Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Часть 2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

4.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 5859 / 6359 60 61 62 63 > Следующая >>>

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 4 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ ДУ

В заданиях:

№1 – №8, №10, №11 – найти общее решение дифференциальных уравнений. Если даны начальные условия, то решить задачу Коши;

№9 – решить методом Лагранжа; №12 – решить систему дифференциальных уравнений.

Вариант 1

′

sin x = y ln y ;

cos x = y cos x − x ;

1. y

2. xy

4. y′ =

4 y

( y3 + ln x)dx = 0 ;

+ x y ;

dx +

7. y′′ =

′

y(1) =1/ 2

; 8. y IV +

2 y′′′ + y

′′ = 0 ;

(1 + ln

) , ′

y (1)

10. y′′ − 2 y′ = (2x + 3)e2x ;

11. y′′ + 2 y′ + 2 y =1 + 4sin x ;

Вариант 2

1.y′ = (2 y +1) tg x ;

4.2xy′ + 2 y = xy 2 ;

7. ex (y′′ex ) =1,	y(0)	=1	;
	′	= 0
	y (0)

10. y′′ + y′ = x2 +1;

2.xy′ = y(ln y − ln x) ;

5.(2x + ex / y )dx + (1− xy)ex / y dy = 0 ;

8.y IV − 3y′′ − 4 y = 0 ;

11. y′′ + 2 y′ − 3y = e2x + 9 cos x ;

Вариант 3

3. (x2 +1) y′ + 4xy = 3;

6. 2 yy

′′

′

+ 4 y

;

= 3( y )

′′

9. y

+ y =

;

cos 2x

12.x′ = 3x + y .y′ = x + 3y

3.x2 y′+ xy +1 = 0 ;

6.ey (y′′+ (y′)2 ) = 2 ;

	′′		′	e−2x
9. y		+ 4 y		+ 4 y = x3	;

12.x = 2 y − x +1.y = 3y − 2x

1. y′ = e2x ; ln y

4. 2y′ + 2xy = x e−x2 y2 ;

7. y′′ =	y	′		y	′	y(1) = e
			ln			, ′		;
	x			x			= e
						y (1)

10. 4y′′ + 4y′ + y = 3cos 2x

2. ydy = (2 y − x)dx ;

3. xy′+ y + xe−x2 = 0 ;

′

+ yy

′′

′

;

6. (10xy − 8y +1)dx + (5x

− 8x + 3)dy = 0 ;

5. y y

= ( y )

′′′

′′

′

′′

′

e2x

8. y

+ 2 y

− 3y

= 0 ;

9. y

− 4 y

+ 5y = cos x ;

= 2x − 4y

; 11. y′′+ 4 y′+ 5y = 2x + 3 + xex

;

12.

= x − 3y + 3e

291

Вариант 4

(sin y)dx + (1 + e

) cos ydy = 0 ;

3. y

′

2x(x

+ y) ;

1. 3e

;

xy − x2

2 y2 − xy

4. y

′

+ 2xy = 2x

;

5. (2x

− xy

)dx + (2 y

− x

y)dy = 0 ;

6. y y

′′

′

;

= (y ) e

7. y′′ =	y	′	y(π) = π +1
			+ xcos x, ′	;
	x
			y (π) = 2π

10. y′′+ 9 y = 4 cos 3x ;

8. yIV − y′′ = 0 ;	9. y′′+ 2 y′+ y = 3e−x						;
				x +1
		x = 4x + y − 36t
11. y′′− 4 y′ = 2x +1 + 4 e2x ;	12.					.
					t
			2x − 2 e
		y = y −

Вариант 5

1. 3y

−x

′

;

2. y′ =

;

3. y′ctg x − y = 2 cos2 x ctg x ;

−

4. xy

′

+ y

= y

ln x ;

5. e

dx + (x e

− 2y)dy = 0 ;

′′

′ 2

= y

′

;

6. y y + (y )

7. x( y

′′

′

, y(1)

′

8. y

− y

′′′

= 0 ;

9. y

′′

+ y = tg x ;

− x) = y

= y (1) =1 ;

x = 2 x + 3y + 5t

10. y′′+ 6y′+13y = 3e2x sin x ;

11. y′′− 2 y′

+ y = 2 ex + x −1 ;

12.

2 y + 8e

y = 3x +

Вариант 6

− cos2 y = 0 ;

2. 4xydy = (x2 − y2 )dx ;

3. y′− 3x2 y − x2 ex3 = 0 ;

1. y′

1 − x2

2 / 3

xdy

4. y′ − 9x

6. y′′ = y′+ x ;

y =

+ x

) y

;

−1 dx ;

+ y

′′

1, y(0,5) = y

′

1 ;

8. y

+ 8y

′′

9 y = 0 ;

′′

e2x

9. y

− y = ex −1 ;

7. y y

(0,5) =

−

x = 4x − 3y + sin t

10. y′′− 4 y = 5e2x ;

11. y′′− 4 y′ = 2x − 3 + cos 3x ;

12.

y = 2x − y + 2 cos t

292

Вариант 7

1. (1+ e

) x dx = e

dy ;

2. xy

′

= y + y ln

;

3. (x

−1)y

′

− xy = x

− x ;

4. xy

′

+ y = xy

;

5. xdx + ydy = 0 ;

′′

+ y

′

;

(y −

= (y )

7. xy

′′

′

2 ;

8. y

+ 2 y

′′′

+ 2 y

′′

= 0 ;

9. y

′′

+ 4 y = 2 tg x ;

= y

, y(1) = y (1) =

y′

10. y′′− 4 y′+ 4 y = 3e2x ;

11. y′′− 6y′+13y = 4sin 2x − cos x ;

z .

12.

z′

Вариант 8

1. (x + 2xy) dx + (1 + x2 )dy = 0 ;

2. ydx = (2

− x)dy ;

3. y′+ 2 y = e3x ;

4. xy

′

− y = y

;

6. 2 yy

′′

+ y

′

;

− y2

dy = 0 ;

= ( y )

8. yIV + 8y′′+16y = 0 ;

7. x( y′′+1)

+ y′ = 2, y(1)

= 2 , y′(1) = 2

;

9. y′′

− y′ =

;

ex +1

x = y − cos t

10. y′′+10y′+ 26y = (3x −1)ex ;

11. y′′ + 4 y′ =1 + 4 cos4 x ;

12.

y = −x + sin t

Вариант 9

2. y2 − 3xy + 3x2 y′ = 0 ;

1. (1+ y2 )dx −(2y +

1+ y2 )(1+ x)3/ 2 dy = 0 ;

3. y′+

= 2 ln x +1 ;

2 y

4. y′

;

5. yy′′ = y′(y′ +1) ;

6. (ex + y + sin y)dx + (e y + x + cos y x)dy = 0 ;

cos2 x

7. y

′′

′

8. y

+ y

′′

0 ;

9. y

′′

+ 4 y = ctg 2x ;

= − y′

, y(2) = 0 , y (2) =1 ;

= −5y +

2z + 40e

10. y′′+ y′ = 3cos x ;

y′

11. 4 y′′− 4 y′+ y = x2 + 4 e2x ; 12.

−x

′

= y

− 6z

+ 9 e

293

Вариант 10

1. (2xy2 + x)dx + (3y − x2 y)dy = 0 ; 2. (x − y)dx + (x + y)dy = 0 ;

3. y′+

2 y

= ex(x +1)2 ;

x +1

4. y′

5. xy′′− y′′+

6. 2xcos2 ydx + (2 y − x2 sin 2 y)dy = 0 ;

−

x y ;

0 ;

x2 −1

′′

′

′′′

′′

7. y

= 2 yy

8. y

−8y = 0 ;

+ 4 y = cos 2x

;

, y(0) = y (0) =1 ;

= −y

10. y′′+ 4 y′+ 29 y + 26e−x ;

11. y′′+ 4 y′ = 2x + 5 + xe3x ;

12.

= 3x

+ 4 y

Вариант 11

′

1. ( xy − x)dy + ydx = 0 ;

+ y

= e

;

2. xy

− y = x tg x

;

′

4. y′− y + y2 cos x = 0 ;

5. 2xydy + (x2 + y2 + 2x)dx = 0 ;

y′′

( y )

0 ;

1 − y

′′

′

=1; 8. 4 y

+ 4 y

′′′

+ y

′′

= 0 ;

′′

7. y

− 2 ctg xy

= sin

x , y(π/ 4)

/ 4)

+ y = sin x ;

= 0, y (π

′′

′

′′

′

x = 2 y − 3x

10. y

−12 y + 36y = 32 cos 2x ;

11. y − 2 y + 2 y = 3x + (4x −1) e ;

12.

y = y − 2x + t

Вариант 12

1. (x2 + 2x) y′ = y + 4 ;

2. xy′− y

= (x + y) ln

x + y

;

xy′−

= x ;

x +1

′

′′

4. y

= y ctg x + sin x ;

5. 2 yy

= y

;

6. (x

− 3xy

+ 2)dx

− (3x

y − y

)dy =

0 ;

7. y

− 5y

′′

+ 4 y = 0 ;

′′

+1) = 2xy

′

, y(0)

′

′′

+ 2 y

′

+ y

e−x

8. y (x

=1, y

(0) = 3;

;

x = x − y +18t

10. y′′+ y′ = xe−x ;

11. y′′+ 3y′+10y = sin 3x − cos x ;

12.

y = 5x − y

294

Вариант 13

1.y2 + y′x2 = 0 ;

5.2( y′)2 = y′′( y −1) ;

7.y′′x + y′ = ln x, y(1) =1, y′(1) = 2 ;

	′		y			′
2. xy		= y cos ln x		;	3. y		+

6.(x2 + y2 + y)dx + (2xy

8.y′′′+ 3y′′+ 3y′+ y = 0 ;

4. y′−

y = cos x ;

;

+ x + e y )dy = 0 ;

′′

′

9. y

− 2y

+ y =

4 − x2 ;

x = 2 y − x

10. y′′ + 6y′ + 9 y = 2x2 −1;

11. y′′+ 4 y′+ 5y = 4xe2x + cos x ;

12.

3x + e

y = 4 y −

Вариант 14

1. 2 e y(1 + x2 )dy − x(e y +1)dx = 0 ;

2. xdy − ydx =

x2 + y2 dx ;

3. y′−

= x ;

4. y

′

+ 2 y = y

;

x 2

′

′′

′

1 ;

5. (y + x ln y)dx + (

2y + x

+1)dy = 0 ;

6. 2xy y

( y )

7. y

′′

′

, y(0) = 0, y

′

8. y

+ 4 y

′′′

− 5y

′′

= 0 ;

′′

+ y = tg

x ;

= y

(0) =1 ;

2x + y

+ 2 e

x =

10. 4 y′′+ 9 y = 5cos 3x ;

11.

;

12. y′′ + 8y′ +17 y = 2x2 + 3x +1 + 3e2x .

− 3e

y = x + 2 y

Вариант 15

1. x ln xy

′

= y ;

2. y

′

+ y2

;

3. y

′

1 + x ;

= xy

− 1 − x2 =

4. xy′ − 4 y − 2x2

y′

6. (3x2 y + sin x)dx + (x3 − cos y)dy = 0 ;

y = 0 ; 5. y′′ −

= x(x −1) ;

x −1

7. y

′′

′

0, y(0)

′

;

8. y

′′′

− 6y

′′

+12 y

′

8y = 0 ; 9. y

′′

− 3y

′

e x + 2

;

+ 2 y( y )

= 2, y (0) = 3

−

+ 2 y = e x +1

x = 2x − y

10. y′′+ 4y′+5y = 4ex cos3x ;

11. y′′− 4 y′+ 4 y = 5e2x + 3cos 4x ;

12.

