхностей вращения.

8.Физические приложения определённых интегралов: вычисление работы; пути; давления; массы; центра тяжести; статических моментов и моментов инерции.

9.Несобственные интегралы первого и второго рода. Определения, признаки сходимости, абсолютная и условная сходимость.

Дифференциальное исчисление функций многих переменных

1.Множества на плоскости и в пространстве. Функции многих переменных (ФМП). Предел ФМП в точке и его свойства. Повторные пределы. Непрерывность ФМП в точке и на множестве.

2.Частные производные ФМП. Дифференциал ФМП и его связь с частными производными. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.

3.Линии и поверхности уровня. Производная по направлению ФМП и градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных.

429

4.Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для ФМП. Понятие неявной ФМП, её существование и дифференцирование.

5.Понятие экстремума ФМП. Необходимое и достаточное условие экстремума. Метод наименьших квадратов. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области. Условный экстремум; метод множителей Лагранжа.

Интегральное исчисление функций многих переменных

1.Определение двойного интеграла и его свойства. Геометрический и физический смысл двойного интеграла. Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат. Перемена порядка интегрирования в повторном интеграле.

2.Тройной интеграл, его определение, свойства, вычисление в декартовой системе координат.

3.Криволинейные координаты на плоскости и в пространстве. Якобиан и его геометрический смысл. Замена переменных в двойном и тройном интегралах. Двойной интеграл в полярной системе координат. Тройной интеграл в цилиндрической и сферической системах координат.

4.Приложения кратных интегралов: вычисление объёмов; площадей; статических моментов; центра тяжести; моментов инерции.

5.Определение, свойства и вычисление криволинейных интегралов первого рода. Приложения криволинейных интегралов первого рода.

6.Определение, свойства и вычисление криволинейных интегралов второго рода. Приложения криволинейных интегралов второго рода. Связь криволинейных интегралов первого и второго рода.

7.Формула Грина. Независимость криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования.

8.Площадь поверхности. Поверхностный интеграл первого рода, его вычисление, свойства, приложения.

9.Нормаль к поверхности. Односторонние и двусторонние поверхности. Ориентация двусторонней поверхности. Поверхностный интеграл второго рода, его вычисление и свойства. Формулы Остроградского и Стокса. Связь ПОВИ-1 и ПОВИ-2.

430

Обыкновенные дифференциальные уравнения

исистемы дифференциальных уравнений

1.Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ). Общее и частное решение ДУ. ДУ 1-го порядка. Задача Коши для ДУ первого порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для ДУ первого порядка. Метод изоклин.

2.Примеры ДУ первого порядка, интегрируемых в квадратурах: с разделяющимися переменными; однородные; в полных дифференциалах; линейное; Бернулли.

3.Общие понятия о ДУ высших порядков. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка. Понятие о краевых задачах. Линейные однородные ДУ и свойства их решений. Структура общего решения неоднородных линейных ДУ высших порядков.

4.Линейные однородные ДУ высших порядков, свойства их решений. Линейная зависимость и независимость системы функций. Определитель Вронского. Линейные однородные ДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Линейное неоднородное ДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Метод вариации произвольных постоянных.

5.Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Линейное неоднородные системы ДУ с постоянными коэффициентами.

6.Устойчивость по Ляпунову решений линейных систем второго порядка. Устойчивость нелинейных систем по первому приближению. Фазовая плоскость и особые точки двумерных систем.

Векторный анализ и элементы теории поля

1. Скалярные и векторные поля. Векторные линии поля и их дифференциальные урав-

нения.

2.Потенциальное поле. Потенциальная функция поля. Поток векторного поля.

3.Дивергенция векторного поля. Физический смысл формулы Остроградского.

4.Линейный интеграл в векторном поле. Работа силового поля. Циркуляция и ротор векторного поля. Физический смысл формулы Стокса.

5.Оператор Гамильтона. Дифференциальные операции второго порядка. Оператор Лапласа. Дифференциальные операции первого и второго порядков в цилиндрических и сферических координатах.

431

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА (2 СЕМЕСТР)

Неопределенный и определенный интегралы

1.Первообразная и ее свойства.

2.Неопределенный интеграл и его свойства.

3.Основные правила интегрирования.

4.Замена переменной в неопределенном интеграле.

5.Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

6.Комплексные числа и действия над ними.

7.Формы записи комплексных чисел.

8.Теорема Безу.

9.Основная теорема алгебры и следствия из нее.

10.Разложение многочлена на множители.

11.Простейшие дроби и их интегрирование.

12.Теоремы о разложении правильной рациональной дроби на простейшие.