2 e

y = x +

295

Вариант 16

2. x2 + xy + y2 = x2 y′ ;

2 y

1. (4 + x2 )dy − 1 −16y2 dx = 0 ;

3. y′−

= x3 ;

′

′′

′

4. xy

= x

+ y

;

5. x

sin ydx + (1 + 3 cos y)dy = 0 ;

6. y

+ 4y

= 2x

;

′′

′

′′

7. y

= 2

− y, y(0)

8. y

+ y

= 0 ;

9. y

+ 4 y = sin2 x

;

= 2, y

(0) = 2 ;

10. y′′ + 9y = 3cos 3x ;

11. y′′− y′ = 4x + 3 + 4 e2x ;

= x

+ 2y

12.

= x

− 5sin t

Вариант 17

1. yy′ = e2x− y ;

2. (x2 + xy) y′ = x

x2 − y2

+ xy + y2 ;

3. y′tg x − y =1 ;

4. xy

′

;

5. e

dy + ( ye

− 2x)dx = 0 ;

′′

′ 2

;

+ y = x

= ( y )

7. y′′

, y(0) =1, y′(0) = 0 ;

8. yIV + 2 y′′′+ y′′ = 0 ;

9. y′′

− 2 y′+ y

= x ;

x = 2x − y

10. y′′+ 2 y′+ 5y = 3xe2x ;

11. y′′+ 4 y′+ 4 y = 3x +1 + 5cos 3x ;

12.

y = y − 2x +18t

Вариант 18

1. xy′+ y = y2 ;

2. 4 y′

+ 4x2

;

3. y′−

= xcos 2x ;

′

′′

′

4. y

−

= e

;

5. (ln y − x)dx + ( y

− y)dy = 0 ;

;

6. y (2 y

+ 3) = 2( y )

7. x

′′

+ x

′

=1, y(1)

′

8. y

− 3y

′′′

′′

− y

′

= 0 ;

9. y

′′

+ y = ctg x ;

=1, y (1) = 2 ;

x = x − y

10. y′′ −16y = 3x e4x ;

11. y′′ + 5y′ = 4x + 3 + cos 2x ;

12.

= y − x + cos3t

296

Вариант 19

1. y′ =

y −1

;

2. (xy′ − y) arctg

= x

;

3. xy′ + y = e x ;

x +1

2xy

4 arctg x

sin 2x

sin2

4. y′

−

y ;

5. xy′′ + y′ = ln x ;

+ x dx + y −

dy = 0 ;

1 + x

1 + x2

7. y

′′

′

= 0, y(0)

′

= 2 ;

8. y

+18y

′′

+ 81y = 0 ;

9. y

′′

+ y

;

= cos2 x

+ y( y )

=1, y (0)

x = −y + t −1

10. y′′ + 5y′ − 6y = (2x + 3)e x ;

11. y′′ − 4 y′ = (3x +1)2 + 5x e x ;

12.

y = x + 2t

Вариант 20

1. sin x sin y dx + cos x cos y dy = 0 ;

+ x

′

= xy y ;

2 y

′

= x

;

dy = 0 ;

1 +

dx −

+ 2 y

′′′

0 ;

′ 2

+ yy

′′

′ 2

, y(0)

′

y y

= ( y )

=1, y (0) = 2 ;

10. y′′− y′− 2 y = xcos x − sin x ;

11. y′′ + 9 y = x2 + 5 − 9 e4x ;

Вариант 21

3.x2 y′ + 2xy −1 = 0 ;

6.y′′ = 2( y′−1) ctg x ;

9.y′′+ 4 y′+ 4 y = e−2x ln x ;

		−2t
	x = 3x − 4 y − e
12.				.
12.			−2t	.
			−2t
	y = x − 2 y − 3e

1. ( y − 2)dx + x2dy = 0 ;

2. y′ =

3. xy′− y = x2 ex ;

;

4. xy

′

+ 2 y + x

= 0 ;

5. (5x + xy

)dx + (4 y

+ x

′ ′′

= 2 y ;

y)dy = 0 ; 6. 3y y

7. x( y

′′

′

8. y

− 2y

+ y

′′′

= 0 ;

9. y

′′

+5y

′

+ 6y =

;

1+ e2x

+ y ) = y

, y(0) = −1, y (0) = 0 ;

x = y −5cost

10. y′′+ 2y′−3y = (x +3)ex ;

11. y′′+ 4 y =1 + 6cos 3x ;

12.

y = 2x + y

Вариант 22

1. 3 + y2 dx − y dy = x2 y dy ;

2. ydy = (2 y − x)dx ;

2. xy′

−

= x ;

x +1

4. 2 y′

5. x( y′′ − x) = y′;

6. (3xsin y

+1)dx +(

cos y +1)dy = 0 ;

−

;

2 x

x2 −1

7. y

− 5y

′′′

= 0 ;

′

′′

′ 3

+1, y(0)

′

= 0 ;

9. y

′′

+ 9 y =

3tg 3x ;

8. 3y y

= y +(y )

= −2, y (0)

x = y + 2e

10. y′′+ 4y′ = (x +1)2 ;

11. y′′−3y′+ 4y = cos3x +12e2x ;

12.

y = x +t

297

Вариант 23

1. (1 + x) y′ = xy ;

2. x2 y′ = y (x + y) ;

xy +1

6. (x

+1) y

′′

5. x2 dx − x dy

= 0 ;

′

) =

′′

; y(2)

′

2 ;

8. y (1+(y )

=1, y (2) =

′′

′

e−2x

′′

′

10. y

+ 4y

+ 4y =

x3 ;

11. y

′

−x

′

3. (1

− x)( y

+ y) = e

;

4. y2 = y

+ y ;

′ 2

= y

′

;

7. y

+13y

′′

+ 36y = 0 ;

x(y )

9. y′′+6y′+9y = 4ex (cos x −sin x) ;

x2 + 2x −3 +5e3x ;

y′ =

12.

x .

z′ = y + z

Вариант 24

1. y′− 2

ln x = 0 ;

2. (4x2 +3xy + y2 )dx + (4y2 +3xy + x2 )dy = 0 ;

3. y′+ y cos x = sin xcos x ;

y′

′

′′

4. y

−3y = x y ;

5. 1

dx +

−

dy = 0 ;

6. y

(1+ln x) +

= 2 +ln x ;

7. 2y

′′

= 3y

, y(−2) =

′

8. y

+ 4y

′′′

+5y

′′

= 0 ;

9. y

′′

+ 2y

′

+ y = e

−x

ln x ;

1, y (−2) =1;

x = x + y +t

10. 2y′′+9y′ = 4sin 3x +cos3x ;

11. y′′+6y′+9y = 4x +3 −5e−3x ;

12.

+ 2t

y = −4x −3y

Вариант 25

1. (4x + xy2 )dx +(3y − x2 y)dy = 0 ;

2. y = y′−e x x ;

3. y′− y tg x =

;

cos x

′

−x2

y (y

′′

+1)

′

;

4. y

− xy = −y

;

5. (3x

y − x2 )dx +(cos y + x

)dy = 0 ;

= (y )

′′

′

′′

′

e2x

8. y

−

15y

−16y =

0 ;

9. y

−

4 + x2 ;

7. y x ln x

= 2y

, y(e) =1, y

(e) = 2 ;

x = −y + e

10. 4y′′−4y′+ y = 4x2 +5x ;

11. y′′−8y′

+ 20y = 4sin 2x + x e2x ; 12.

y = −x + 2e

298

ТЕСТ «ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ» Вариант 1

№

ЗАДАНИЯ

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

1.Изобразить область определения функции z(x, y) =1y +1 .

Найдите частные производные функции

z 'x = y

−2; z

= 2xy +3 ;

z = xy2 −2x +3y .

z 'x = y2 −2; z 'y = 2xy −3. ;

z 'x = 2xy −2; z 'y = 2xy +3 ;

z 'x = y2 −2; z 'y = 2xy −2x ;

z 'x = y2 +3y; z 'y = 2xy +3 .

Найдите ∂

z , если

z = yexy .

(3 + xy)e

;

(1+ xy)e

;

∂x2

x(2 + xy)exy ;

y(2 + xy)exy ; 5) y3exy .

Найдите производную сложной функции

dt = (1+ 2tgt)e

cost;

z = xy2 , если x = sin t; y = et .

2) dz dt = (1− tgt)e2t

cost;

dt = (1+ 2ctgt)e2t cost;

dt = (1+ tgt)et cost;

dt = (4 −ttgt)t3 cost .

Для функции u = x

yz найдите полный

2xyzdx − x

zdy + x

ydz;

дифференциал du .

2xyzdx + x2zdy + x2 ydz;

xyzdx + x2zdy + x2 ydz;

2xyzdx + x2 yzdy + x2 ydz;

2xyzdx + x2zdy + xydz .

В точке А(1, 1, 2) уравнение касательной

y + z = 0 ; 2) 2x + 2y + z −6 = 0 ;

плоскости к поверхности x2 + y2 = 4 − z

3) 4x + y −5 = 0;

y −2z +1 = 0;

имеет вид.

x + y −2 = 0 .

Функция z = 3x +6y + x

− xy + y

имеет ло-

Минимум в точке (-4, -5);

Минимум в точке (5, 5);

кальный...

Минимум в точке (2, 0);

Минимум в точке (-1, -1);

Не имеет экстремума.

Найдите производную функции

1) 1

;

3) 5

8 ;

4) -0,5;

10;

u =

y + x2

в точке А по направлению

5 .

вектора AB, A(2,0), B(3,1) .

В точке А(1, 0) градиент скалярного поля

1) k ;

2) 1 e(−2i + j + 2k) ;

j ;

u = xtgy равен…

4) 2i +1 e j

; 5) 1 6i

+ j +5 3k .

10.

Функция z = 4x + 4y + x2 + y2 в области

z1 = 0, z2 = −6 ; 2)

z1 = 3, z2 = −8;

x ≤ 0; y ≤ 0; x + y ≥ −3 имеет наибольшее z

z1 = 0, z2 = −7,5 ;

4) z1 = 0, z2 = −8 ;

и наименьшее z2 значения…

5) z1 = 3, z2 = −9.

299

Тест «Дифференцирование функций нескольких переменных» Вариант 2

№

ЗАДАНИЯ

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

1.Изобразить область определения

функции z(x, y) = ln(x + y) .

Найдите частные производные функ-

z 'x = y

(1+(xy)2 )+ 2; z 'y = y

(1+(xy)2 );

ции z = arctg(xy) + 2x .

z 'x =1 (1+(xy)2 )+ 2; z 'y =1 (1+(xy)2 );

z 'x = y (1+(xy)2 )+ 2; z 'y = x (1+(xy)2 );

z 'x = y (1+ x2 )+ 2; z 'y = y (1+ y2 );

z 'x = y (1+ x2 )+ 2; z 'y = x (1+ y2 ).

Найдите

∂

z , если z = yexy .

(3 + xy)e

; 2)

(1+ xy)e

;

5) y3exy .

∂y2

x(2 + xy)exy ;

4) y(2 + xy)exy ;

Найдите производную сложной

(1+ 2tgt)e

cos t;

2) (1− tgt)e

cos t;

функции z = xy2 , если

3) (1+ 2ctgt)e2t cost;

4) (4 −ttgt)t3 cost ;

x = cost; y = t2.

5) (4 +ttgt)t3 cost .

Для функции u = xeyz найдите пол-

1) eyzdx + xzeyzdy + xyeyzdz;

ный дифференциал du .

2) eyzdx + xyeyzdy + xyeyzdz;

xeyzdx + xzeyzdy + xyeyzdz;

eyzdx + xzeyzdy + xyzeyzdz;

eyzdx + xzeyzdy +eyzdz .

В точке А(0, 1, 1) уравнение касатель-

y + z = 0 ;

2) 2x + 2y + z −6 = 0 ;

ной плоскости к поверхности z2 = y

3) 4x + y −5 = 0; 4)

y −2z +1 = 0;

имеет вид.

x + y −2 = 0 .

Функция z =1 x +1 y − xy имеет ло-

1) Минимум в точке (-2, 0);

кальный...

2) Максимум в точке (-1, -1);

Минимум в точке (2, 0);

Минимум в точке (5, 5);

Не имеет экстремума.

Найдите производную функции

1) 1

; 3) 5

8 ;

4) -0,5;

10;

u = x ln

y2 в точке А по направлению

5 .

вектора

AB, A(1,1), B(3, 2) .

k ;

2) 1 e(−2i + j + 2k) ; 3)

j ;

4) 2i +1 e j ;

В точке А(1, 1, 0) градиент скалярного

поля u = xz

y равен…

5) 1 6i + j +5 3k .

10.

Функция z = 4x + 4y + x2 + y2 в об-

z1 = 0, z2 = −6 ; 2)

z1 = 3, z2 = −8;

ласти −3 ≤ x ≤ 0;−3 ≤ y ≤ 0 имеет

z1 = 0, z2 = −8 ; 4) z1 = 0, z2 = −7,5 ;

наибольшее z1 и наименьшее z2 зна-

z1 = 3, z2 = −9.

чения…

300

Тест «Дифференцирование функций нескольких переменных» Вариант 3

№

ЗАДАНИЯ

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

1.Изобразить область определения

функции z(x, y) = x − y .

Найдите частные производные функ-

z 'x = 2x ln(xy) + x; z 'y = x

y ;

ции z = x2 ln(xy) .

z 'x = 2x ln(xy); z 'y = x2 y ;

z 'x = 2x ln(xy) + x; z 'y = x2

y ;

z 'x = x ln(xy) + x; z 'y = x

y ;

z 'x = 2x ln(xy) + x; z 'y = x2

y .

Найдите

∂

, если z = yexy .

(3 + xy)e

;

(1+ xy)e

;

∂x∂y

x(2 + xy)exy ;

y(2 + xy)exy ;

y3exy .

Найдите производную сложной

(1+ 2tgt)e

cos t;

2) (1− tgt)e

cos t;

функции z = xy2 , если x = ln t; y =

3) 1+ln t;

4) 1+ln

; 5) (4 +ttgt)t3 cost .

Для функции u = y ln x2 найдите пол-

ный дифференциал du .

dx +ln x

dy;

x dx + y ln x

dy;

2y dx +ln x2dy;

dx +ln x2dy;

dx +ln xdy .

В точке А(1, 1, 0) уравнение касатель-

y + z = 0 ; 2) 2x + 2y + z −6 = 0 ;

ной плоскости к поверхности

3) 4x + y −5 = 0;

y −2z +1 = 0;

x2 + y2 = 2 − z2 имеет вид…

5) x + y −2 = 0 .

Функция z = e

x 2

(x + y

) имеет ло-

1) Минимум в точке (-2, 0);

Минимум в точке (5, 5);

кальный...

Минимум в точке (2, 0);

Максимум в точке (-1, -1);

Не имеет экстремума.

Найдите производную функции

1) 1

;

3) 5

8 ;

4) -0,5;

10;

u =

x2 + y2 + z2

в точке А по на-

5 .

правлению вектора

AB, A(1,1,0), B(0,1,1) .

k ;

2) 1 e(−2i + j + 2k) ; 3)

j ;

4) 2i +1 e j ;

В точке А(1, e) градиент скалярного

поля u = x2 ln y равен…

5) 1 6i + j +5 3k .

10.

Функция z = 4x + 4y + x2 + y2 в об-

z1 = 0, z2 = −6 ; 2)

z1 = 3, z2 = −8;

ласти −4 ≤ x ≤ 0;−4 ≤ y ≤ 0 имеет

z1 = 0, z2 = −8 ;

z1 = 0, z2 = −7,5 ;

наибольшее z1

и наименьшее z2 зна-

z1 = 3, z2 = −9.

чения…

301

Тест «Дифференцирование фунций нескольких переменных» Вариант 4

№

ЗАДАНИЯ

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

1.Изобразить область определения функ-

ции z(x, y) = 2x − y .

Найдите частные производные функции

z 'x = ye−y

x2 ; z 'y = −e−y

x x ;

z = e−y x .

z 'x = ye−y x x2 ; z 'y = −e−y x ;

z 'x = ye−y x x2 ; z 'y = e−y x x ;

z 'x = −ye−y x x2 ; z 'y = −e−y x x ;

z 'x = −ye−y x x2 ; z 'y = e−y x x .

Найдите

∂

, если z = yexy .

(3 + xy)e

;

2) (1+ xy)e

;

x(2 + xy)exy ;

4) y(2 + xy)exy ; 5) y3exy .

∂y∂x

Найдите частные производные сложной

z 'u = 3u

; z 'v = −u

;

функции z = xy2 , если x = uv; y = u v.

= u2

= −u3

;

z ' = 3u2

v; z ' = u3

;

4) z ' = 3u2

v; z ' = −u3 v;

= u2

= −u2

v2 .

Для функции u = yz sin x найдите полный

yz cos xdx +sin xdy + y sin xdz;

дифференциал du .

yz cos xdx + z sin xdy + y sin xdz;

yz cos xdx + z cos xdy + y sin xdz;

−yz cos xdx + z sin xdy + y sin xdz;

yz sin xdx + z sin xdy + y sin xdz; .

В точке А(2, -3, 0) уравнение касательной

y + z = 0 ;

2) 2x + 2y + z −6 = 0 ;

плоскости к поверхности x2 + z2 =1− y

3) 4x + y −5 = 0;

4) y −2z +1 = 0;

имеет вид…

5) x + y −2 = 0 .

Функция z = x

+ y

−15xy имеет локаль-

Минимум в точке (-2, 0);

Минимум в точке (5, 5);

ный...

Минимум в точке (2, 0);

Минимум в точке (-1, -1);

Не имеет экстремума.

Найдите производную функции

; 2) 1

;

3) 5

8 ;

4) -0,5;

10;

u = xyz в точке А по направлению векто-

5 5 .

ра AB, A(1,1,1), B(1, 2, 2) .

В точке А(1, 2,-1) градиент скалярного

1) k ; 2) 1 6i + j +5 3k ; 3) j ;

поля u = yez

x равен…

4) 2i +1 e j ; 5) 1 e(−2i + j + 2k) .

10.

Функция z = 4x + 4y + x2 + y2 в области

z1 = 0, z2 = −6 ; 2)

z1 = 3, z2 = −8;

x ≤ 0; y ≤ 0; x + y ≥ −4 имеет наиболь-

z1 = 0, z2 = −8 ; 4)

z1 = 0, z2 = −7,5 ;

шее z1 и наименьшее z2 значения…

5) z1 = 3, z2 = −9.

302

Тест «Дифференцирование функций нескольких переменных» Вариант 5

№

ЗАДАНИЯ

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

1.Изобразить область определе-

ния функции

z(x, y) = ln(2x − y) .

Найдите частные производные

z 'x = 0,5

; z 'y = 0,5

;

(x(1− xy))

x (y(1− xy))

функции z = arcsin

1− xy

z 'x = − y (x(1− xy)); z 'y = − x (y(1− xy));

z 'x = −0,5

(x(1− xy))

; z 'y = −0,5

x (y(1− xy))

;

z 'x =

; z 'y =

;

y (x(1− xy))

x (y(1− xy))

z 'x = −0,5

; z 'y = −0,5

(x(1− xy))

x (y(1− xy))

Найдите

∂

, если

(3 + xy)e

2xy

; 2)

2y(1+ 2xy)e

;

∂y∂x

3) 2x(1+ 2xy)e2xy ; 4) 4y(1+ xy)e2xy ; 5) y3e2xy .

z = ye2xy .

Найдите частные производные

z 'u

= v

ln u sin v(ln u + 2); z 'v

сложной функции z = xy2 , ес-

= u ln vu(v cos v + 2);

z '

= v2 ln u sin v(ln u + 2); z '

= u ln2vu(v + 2sin v);

ли x = u sin v; y = v ln u.

z '

= v2 ln u sin v(ln u + 2); z '

= uv ln u(v cos v + 2sin v);

z '

= v ln u sin v(ln u + 2); z ' = uv ln2 u(v cos v + 2sin v);

z '

= v2 ln u sin v(ln u + 2); z '

= u

ln2vu(v cos v + 2sin v) .

Для функции u = x ln(xy) най-

1) (1+ln( xy))dx + x y dy;

2) ln(xy)dx + x y dy;

дите полный дифференциал

(1+ln( xy))dx +1 y dy;

4) xdx + x

y dy;

du .

ln(xy)dx +1 y dy;.

В точке А(1, 1, -1) уравнение

y + z = 0 ; 2) 2x + 2y + z −6 = 0 ;

касательной плоскости к по-

4x + y −5 = 0;

4) y −2z +1 = 0;

верхности z2 = (x −1)2 + y2

x + y −2 = 0 .

имеет вид…

Функция z = x

+ y

имеет ло-

Минимум в точке (-2, 0); 2) Минимум в точке (5, 5);

Минимум в точке (0, 0); 4) Минимум в точке (-1, -1);

кальный...

Не имеет экстремума.

Найдите производную функ-

; 3) 5

8 ;

4) -0,5; 5) 2

5 .

10;

ции u = arctg(xy) в точке А по

направлению вектора

AB, A(1, 2), B(2,5) .

2) 1 e(−2i + j + 2k) ; 3)

j ; 4)

2i +1 e j ;

В точке А(1, 1, 1) градиент

k ;

скалярного поля

1 6i + j +5 3k .

u = 1 2 + x2 2 +3y2 +5z2 ра-

вен…

10.

Функция z = 4x + 4y + x2 + y2

z1 = 0, z2 = −6 ; 2)

z1 = 3, z2 = −8;

в области x ≥ 0; y ≥ 0; x + y ≤ 3

z1 = 0, z2 = −8 ; 4)

z1 = 21, z2 = 0 ;

имеет наибольшее z1 и наи-

z1 = 3, z2 = −9.

меньшее z2 значения…

303

Тест «Дифференцирование функций нескольких переменных» Вариант 6

№

ЗАДАНИЯ

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

1.Изобразить область определе-

ния функции

z(x, y) = ln(x −2y) .