15.Нахождение интегралов вида ∫sinn x cosm xdx .

16.Нахождение интегралов вида ∫tgn xdx, ∫ctgn xdx .

17.Нахождение интегралов вида ∫R(sin x;cos x)dx . Универсальная тригонометрическая

подстановка.

18.Интегрирование простейших иррациональных функций

19.Интегрирование биномиального дифференциала.

20.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

21.Определение определенного интеграла и его свойства.

22.Теорема о производной от определенного интеграла с переменным верхним пределом интегрирования.

23.Формула Ньютона-Лейбница.

24.Замена переменной в определенном интеграле.

432

25.Интегрирование по частям в определенном интеграле.

26.Вычисление площадей криволинейных трапеций с помощью определенного интеграла в декартовой и полярной системах координат.

27.Вычисление длины дуги кривой с помощью определенного интеграла: а) в декартовой системе координат; б) в полярной системе координат; в) кривой, заданной параметрически.

28.Вычисление объема тел по площадям поперечных сечений.

29.Вычисление объемов тел вращения.

30.Несобственные интегралы по бесконечному промежутку интегрирования.

31.Несобственные интегралы от неограниченных функций.

Двойные и тройные интегралы

32.Геометрический и физический смысл двойного интеграла. Основные свойства.

33.Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

34.Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

35.Тройной интеграл. Основные понятия. Свойства.

36.Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах.

37.Вычисление тройного интеграла в сферических координатах.

Криволинейные и поверхностные интегралы

38.Криволинейные интегралы первого рода. Основные понятия. Свойства.

39.Вычисление криволинейных интегралов первого рода.

40.Криволинейные интегралы второго рода. Основные понятия. Свойства.

41.Вычисление криволинейного интеграла второго рода.

42.Формула Грина.

43.Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирова-

ния.

44.Поверхностные интегралы первого рода. Основные понятия. Свойства.

45.Вычисление поверхностных интегралов первого рода.

46.Поверхностные интегралы второго рода. Основные понятия. Свойства.

47.Формула Остроградского.

48.Формула Стокса.

433

Элементы теории поля

49.Скалярное поле. Поверхности и линии уровня. Производная по направлению.

50.Градиент скалярного поля.

51.Векторное поле. Силовые линии поля.

52.Поток векторного поля.

53.Дивергенция поля. Формула Остроградского.

54.Циркуляция поля. Физический смысл.

55.Ротор поля. Формула Стокса.

56.Соленоидальное поле. Свойство векторной трубки.

57.Потенциальное и гармоническое поля.

58.Оператор Гамильтона. Векторные дифференциальные операции первого порядка.

59.Векторные дифференциальные операции второго порядка.

60.Дифференциальное исчисление функций многих переменных

61.Предел функций нескольких переменных.

62.Непрерывность функций нескольких переменных.

63.Частные производные функций нескольких переменных и их геометрический смысл.

64.Полный дифференциал.

65.Частные производные высших порядков.

66.Полные дифференциалы высших порядков.

67.Дифференцирование сложных функций.

68.Дифференцирование неявно заданных функций.

69.Инвариантность формы полного дифференциала.

70.Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

71.Производная по направлению.

72.Градиент и его свойства.

73.Теорема о связи производной по направлению и градиента.

74.Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие существования.

75.Достаточное условие существования экстремума.

76.Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области.

77.Условный экстремум. Необходимое и достаточное условия существования.

78.Метод наименьших квадратов.

79.Линейная аппроксимация.

434

Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений

80.ДУ 1-го порядка. Решение, общее решение, задача Коши, теорема существования и единственности решения задачи Коши.

81.ДУ с разделяющимися переменными.

82.Однородные ДУ 1-го порядка.

83.Линейные ДУ 1-го порядка.

84.Уравнение Бернулли.

85.ДУ в полных дифференциалах.

86.ДУ n-го порядка, решение, общее решение, задача Коши, теорема существования и единственности решения задачи Коши.

87.ДУ высших порядков, допускающие понижение порядка.

88.Линейный дифференциальный оператор и его свойства.

89.Свойства решений линейных однородных ДУ.

90.Линейная зависимость решений. Определитель Вронского и его свойства.

91.Теорема о структуре общего решения линейного однородного ДУ.

92.Построение общего решения линейного однородного ДУ с постоянными коэффициента-

ми.

93.Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного ДУ.

94.Метод Лагранжа для нахождения частного решения линейного неоднородного ДУ.

95.Нахождение частных решений линейных неоднородных ДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

96.Системы ДУ. Решение, общее решение, задача Коши, теорема существования и единственности решения задачи Коши.

97.Метод исключений для решения систем ДУ.

435