Найдите частные производ-

z 'x = 0,5

; z 'y = 0,5

;

y (x(1− xy))

x (y(1− xy))

ные функции

; z 'y = −

;

z = arccos

z 'x = −

(x(1− xy))

x (y(1− xy))

1− xy

z 'x = −0,5

(x(1− xy))

; z 'y = −0,5

x (y(1− xy))

;

z 'x =

; z 'y =

;

y (x(1− xy))

x (y(1− xy))

z 'x = −0,5

(x(1− xy))

; z 'y = −0,5

x (y(1− xy))

Найдите ∂

z , если

(3 + xy)e

2xy

;

(1+ xy)e

2xy

;

∂y2

3) 4x(1+ xy)e2xy ; 4) y(2 + xy)e2xy ; 5) y3e2xy .

z = ye2xy .

Найдите производную слож-

(1+3tgt)e

cost;

2) (1+ tgt)e

cos t;

ной функции z = xy3 , если

3) (1+sin t)e3t

cos t;

4) (1−3tgt)e3t cost;

x = sin t; y = et

5) (1+3tgt)e3t

sin t;.

5.Для функции u = y ln(xy) най- 1) ln(xy)dx +1 y dy; 2) ln(xy)dx + y x dy;

дите полный дифференциал

(1+ln( xy))dx +1 x dy; 4)

xdx + x y dy;

du .

y x dx +(1+ln( xy))dy .

В точке А(1, 1, -1) уравнение

y + z = 0 ;

2) 2x + y + z −2 = 0 ;

касательной плоскости к по-

3) 4x + y −5 = 0;

y −2z +1 = 0;

верхности z2 = (x +1)2 + y2

5) x + y −2 = 0 .

имеет вид…

Функция z = −x

− y

+1име-

Минимум в точке (-2, 0);

Минимум в точке (5, 5);

ет локальный...

Минимум в точке (2, 0);

Максимум в точке (0, 0);

Не имеет экстремума.

Найдите производную функ-

1) -1

10;

2) -

2 ;

3) 5

2 8 ;

4) -0,5;

5) 2 5 5 .

ции u = arcctg(xy) в точке А по

направлению вектора

AB, A(1, 2), B(2,5) .

В точке А(1, 1, 1) градиент

k ;

2) 1 e(−2i + j + 2k) ;

3) j ;

4) 2i +1 e j ;

скалярного поля

1 3i + j +5 3k .

u = x2 +3y2 +5z2 равен…

10.

Функция z = 4x + 4y − x2 − y2

z1 = 0, z2 = −6 ; 2)

z1 = 3, z2 = −8;

в области x ≥ 0; y ≥ 0; x + y ≤ 4

z1 = 0, z2 = −8 ; 4) z1 = 0, z2 = −7,5 ;

имеет наибольшее z1

и наи-

z1 = 8, z2 = 0.

меньшее z2 значения…

304

Тест «Дифференцирование функций нескольких переменных» Вариант 7

№

ЗАДАНИЯ

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

1.Изобразить область определения

функции z(x, y) = ln(2x + y) .

Найдите частные производные

z 'x = 2x ln(xy) + x + 2; z 'y = x

y ;

функции z = x2 ln(xy) + 2x .

z 'x = 2x ln(xy); z 'y = x2 y ;

z 'x = 2x ln(xy) + x + 2; z 'y = x2

y ;

z 'x = x ln(xy) + x;

z 'y = x y ;

z 'x = 2x ln(xy) + x + 2; z 'y = x3

y .

Найдите

∂

, если z = ye2xy .

(3 + xy)e

; 2)

4y(1+ xy)e

2xy

;

3) 4x(1+ xy)e2xy ; 4) y(2 + xy)e2xy ; 5) y3exy .

∂x∂y

Найдите производную сложной

(1+3tgt)e

cost;

2) (1+ tgt)e

cos t;

функции z = xy3 , если

3) (1+sin t)e3t

cos t;

4) (3− tgt)e3t cost;

x = cost; y = et

5) (1+3tgt)e3t

sin t;.

Для функции u = yz cos x найди-

yz cos xdx +sin xdy + y sin xdz;

те полный дифференциал du .

yz cos xdx + z sin xdy + y sin xdz;

3)yz cos xdx + z cos xdy + y sin xdz;

4)−yz sin xdx + z cos xdy + y cos xdz;

5)yz sin xdx + z sin xdy + y sin xdz; .

6.В точке А(0, 1, 1) уравнение ка- 1) x + y −2z +1 = 0 ; 2) 2x + 2y + z −6 = 0 ;

сательной плоскости к поверхно-

3) 4x + y −5 = 0; 4)

y −2z +1 = 0;

сти z2 = y + x имеет вид.

x + y −2 = 0 .

Функция z = x

+ y

−8xy имеет

Не имеет экстремума;

Минимум в точке (5, 5);

локальный...

Минимум в точке (2, 0);

Минимум в точке (-1, -1);

Минимум в точке (8/3, 8/3).

Найдите производную функции

1) 1

; 3) 5

12 ;

4) -0,5; 5)

4 .

10;

u =

y + x2 + 2

в точке А по

направлению вектора

AB, A(2,0), B(3,1) .

1) - j ; 2)

1 e(−2i + j + 2k) ; 3)

k ; 4) 2i +1 e j ;

В точке А(1, π 2 ) градиент ска-

лярного поля u = xctgy равен…

5) 1 6i + j +5 3k .

10.

Функция z = 2x + 2y + x2 + y2 в

z1 = 0, z2 = −6 ; 2)

z1 = 3, z2 = −8;

области x ≥ 0; y ≥ 0; x + y ≤ 3

z1 =16, z2 = 0 ; 4)

z1 =15, z2 = 0 ;

имеет наибольшее z1

и наимень-

z1 = 3, z2 = −9.

шее z2 значения…

305

Тест «Дифференцирование функций нескольких переменных» Вариант 8

№

ЗАДАНИЯ

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

1.Изобразить область определения

функции z(x, y) =

3x − y

2. Найдите частные производные

1) z 'x =

(1− xy)); z 'y =

(1+ xy));

функции z = arctg

2) z 'x =

(1+ xy)); z 'y =

(1+ x2 y));

3)z 'x = y(2x (1+ xy)); z 'y = x(2y (1+ xy));

4)z 'x = y(2x(1+ xy)); z 'y = x(2y (1+ xy));

5)z 'x =1 (2x (1+ xy)); z 'y =1 (2y (1+ xy)).

Найдите

∂

, если

(3 + xy)e

−2xy

;

2) (1+ xy)e

−2xy

;

∂y∂x

−4x(1+ x)e−2xy ; 4) −4y(1− xy)e−2xy ; 5) 4y3e−2xy .

z = ye−2xy .

Найдите производную сложной

+ 2tgt)e

cos t;

2) (1− tgt)e

cos t;

3)8t2 (1+3ln t); 4) 1+ln t ; 5) (4 +ttgt)t3 cost .

x = ln t; y = 2t.

5.Для функции u = 2x ln(xy) най- 1) (2 + 2ln(xy))dx + 2 x y dy; 2) 2ln(xy)dx + 2 x y dy;функции z = xy , если

	дите полный дифференциал du .					3)	(1+ln( xy))dx +1 y dy;									4) 2xdx + 2x y dy;
						5)	ln(xy)dx +1 y dy;.

6.	В точке А(1, 1, -1) уравнение ка-					1)	y + z = 0 ;							2) 2x + 2y + z −6 = 0 ;
	сательной плоскости к поверхно-					3)	4x + y −5 = 0;							4)	y −2z +1 = 0;
	сти z2 = x2 + ( y −3)2 имеет					5)	x −2y + z + 2 = 0 .
	вид…
7.	Функция					1)	Минимум в точке (8/3, 8/3);
	z = x	3	+ y	3	−8xy +6 имеет ло-	2)	Минимум в точке (5, 5);
	z = x		+ y		−8xy +6 имеет ло-	3)	Минимум в точке (2, 0);
	кальный...					3)	Минимум в точке (2, 0);
	кальный...					4)	Минимум в точке (-1, -1);
						4)	Минимум в точке (-1, -1);
						5)	Не имеет экстремума.
8.	Найдите производную функции					1)	1			2)			;		3) 5			8 ; 4) -0,5;		5) 2		5 .
8.	Найдите производную функции					1)	1		10;	2)		2	;		3) 5		2	8 ; 4) -0,5;		5) 2	5	5 .
	u = 2arctg(xy) в точке А по на-
	правлению вектора

	AB, A(1, 2), B(2,5) .
9.	В точке А(1, 2,-1) градиент ска-					1)		; 2) e		2
	лярного поля u = ye2z x равен…					1)	k	; 2) e			(−2i + j				+ 4k)	; 3) j ; 4)			2i +1 e j ;
	лярного поля u = ye2z x равен…					5) 1 6i + j +5 3k .
						5) 1 6i + j +5 3k .

10.	Функция z = 2x + 2y + x2 + y2 в					1)	z1 = 0, z2 = −6 ; 2) z1 = 3, z2 = −8;
	области x ≤ 0; y ≤ 0; x + y ≥ −3					3)	z1 =16, z2 = 0 ;
	имеет наибольшее z1 и наимень-					4)	z1 =15, z2 = −1,5 ;
	шее z2 значения…					5)	z1 = 3, z2 = −9.

306

Тест «Дифференцирование функций нескольких переменных» Вариант 9

№

ЗАДАНИЯ

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

1.Изобразить область определения

функции z(x, y) = log3(2x − y) .

Найдите частные производные

z 'x =1

1− x4 y2

; z 'y = x

1− x4 y2

;

функции:

z = arcsin (x2 y).

z 'x = y 1− x4 y2 ; z 'y = x 1− x4 y2 ;

z 'x = y

1− x4 y2

; z 'y = x2

1− x4 y2

;

z 'x =1

1− x4 y2

; z 'y =1

1− x4 y2

; z 'y = x2

z 'x = y

1− y2

Найдите

∂

z , если

−4x(1− xy −2x)e

−2xy

;

2) −4x(1−2x)e

−2xy

;

∂y2

3) (1− xy −2x)e−2xy ; ; 4) −4x(1− xy)e−2xy ;

z = ( y + 2)e−2xy .

5) −4xe−2xy ; .

Найдите частные производные

z 'u = cosu +v; z 'v = u;

z 'u = ctgu +v; z 'v = u;

сложной функции: z = ln(xy) , если

z 'u = ctgv +v; z 'v = u;

z 'u = ctgu +v; z 'v = v;

x = sin u; y = euv.

z 'u = sin u +v; z 'v = u; .

Для функции u = xe2xy + 2 найдите

1) e2xy ((1+ xy)dx + 2x2dy);

полный дифференциал du .

2) e2xy ((1+ 2xy)dx + x2dy);

e2xy (xydx + 2x2dy); 4) e2xy ((1+ 2y)dx + 2x2dy);

e2xy ((1+ 2xy)dx + 2x2dy);.

В точке А(1, 1, -1) уравнение каса-

y + z = 0 ; 2) 2x + 2y + z −6 = 0 ;

тельной плоскости к поверхности

3) 4x + y −5 = 0; 4)

y −2z −3 = 0 ;

(z +3)2 = (x −1)2 + y2

имеет вид…

5) x + y −2 = 0 .

Функция

z = e

x 2

(x − y

) имеет ло-

1) Минимум в точке (-2, 0);

Минимум в точке (5, 5);

кальный...

Минимум в точке (2, 0);

Максимум в точке (-1, -1);

Не имеет экстремума.

Найдите производную функции

2) 3

;

3) 5

8 ;

4) -0,5;

10;

u = 3xyz

в точке А по направле-

5 5 .

нию вектора AB, A(1,1,1), B(1, 2, 2) .

2) 1 e(−2i + j + 2k) ;

3) j ; 4) 2i +1 e j ;

В точке А(1, 1, 1) градиент скаляр-

1) k ;

6i +

j −

3k .

ного поля u =

1 2 + x2 2 +3y2 − z2

равен…

10.

Функция z = 2x + 2y + x2 + y2 в об-

z1 = 0, z2 = −6 ; 2)

z1 = 3, z2 = −8;

ласти x ≥ 0; y ≥ 0; x + y ≤ 2 имеет

z1 = 8, z2 = 0 ;

наибольшее z1

и наименьшее

z1 =15, z2 = −1,5 ;

z2 значения…

5) z1 = 6, z2 = 0.

307

Тест «Дифференцирование функций нескольких переменных» Вариант 10

№

ЗАДАНИЯ

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

1.Изобразить область определения

функции z(x, y) = log3(2x − y) .

Найдите частные производные

функции z = cos2 (x3 + y3) .

z 'x = −3x2 sin(2x3 + 2y3); z 'y = −3y2 sin(2x3 + 2y3) ;

z 'x = 3x2 sin(2x3 + 2y3); z 'y = 3y2 sin(2x3 + 2y3) ;

z 'x = −3x2 sin2 (x3 + y3); z 'y = −3y2 sin2 (x3 + y3) ;

z 'x = 3x2 sin(x3 + y3); z 'y = 3y2 sin(x3 + y3) ;

z 'x = −3x2 sin2 (x3 + y3); z 'y = −3y2 sin2 (x3 + y3) .

Найдите

∂2 z

, если

z = e−x2 y .

2(2x2 y −1)e−x2 y ;

2) −2(2x2 y −1)e−x2 y ;

∂x2

3) (x2 y2 −1)e−y ; 4) 2y(2x2 y −1)e−x2 y ; 5) 2x2 ye−x2 y .

Найдите производную сложной

(4ln t +1 t) ; 2) 2e

(2ln t +1 t) ;

4) 2e2t (4ln t +1 t) ; 5) 2e4t ln t .

функции z = x y , если

2e4t (4ln t +1 t) ;

x = e2t ; y = 2ln t.

Для функции u = x

cos(xy) най-

(2x cos(xy) − y sin(xy))dx − x

sin(xy)dy;

дите полный дифференциал du .

(2x cos(xy))dx;

3) −x3 sin(xy)dy;

4)(2x cos(xy) − y sin(xy))dx + x3 sin(xy)dy;

5)(2x cos(xy) − y sin(xy))dx −sin(xy)dy; .

В точке А(1, 1, -1) уравнение ка-

y + z = 0 ; 2) 2x + 2y + z −6 = 0 ;

сательной плоскости к поверхно-

4x + y −5 = 0; 4) y −2z +1 = 0;

сти z2 = (x −1)2 + ( y +1)2 имеет

2y + z −1 = 0.

вид…

Функция z = 2 +

−2xy имеет

1) Минимум в точке (-2, 0);

Минимум в точке (5, 5);

Минимум в точке (2, 0);

локальный...

Максимум в точке (-1, -1);

Не имеет экстремума.

Найдите производную функции

1) 1

2 ;

3) 5

8 ;

4) -0,5;

10;

u =

y2 + x2

в точке А по на-

5 .

правлению вектора

AB, A(2,0), B(3,1) .

2) 1 e(−2i + j + 2k) ;

j ;

4) 2i +1 e j ;

В точке А(-1, 1, 1) градиент ска-

k ;

лярного поля

−1 6i + j +5 3k .

u = 1 2 + x2 2 +3y2 +5z2 ра-

вен…

10.

Функция z = x + y − x2 − y2 в об-

z1 = 0, z2 = −6 ; 2)

z1 = 3, z2 = −8;

ласти x ≥ 0; y ≥ 0; x + y ≤ 3 имеет

z1 = 0, z2 = −8 ; 4)

z1 = 0,5,

z2 = −6 ;

наибольшее z1

и наименьшее

z1 = 3, z2 = −9.

z2 значения…

308

Тест «Дифференцирование функций нескольких переменных» Вариант 11

№

ЗАДАНИЯ

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

1.Изобразить область определения функции z(x, y) =1y +1 .

Найдите частные производные функции

z 'x = y

−2; z

= 2xy +3 ;

z = xy2 −2x +3y .

z 'x = y2 −2; z 'y = 2xy −3. ;

z 'x = 2xy −2; z 'y = 2xy +3 ;

z 'x = y2 −2; z 'y = 2xy −2x ;

z 'x = y2 +3y; z 'y = 2xy +3 .

Найдите ∂

z , если

z = yexy .

(3 + xy)e

;

(1+ xy)e

;

∂x2

x(2 + xy)exy ;

y(2 + xy)exy ; 5) y3exy .

Найдите производную сложной функции

dt = (1+ 2tgt)e

cost;

z = xy2 , если x = sin t; y = et .

2) dz dt = (1− tgt)e2t

cost;

dt = (1+ 2ctgt)e2t cost;

dt = (1+ tgt)et cost;

dt = (4 −ttgt)t3 cost .

Для функции u = x

yz найдите полный

2xyzdx − x

zdy + x

ydz;

дифференциал du .

2xyzdx + x2zdy + x2 ydz;

xyzdx + x2zdy + x2 ydz;

2xyzdx + x2 yzdy + x2 ydz;

2xyzdx + x2zdy + xydz .

В точке А(1, 1, 2) уравнение касательной

y + z = 0 ; 2) 2x + 2y + z −6 = 0 ;

плоскости к поверхности x2 + y2 = 4 − z

3) 4x + y −5 = 0;

y −2z +1 = 0;

имеет вид.

x + y −2 = 0 .

Функция z = 3x +6y + x

− xy + y

имеет ло-

Минимум в точке (-4, -5);

Минимум в точке (5, 5);

кальный...

Минимум в точке (2, 0);

Минимум в точке (-1, -1);

Не имеет экстремума.

Найдите производную функции

1) 1

;

3) 5

8 ;

4) -0,5;

10;

u =

y + x2

в точке А по направлению

5 .

вектора AB, A(2,0), B(3,1) .

В точке А(1, 0) градиент скалярного поля

1) k ;

2) 1 e(−2i + j + 2k) ;

j ;

u = xtgy равен…

4) 2i +1 e j

; 5) 1 6i

+ j +5 3k .

10.

Функция z = 4x + 4y + x2 + y2 в области

z1 = 0, z2 = −6 ; 2)

z1 = 3, z2 = −8;

x ≤ 0; y ≤ 0; x + y ≥ −3 имеет наибольшее z

z1 = 0, z2 = −7,5 ;

4) z1 = 0, z2 = −8 ;

и наименьшее z2 значения…

5) z1 = 3, z2 = −9.

309

Тест «Дифференцирование функций нескольких переменных» Вариант 12

№

ЗАДАНИЯ

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

1.Изобразить область определения

функции z(x, y) = ln(x + y) .

Найдите частные производные функ-

z 'x = y

(1+(xy)2 )+ 2; z 'y = y

(1+(xy)2 );

ции z = arctg(xy) + 2x .

z 'x =1 (1+(xy)2 )+ 2; z 'y =1 (1+(xy)2 );

z 'x = y (1+(xy)2 )+ 2; z 'y = x (1+(xy)2 );

z 'x = y (1+ x2 )+ 2; z 'y = y (1+ y2 );

z 'x = y (1+ x2 )+ 2; z 'y = x (1+ y2 ).

Найдите

∂

z , если z = yexy .

(3 + xy)e

; 2)

(1+ xy)e

;

5) y3exy .

∂y2

x(2 + xy)exy ;

4) y(2 + xy)exy ;

Найдите производную сложной

(1+ 2tgt)e

cos t;

2) (1− tgt)e

cos t;

функции z = xy2 , если

3) (1+ 2ctgt)e2t cost;

4) (4 −ttgt)t3 cost ;

x = cost; y = t2.

5) (4 +ttgt)t3 cost .

Для функции u = xeyz найдите пол-

1) eyzdx + xzeyzdy + xyeyzdz;

ный дифференциал du .

2) eyzdx + xyeyzdy + xyeyzdz;

xeyzdx + xzeyzdy + xyeyzdz;

eyzdx + xzeyzdy + xyzeyzdz;

eyzdx + xzeyzdy +eyzdz .

В точке А(0, 1, 1) уравнение касатель-

y + z = 0 ;

2) 2x + 2y + z −6 = 0 ;

ной плоскости к поверхности z2 = y

3) 4x + y −5 = 0; 4)

y −2z +1 = 0;

имеет вид.

x + y −2 = 0 .

Функция z =1 x +1 y − xy имеет ло-

1) Минимум в точке (-2, 0);

кальный...

2) Максимум в точке (-1, -1);

Минимум в точке (2, 0);

Минимум в точке (5, 5);

Не имеет экстремума.

Найдите производную функции

1) 1

; 3) 5

8 ;

4) -0,5;

10;

u = x ln

y2 в точке А по направлению

5 .

вектора

AB, A(1,1), B(3, 2) .

k ;

2) 1 e(−2i + j + 2k) ; 3)

j ;

4) 2i +1 e j ;

В точке А(1, 1, 0) градиент скалярного

поля u = xz

y равен…

5) 1 6i + j +5 3k .

10.

Функция z = 4x + 4y + x2 + y2 в об-

z1 = 0, z2 = −6 ; 2)

z1 = 3, z2 = −8;

ласти −3 ≤ x ≤ 0;−3 ≤ y ≤ 0 имеет

z1 = 0, z2 = −8 ; 4) z1 = 0, z2 = −7,5 ;

наибольшее z1 и наименьшее z2 зна-

z1 = 3, z2 = −9.

чения…

310

Тест «Дифференцирование функций нескольких переменных» Вариант 13

№

ЗАДАНИЯ

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

1.Изобразить область определения

функции z(x, y) = x − y .

Найдите частные производные функ-

z 'x = 2x ln(xy) + x; z 'y = x

y ;

ции z = x2 ln(xy) .

z 'x = 2x ln(xy); z 'y = x2 y ;

z 'x = 2x ln(xy) + x; z 'y = x2

y ;

z 'x = x ln(xy) + x; z 'y = x

y ;

z 'x = 2x ln(xy) + x; z 'y = x2

y .

Найдите

∂

, если z = yexy .

(3 + xy)e

;

(1+ xy)e

;

∂x∂y

x(2 + xy)exy ;

y(2 + xy)exy ;

y3exy .

Найдите производную сложной

(1+ 2tgt)e

cos t;

2) (1− tgt)e

cos t;

функции z = xy2 , если x = ln t; y =

3) 1+ln t;

4) 1+ln

; 5) (4 +ttgt)t3 cost .

Для функции u = y ln x2 найдите пол-

ный дифференциал du .

dx +ln x

dy;

x dx + y ln x

dy;

2y dx +ln x2dy;

dx +ln x2dy;

dx +ln xdy .

В точке А(1, 1, 0) уравнение касатель-

y + z = 0 ; 2) 2x + 2y + z −6 = 0 ;

ной плоскости к поверхности

3) 4x + y −5 = 0;

y −2z +1 = 0;

x2 + y2 = 2 − z2 имеет вид…

5) x + y −2 = 0 .

Функция z = e

x 2

(x + y

) имеет ло-

1) Минимум в точке (-2, 0);

Минимум в точке (5, 5);

кальный...

Минимум в точке (2, 0);

Максимум в точке (-1, -1);

Не имеет экстремума.

Найдите производную функции

1) 1

;

3) 5

8 ;

4) -0,5;

10;

u =

x2 + y2 + z2

в точке А по на-

5 .

правлению вектора

AB, A(1,1,0), B(0,1,1) .

k ;

2) 1 e(−2i + j + 2k) ; 3)

j ;

4) 2i +1 e j ;

В точке А(1, e) градиент скалярного

поля u = x2 ln y равен…

5) 1 6i + j +5 3k .

10.

Функция z = 4x + 4y + x2 + y2 в об-

z1 = 0, z2 = −6 ; 2)

z1 = 3, z2 = −8;

ласти −4 ≤ x ≤ 0;−4 ≤ y ≤ 0 имеет

z1 = 0, z2 = −8 ;

z1 = 0, z2 = −7,5 ;

наибольшее z1

и наименьшее z2 зна-

z1 = 3, z2 = −9.

чения…

311

Тест «Дифференцирование функций нескольких переменных» Вариант 14

№

ЗАДАНИЯ

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

1.Изобразить область определения функ-

ции z(x, y) = 2x − y .

Найдите частные производные функции

z 'x = ye−y

x2 ; z 'y = −e−y

x x ;

z = e−y x .

z 'x = ye−y x x2 ; z 'y = −e−y x ;

z 'x = ye−y x x2 ; z 'y = e−y x x ;

z 'x = −ye−y x x2 ; z 'y = −e−y x x ;

z 'x = −ye−y x x2 ; z 'y = e−y x x .

Найдите

∂

, если z = yexy .

(3 + xy)e

;

2) (1+ xy)e

;

x(2 + xy)exy ;

4) y(2 + xy)exy ; 5) y3exy .

∂y∂x

Найдите частные производные сложной

z 'u = 3u

; z 'v = −u

;

функции z = xy2 , если x = uv; y = u v.

= u2

= −u3

;

z ' = 3u2

v; z ' = u3

;

4) z ' = 3u2

v; z ' = −u3 v;

= u2

= −u2

v2 .

Для функции u = yz sin x найдите полный

yz cos xdx +sin xdy + y sin xdz;

дифференциал du .

yz cos xdx + z sin xdy + y sin xdz;

yz cos xdx + z cos xdy + y sin xdz;

−yz cos xdx + z sin xdy + y sin xdz;

yz sin xdx + z sin xdy + y sin xdz; .

В точке А(2, -3, 0) уравнение касательной

y + z = 0 ;

2) 2x + 2y + z −6 = 0 ;

плоскости к поверхности x2 + z2 =1− y

3) 4x + y −5 = 0;

4) y −2z +1 = 0;

имеет вид…

5) x + y −2 = 0 .

Функция z = x

+ y

−15xy имеет локаль-

Минимум в точке (-2, 0);

Минимум в точке (5, 5);

ный...

Минимум в точке (2, 0);

Минимум в точке (-1, -1);

Не имеет экстремума.

Найдите производную функции

; 2) 1

;

3) 5

8 ;

4) -0,5;

10;

u = xyz в точке А по направлению векто-

5 5 .

ра AB, A(1,1,1), B(1, 2, 2) .

В точке А(1, 2,-1) градиент скалярного

1) k ; 2) 1 6i + j +5 3k ; 3) j ;

поля u = yez

x равен…

4) 2i +1 e j ; 5) 1 e(−2i + j + 2k) .

10.

Функция z = 4x + 4y + x2 + y2 в области

z1 = 0, z2 = −6 ; 2)

z1 = 3, z2 = −8;

x ≤ 0; y ≤ 0; x + y ≥ −4 имеет наиболь-

z1 = 0, z2 = −8 ; 4)

z1 = 0, z2 = −7,5 ;

шее z1 и наименьшее z2 значения…

5) z1 = 3, z2 = −9.

312

Тест «Дифференцирование функций нескольких переменных» Вариант 15

№

ЗАДАНИЯ

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

1.Изобразить область определе-

ния функции

z(x, y) = ln(2x − y) .

Найдите частные производные

z 'x = 0,5

; z 'y = 0,5

;

(x(1− xy))

x (y(1− xy))

функции z = arcsin

1− xy

z 'x = − y (x(1− xy)); z 'y = − x (y(1− xy));

z 'x = −0,5

(x(1− xy))

; z 'y = −0,5

x (y(1− xy))

;

z 'x =

; z 'y =

;

y (x(1− xy))

x (y(1− xy))

z 'x = −0,5

; z 'y = −0,5

(x(1− xy))

x (y(1− xy))

Найдите

∂

, если

(3 + xy)e

2xy

; 2)

2y(1+ 2xy)e

;

∂y∂x

3) 2x(1+ 2xy)e2xy ; 4) 4y(1+ xy)e2xy ; 5) y3e2xy .

z = ye2xy .

Найдите частные производные

z 'u

= v

ln u sin v(ln u + 2); z 'v

сложной функции z = xy2 , ес-

= u ln vu(v cos v + 2);

z '

= v2 ln u sin v(ln u + 2); z '

= u ln2vu(v + 2sin v);

ли x = u sin v; y = v ln u.

z '

= v2 ln u sin v(ln u + 2); z '

= uv ln u(v cos v + 2sin v);

z '

= v ln u sin v(ln u + 2); z ' = uv ln2 u(v cos v + 2sin v);

z '

= v2 ln u sin v(ln u + 2); z '

= u

ln2vu(v cos v + 2sin v) .

Для функции u = x ln(xy) най-

1) (1+ln( xy))dx + x y dy;

2) ln(xy)dx + x y dy;

дите полный дифференциал

(1+ln( xy))dx +1 y dy;

4) xdx + x

y dy;

du .

ln(xy)dx +1 y dy;.

В точке А(1, 1, -1) уравнение

y + z = 0 ; 2) 2x + 2y + z −6 = 0 ;

касательной плоскости к по-

4x + y −5 = 0;

4) y −2z +1 = 0;

верхности z2 = (x −1)2 + y2

x + y −2 = 0 .

имеет вид…

Функция z = x

+ y

имеет ло-

Минимум в точке (-2, 0); 2) Минимум в точке (5, 5);

Минимум в точке (0, 0); 4) Минимум в точке (-1, -1);

кальный...

Не имеет экстремума.

Найдите производную функ-

; 3) 5

8 ;

4) -0,5; 5) 2

5 .

10;

ции u = arctg(xy) в точке А по

направлению вектора

AB, A(1, 2), B(2,5) .

2) 1 e(−2i + j + 2k) ; 3)

j ; 4)

2i +1 e j ;

В точке А(1, 1, 1) градиент

k ;

скалярного поля

1 6i + j +5 3k .

u = 1 2 + x2 2 +3y2 +5z2 ра-

вен…

10.

Функция z = 4x + 4y + x2 + y2

z1 = 0, z2 = −6 ; 2)

z1 = 3, z2 = −8;

в области x ≥ 0; y ≥ 0; x + y ≤ 3

z1 = 0, z2 = −8 ; 4)

z1 = 21, z2 = 0 ;

имеет наибольшее z1 и наи-

z1 = 3, z2 = −9.

меньшее z2 значения…

313

Тест «Дифференцирование функций нескольких переменных» Вариант 16

№

ЗАДАНИЯ

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

1.Изобразить область определе-

ния функции

z(x, y) = ln(x −2y) .

Найдите частные производ-

z 'x = 0,5

; z 'y = 0,5

;

y (x(1− xy))

x (y(1− xy))

ные функции

; z 'y = −

;

z = arccos

z 'x = −

(x(1− xy))

x (y(1− xy))

1− xy

z 'x = −0,5

(x(1− xy))

; z 'y = −0,5

x (y(1− xy))

;

z 'x =

; z 'y =

;

y (x(1− xy))

x (y(1− xy))

z 'x = −0,5

(x(1− xy))

; z 'y = −0,5

x (y(1− xy))

Найдите ∂

z , если

(3 + xy)e

2xy

;

(1+ xy)e

2xy

;

∂y2

3) 4x(1+ xy)e2xy ; 4) y(2 + xy)e2xy ; 5) y3e2xy .

z = ye2xy .

Найдите производную слож-

(1+3tgt)e

cost;

2) (1+ tgt)e

cos t;

ной функции z = xy3 , если

3) (1+sin t)e3t

cos t;

4) (1−3tgt)e3t cost;

x = sin t; y = et

5) (1+3tgt)e3t

sin t;.

5.Для функции u = y ln(xy) най- 1) ln(xy)dx +1 y dy; 2) ln(xy)dx + y x dy;

дите полный дифференциал

(1+ln( xy))dx +1 x dy; 4)

xdx + x y dy;

du .

y x dx +(1+ln( xy))dy .

В точке А(1, 1, -1) уравнение

y + z = 0 ;

2) 2x + y + z −2 = 0 ;

касательной плоскости к по-

3) 4x + y −5 = 0;

y −2z +1 = 0;

верхности z2 = (x +1)2 + y2

5) x + y −2 = 0 .

имеет вид…

Функция z = −x

− y

+1име-

Минимум в точке (-2, 0);

Минимум в точке (5, 5);

ет локальный...

Минимум в точке (2, 0);

Максимум в точке (0, 0);

Не имеет экстремума.

Найдите производную функ-

1) -1

10;

2) -

2 ;

3) 5

2 8 ;

4) -0,5;

5) 2 5 5 .

ции u = arcctg(xy) в точке А по

направлению вектора

AB, A(1, 2), B(2,5) .

В точке А(1, 1, 1) градиент

k ;

2) 1 e(−2i + j + 2k) ;

3) j ;

4) 2i +1 e j ;

скалярного поля

1 3i + j +5 3k .

u = x2 +3y2 +5z2 равен…

10.

Функция z = 4x + 4y − x2 − y2

z1 = 0, z2 = −6 ; 2)

z1 = 3, z2 = −8;

в области x ≥ 0; y ≥ 0; x + y ≤ 4

z1 = 0, z2 = −8 ; 4) z1 = 0, z2 = −7,5 ;

имеет наибольшее z1

и наи-

z1 = 8, z2 = 0.

меньшее z2 значения…

314

Тест «Дифференцирование функций нескольких переменных» Вариант 17

№

ЗАДАНИЯ

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

1.Изобразить область определения

функции z(x, y) = ln(2x + y) .

Найдите частные производные

z 'x = 2x ln(xy) + x + 2; z 'y = x

y ;

функции z = x2 ln(xy) + 2x .

z 'x = 2x ln(xy); z 'y = x2 y ;

z 'x = 2x ln(xy) + x + 2; z 'y = x2

y ;

z 'x = x ln(xy) + x;

z 'y = x y ;

z 'x = 2x ln(xy) + x + 2; z 'y = x3

y .

Найдите

∂

, если z = ye2xy .

(3 + xy)e

; 2)

4y(1+ xy)e

2xy

;

3) 4x(1+ xy)e2xy ; 4) y(2 + xy)e2xy ; 5) y3exy .

∂x∂y

Найдите производную сложной

(1+3tgt)e

cost;

2) (1+ tgt)e

cos t;

функции z = xy3 , если

3) (1+sin t)e3t

cos t;

4) (3− tgt)e3t cost;

x = cost; y = et

5) (1+3tgt)e3t

sin t;.

Для функции u = yz cos x найди-

yz cos xdx +sin xdy + y sin xdz;

те полный дифференциал du .

yz cos xdx + z sin xdy + y sin xdz;

3)yz cos xdx + z cos xdy + y sin xdz;

4)−yz sin xdx + z cos xdy + y cos xdz;

5)yz sin xdx + z sin xdy + y sin xdz; .

6.В точке А(0, 1, 1) уравнение ка- 1) x + y −2z +1 = 0 ; 2) 2x + 2y + z −6 = 0 ;

сательной плоскости к поверхно-

4x + y −5 = 0; 4)

y −2z +1 = 0;

сти z2 = y + x имеет вид.

x + y −2 = 0 .

Функция z = x

+ y

−8xy имеет

Не имеет экстремума;

Минимум в точке (5, 5);

локальный...

Минимум в точке (2, 0);

Минимум в точке (-1, -1);

Минимум в точке (8/3, 8/3).

Найдите производную функции

1) 1

; 3) 5

12 ;

4) -0,5; 5)

4 .

10;

u =

y + x2 + 2

в точке А по

направлению вектора

AB, A(2,0), B(3,1) .

1) - j ; 2)

1 e(−2i + j + 2k) ; 3)

k ; 4) 2i +1 e j ;

В точке А(1, π 2 ) градиент ска-

лярного поля u = xctgy равен…

5) 1 6i + j +5 3k .

10.

Функция z = 2x + 2y + x2 + y2 в

z1 = 0, z2 = −6 ; 2)

z1 = 3, z2 = −8;

области x ≥ 0; y ≥ 0; x + y ≤ 3

z1 =16, z2 = 0 ; 4)

z1 =15, z2 = 0 ;

имеет наибольшее z1

и наимень-

z1 = 3, z2 = −9.

шее z2 значения…

315

Тест «Дифференцирование функций нескольких переменных» Вариант 18

№

ЗАДАНИЯ

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

1.Изобразить область определения

функции z(x, y) =

3x − y

2. Найдите частные производные

1) z 'x =

(1− xy)); z 'y =

(1+ xy));

функции z = arctg

2) z 'x =

(1+ xy)); z 'y =

(1+ x2 y));

3)z 'x = y(2x (1+ xy)); z 'y = x(2y (1+ xy));

4)z 'x = y(2x(1+ xy)); z 'y = x(2y (1+ xy));

5)z 'x =1 (2x (1+ xy)); z 'y =1 (2y (1+ xy)).

Найдите

∂

, если

(3 + xy)e

−2xy

;

2) (1+ xy)e

−2xy

;

∂y∂x

−4x(1+ x)e−2xy ; 4) −4y(1− xy)e−2xy ; 5) 4y3e−2xy .

z = ye−2xy .

Найдите производную сложной

+ 2tgt)e

cos t;

2) (1− tgt)e

cos t;

3)8t2 (1+3ln t); 4) 1+ln t ; 5) (4 +ttgt)t3 cost .

x = ln t; y = 2t.

5.Для функции u = 2x ln(xy) най- 1) (2 + 2ln(xy))dx + 2 x y dy; 2) 2ln(xy)dx + 2 x y dy;функции z = xy , если

	дите полный дифференциал du .					3)	(1+ln( xy))dx +1 y dy;									4) 2xdx + 2x y dy;
						5)	ln(xy)dx +1 y dy;.

6.	В точке А(1, 1, -1) уравнение ка-					1)	y + z = 0 ;							2) 2x + 2y + z −6 = 0 ;
	сательной плоскости к поверхно-					3)	4x + y −5 = 0;							4)	y −2z +1 = 0;
	сти z2 = x2 + ( y −3)2 имеет					5)	x −2y + z + 2 = 0 .
	вид…
7.	Функция					1)	Минимум в точке (8/3, 8/3);
	z = x	3	+ y	3	−8xy +6 имеет ло-	2)	Минимум в точке (5, 5);
	z = x		+ y		−8xy +6 имеет ло-	3)	Минимум в точке (2, 0);
	кальный...					3)	Минимум в точке (2, 0);
	кальный...					4)	Минимум в точке (-1, -1);
						4)	Минимум в точке (-1, -1);
						5)	Не имеет экстремума.
8.	Найдите производную функции					1)	1			2)			;		3) 5			8 ; 4) -0,5;		5) 2		5 .
8.	Найдите производную функции					1)	1		10;	2)		2	;		3) 5		2	8 ; 4) -0,5;		5) 2	5	5 .
	u = 2arctg(xy) в точке А по на-
	правлению вектора

	AB, A(1, 2), B(2,5) .
9.	В точке А(1, 2,-1) градиент ска-					1)		; 2) e		2
	лярного поля u = ye2z x равен…					1)	k	; 2) e			(−2i + j				+ 4k)	; 3) j ; 4)			2i +1 e j ;
	лярного поля u = ye2z x равен…					5) 1 6i + j +5 3k .
						5) 1 6i + j +5 3k .

10.	Функция z = 2x + 2y + x2 + y2 в					1)	z1 = 0, z2 = −6 ; 2) z1 = 3, z2 = −8;
	области x ≤ 0; y ≤ 0; x + y ≥ −3					3)	z1 =16, z2 = 0 ;
	имеет наибольшее z1 и наимень-					4)	z1 =15, z2 = −1,5 ;
	шее z2 значения…					5)	z1 = 3, z2 = −9.

316

Тест «Дифференцирование функций нескольких переменных» Вариант 19

№

ЗАДАНИЯ

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

1.Изобразить область определения

функции z(x, y) = log3(2x − y) .

Найдите частные производные

z 'x =1

1− x4 y2

; z 'y = x

1− x4 y2

;

функции:

z = arcsin (x2 y).

z 'x = y 1− x4 y2 ; z 'y = x 1− x4 y2 ;

z 'x = y

1− x4 y2

; z 'y = x2

1− x4 y2

;

z 'x =1

1− x4 y2

; z 'y =1

1− x4 y2

; z 'y = x2

z 'x = y

1− y2

Найдите

∂

z , если

−4x(1− xy −2x)e

−2xy

;

2) −4x(1−2x)e

−2xy

;

∂y2

3) (1− xy −2x)e−2xy ; ; 4) −4x(1− xy)e−2xy ;

z = ( y + 2)e−2xy .

5) −4xe−2xy ; .

Найдите частные производные

z 'u = cosu +v; z 'v = u;

z 'u = ctgu +v; z 'v = u;

сложной функции: z = ln(xy) , если

z 'u = ctgv +v; z 'v = u;

z 'u = ctgu +v; z 'v = v;

x = sin u; y = euv.

z 'u = sin u +v; z 'v = u; .

Для функции u = xe2xy + 2 найдите

1) e2xy ((1+ xy)dx + 2x2dy);

полный дифференциал du .

2) e2xy ((1+ 2xy)dx + x2dy);

e2xy (xydx + 2x2dy); 4) e2xy ((1+ 2y)dx + 2x2dy);

e2xy ((1+ 2xy)dx + 2x2dy);.

В точке А(1, 1, -1) уравнение каса-

y + z = 0 ; 2) 2x + 2y + z −6 = 0 ;

тельной плоскости к поверхности

3) 4x + y −5 = 0; 4)

y −2z −3 = 0 ;

(z +3)2 = (x −1)2 + y2

имеет вид…

5) x + y −2 = 0 .

Функция

z = e

x 2

(x − y

) имеет ло-

1) Минимум в точке (-2, 0);

Минимум в точке (5, 5);

кальный...

Минимум в точке (2, 0);

Максимум в точке (-1, -1);

Не имеет экстремума.

Найдите производную функции

2) 3

;

3) 5

8 ;

4) -0,5;

10;

u = 3xyz

в точке А по направле-

5 5 .

нию вектора AB, A(1,1,1), B(1, 2, 2) .

2) 1 e(−2i + j + 2k) ;

3) j ; 4) 2i +1 e j ;

В точке А(1, 1, 1) градиент скаляр-

1) k ;

6i +

j −

3k .

ного поля u =

1 2 + x2 2 +3y2 − z2

равен…

10.

Функция z = 2x + 2y + x2 + y2 в об-

z1 = 0, z2 = −6 ; 2)

z1 = 3, z2 = −8;

ласти x ≥ 0; y ≥ 0; x + y ≤ 2 имеет

z1 = 8, z2 = 0 ;

наибольшее z1

и наименьшее

z1 =15, z2 = −1,5 ;

z2 значения…

5) z1 = 6, z2 = 0.

317

Тест «Дифференцирование функций нескольких переменных» Вариант 20

№

ЗАДАНИЯ

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

1.Изобразить область определения

функции z(x, y) = log3(2x − y) .

Найдите частные производные

функции z = cos2 (x3 + y3) .

z 'x = −3x2 sin(2x3 + 2y3); z 'y = −3y2 sin(2x3 + 2y3) ;

z 'x = 3x2 sin(2x3 + 2y3); z 'y = 3y2 sin(2x3 + 2y3) ;

z 'x = −3x2 sin2 (x3 + y3); z 'y = −3y2 sin2 (x3 + y3) ;

z 'x = 3x2 sin(x3 + y3); z 'y = 3y2 sin(x3 + y3) ;

z 'x = −3x2 sin2 (x3 + y3); z 'y = −3y2 sin2 (x3 + y3) .

Найдите

∂2 z

, если

z = e−x2 y .

2(2x2 y −1)e−x2 y ;

2) −2(2x2 y −1)e−x2 y ;

∂x2

3) (x2 y2 −1)e−y ; 4) 2y(2x2 y −1)e−x2 y ; 5) 2x2 ye−x2 y .

Найдите производную сложной

(4ln t +1 t) ; 2) 2e

(2ln t +1 t) ;

4) 2e2t (4ln t +1 t) ; 5) 2e4t ln t .

функции z = x y , если

2e4t (4ln t +1 t) ;

x = e2t ; y = 2ln t.

Для функции u = x

cos(xy) най-

(2x cos(xy) − y sin(xy))dx − x

sin(xy)dy;

дите полный дифференциал du .

(2x cos(xy))dx;

3) −x3 sin(xy)dy;

4)(2x cos(xy) − y sin(xy))dx + x3 sin(xy)dy;

5)(2x cos(xy) − y sin(xy))dx −sin(xy)dy; .

В точке А(1, 1, -1) уравнение ка-

y + z = 0 ; 2) 2x + 2y + z −6 = 0 ;

сательной плоскости к поверхно-

4x + y −5 = 0; 4) y −2z +1 = 0;

сти z2 = (x −1)2 + ( y +1)2 имеет

2y + z −1 = 0.

вид…

Функция z = 2 +

−2xy имеет

1) Минимум в точке (-2, 0);

Минимум в точке (5, 5);

Минимум в точке (2, 0);

локальный...

Максимум в точке (-1, -1);

Не имеет экстремума.

Найдите производную функции

1) 1

2 ;

3) 5

8 ;

4) -0,5;

10;

u =

y2 + x2

в точке А по на-

5 .

правлению вектора

AB, A(2,0), B(3,1) .

2) 1 e(−2i + j + 2k) ;

j ;

4) 2i +1 e j ;

В точке А(-1, 1, 1) градиент ска-

k ;

лярного поля

−1 6i + j +5 3k .

u = 1 2 + x2 2 +3y2 +5z2 ра-

вен…

10.

Функция z = x + y − x2 − y2 в об-

z1 = 0, z2 = −6 ; 2)

z1 = 3, z2 = −8;

ласти x ≥ 0; y ≥ 0; x + y ≤ 3 имеет

z1 = 0, z2 = −8 ; 4)

z1 = 0,5,

z2 = −6 ;

наибольшее z1

и наименьшее

z1 = 3, z2 = −9.

z2 значения…

318

Тест «Дифференцирование функций нескольких переменных» Вариант 21

№

ЗАДАНИЯ

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

1.Изобразить область определения функции z(x, y) =1y +1 .

Найдите частные производные функции

z 'x = y

−2; z

= 2xy +3 ;

z = xy2 −2x +3y .

z 'x = y2 −2; z 'y = 2xy −3. ;

z 'x = 2xy −2; z 'y = 2xy +3 ;

z 'x = y2 −2; z 'y = 2xy −2x ;

z 'x = y2 +3y; z 'y = 2xy +3 .

Найдите ∂

z , если

z = yexy .

(3 + xy)e

;

(1+ xy)e

;

∂x2

x(2 + xy)exy ;

y(2 + xy)exy ; 5) y3exy .

Найдите производную сложной функции

dt = (1+ 2tgt)e

cost;

z = xy2 , если x = sin t; y = et .

2) dz dt = (1− tgt)e2t

cost;

dt = (1+ 2ctgt)e2t cost;

dt = (1+ tgt)et cost;

dt = (4 −ttgt)t3 cost .

Для функции u = x

yz найдите полный

2xyzdx − x

zdy + x

ydz;

дифференциал du .

2xyzdx + x2zdy + x2 ydz;

xyzdx + x2zdy + x2 ydz;

2xyzdx + x2 yzdy + x2 ydz;

2xyzdx + x2zdy + xydz .

В точке А(1, 1, 2) уравнение касательной

y + z = 0 ; 2) 2x + 2y + z −6 = 0 ;

плоскости к поверхности x2 + y2 = 4 − z

3) 4x + y −5 = 0;

y −2z +1 = 0;

имеет вид.

x + y −2 = 0 .

Функция z = 3x +6y + x

− xy + y

имеет ло-

Минимум в точке (-4, -5);

Минимум в точке (5, 5);

кальный...

Минимум в точке (2, 0);

Минимум в точке (-1, -1);

Не имеет экстремума.

Найдите производную функции

1) 1

;

3) 5

8 ;

4) -0,5;

10;

u =

y + x2

в точке А по направлению

5 .

вектора AB, A(2,0), B(3,1) .

В точке А(1, 0) градиент скалярного поля

1) k ;

2) 1 e(−2i + j + 2k) ;

j ;

u = xtgy равен…

4) 2i +1 e j

; 5) 1 6i

+ j +5 3k .

10.

Функция z = 4x + 4y + x2 + y2 в области

z1 = 0, z2 = −6 ; 2)

z1 = 3, z2 = −8;

x ≤ 0; y ≤ 0; x + y ≥ −3 имеет наибольшее z

z1 = 0, z2 = −7,5 ;

4) z1 = 0, z2 = −8 ;

и наименьшее z2 значения…

5) z1 = 3, z2 = −9.

319

Тест «Дифференцирование функций нескольких переменных» Вариант 22

№

ЗАДАНИЯ

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

1.Изобразить область определения

функции z(x, y) = ln(x + y) .

Найдите частные производные функ-

z 'x = y

(1+(xy)2 )+ 2; z 'y = y

(1+(xy)2 );

ции z = arctg(xy) + 2x .

z 'x =1 (1+(xy)2 )+ 2; z 'y =1 (1+(xy)2 );

z 'x = y (1+(xy)2 )+ 2; z 'y = x (1+(xy)2 );

z 'x = y (1+ x2 )+ 2; z 'y = y (1+ y2 );

z 'x = y (1+ x2 )+ 2; z 'y = x (1+ y2 ).

Найдите

∂

z , если z = yexy .

(3 + xy)e

; 2)

(1+ xy)e

;

5) y3exy .

∂y2

x(2 + xy)exy ;

4) y(2 + xy)exy ;

Найдите производную сложной

(1+ 2tgt)e

cos t;

2) (1− tgt)e

cos t;

функции z = xy2 , если

3) (1+ 2ctgt)e2t cost;

4) (4 −ttgt)t3 cost ;

x = cost; y = t2.

5) (4 +ttgt)t3 cost .

Для функции u = xeyz найдите пол-

1) eyzdx + xzeyzdy + xyeyzdz;

ный дифференциал du .

2) eyzdx + xyeyzdy + xyeyzdz;

xeyzdx + xzeyzdy + xyeyzdz;

eyzdx + xzeyzdy + xyzeyzdz;

eyzdx + xzeyzdy +eyzdz .

В точке А(0, 1, 1) уравнение касатель-

y + z = 0 ;

2) 2x + 2y + z −6 = 0 ;

ной плоскости к поверхности z2 = y

3) 4x + y −5 = 0; 4)

y −2z +1 = 0;

имеет вид.

x + y −2 = 0 .

Функция z =1 x +1 y − xy имеет ло-

1) Минимум в точке (-2, 0);

кальный...

2) Максимум в точке (-1, -1);

Минимум в точке (2, 0);

Минимум в точке (5, 5);

Не имеет экстремума.

Найдите производную функции

1) 1

; 3) 5

8 ;

4) -0,5;

10;

u = x ln

y2 в точке А по направлению

5 .

вектора

AB, A(1,1), B(3, 2) .

k ;

2) 1 e(−2i + j + 2k) ; 3)

j ;

4) 2i +1 e j ;

В точке А(1, 1, 0) градиент скалярного

поля u = xz

y равен…

5) 1 6i + j +5 3k .

10.

Функция z = 4x + 4y + x2 + y2 в об-

z1 = 0, z2 = −6 ; 2)

z1 = 3, z2 = −8;

ласти −3 ≤ x ≤ 0;−3 ≤ y ≤ 0 имеет

z1 = 0, z2 = −8 ; 4) z1 = 0, z2 = −7,5 ;

наибольшее z1 и наименьшее z2 зна-

z1 = 3, z2 = −9.

чения…

320

Тест «Дифференцирование функций нескольких переменных» Вариант 23

№

ЗАДАНИЯ

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

1.Изобразить область определения

функции z(x, y) = x − y .

Найдите частные производные функ-

z 'x = 2x ln(xy) + x; z 'y = x

y ;

ции z = x2 ln(xy) .

z 'x = 2x ln(xy); z 'y = x2 y ;

z 'x = 2x ln(xy) + x; z 'y = x2

y ;

z 'x = x ln(xy) + x; z 'y = x

y ;

z 'x = 2x ln(xy) + x; z 'y = x2

y .

Найдите

∂

, если z = yexy .

(3 + xy)e

;

(1+ xy)e

;

∂x∂y

x(2 + xy)exy ;

y(2 + xy)exy ;

y3exy .

Найдите производную сложной

(1+ 2tgt)e

cos t;

2) (1− tgt)e

cos t;

функции z = xy2 , если x = ln t; y =

3) 1+ln t;

4) 1+ln

; 5) (4 +ttgt)t3 cost .

Для функции u = y ln x2 найдите пол-

ный дифференциал du .

dx +ln x

dy;

x dx + y ln x

dy;

2y dx +ln x2dy;

dx +ln x2dy;

dx +ln xdy .

В точке А(1, 1, 0) уравнение касатель-

y + z = 0 ; 2) 2x + 2y + z −6 = 0 ;

ной плоскости к поверхности

3) 4x + y −5 = 0;

y −2z +1 = 0;

x2 + y2 = 2 − z2 имеет вид…

5) x + y −2 = 0 .

Функция z = e

x 2

(x + y

) имеет ло-

1) Минимум в точке (-2, 0);

Минимум в точке (5, 5);

кальный...

Минимум в точке (2, 0);

Максимум в точке (-1, -1);

Не имеет экстремума.

Найдите производную функции

1) 1

;

3) 5

8 ;

4) -0,5;

10;

u =

x2 + y2 + z2

в точке А по на-

5 .

правлению вектора

AB, A(1,1,0), B(0,1,1) .

k ;

2) 1 e(−2i + j + 2k) ; 3)

j ;

4) 2i +1 e j ;

В точке А(1, e) градиент скалярного

поля u = x2 ln y равен…

5) 1 6i + j +5 3k .

10.

Функция z = 4x + 4y + x2 + y2 в об-

z1 = 0, z2 = −6 ; 2)

z1 = 3, z2 = −8;

ласти −4 ≤ x ≤ 0;−4 ≤ y ≤ 0 имеет

z1 = 0, z2 = −8 ;

z1 = 0, z2 = −7,5 ;

наибольшее z1

и наименьшее z2 зна-

z1 = 3, z2 = −9.

чения…

321

Тест «Дифференцирование функций нескольких переменных» Вариант 24

№

ЗАДАНИЯ

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

1.Изобразить область определения функ-

ции z(x, y) = 2x − y .

Найдите частные производные функции

z 'x = ye−y

x2 ; z 'y = −e−y

x x ;

z = e−y x .

z 'x = ye−y x x2 ; z 'y = −e−y x ;

z 'x = ye−y x x2 ; z 'y = e−y x x ;

z 'x = −ye−y x x2 ; z 'y = −e−y x x ;

z 'x = −ye−y x x2 ; z 'y = e−y x x .

Найдите

∂

, если z = yexy .

(3 + xy)e

;

2) (1+ xy)e

;

x(2 + xy)exy ;

4) y(2 + xy)exy ; 5) y3exy .

∂y∂x

Найдите частные производные сложной

z 'u = 3u

; z 'v = −u

;

функции z = xy2 , если x = uv; y = u v.

= u2

= −u3

;

z ' = 3u2

v; z ' = u3

;

4) z ' = 3u2

v; z ' = −u3 v;

= u2

= −u2

v2 .

Для функции u = yz sin x найдите полный

yz cos xdx +sin xdy + y sin xdz;

дифференциал du .

yz cos xdx + z sin xdy + y sin xdz;

yz cos xdx + z cos xdy + y sin xdz;

−yz cos xdx + z sin xdy + y sin xdz;

yz sin xdx + z sin xdy + y sin xdz; .

В точке А(2, -3, 0) уравнение касательной

y + z = 0 ;

2) 2x + 2y + z −6 = 0 ;

плоскости к поверхности x2 + z2 =1− y

3) 4x + y −5 = 0;

4) y −2z +1 = 0;

имеет вид…

5) x + y −2 = 0 .

Функция z = x

+ y

−15xy имеет локаль-

Минимум в точке (-2, 0);

Минимум в точке (5, 5);

ный...

Минимум в точке (2, 0);

Минимум в точке (-1, -1);

Не имеет экстремума.

Найдите производную функции

; 2) 1

;

3) 5

8 ;

4) -0,5;

10;

u = xyz в точке А по направлению векто-

5 5 .

ра AB, A(1,1,1), B(1, 2, 2) .

В точке А(1, 2,-1) градиент скалярного

1) k ; 2) 1 6i + j +5 3k ; 3) j ;

поля u = yez

x равен…

4) 2i +1 e j ; 5) 1 e(−2i + j + 2k) .

10.

Функция z = 4x + 4y + x2 + y2 в области

z1 = 0, z2 = −6 ; 2)

z1 = 3, z2 = −8;

x ≤ 0; y ≤ 0; x + y ≥ −4 имеет наиболь-

z1 = 0, z2 = −8 ; 4)

z1 = 0, z2 = −7,5 ;

шее z1 и наименьшее z2 значения…

5) z1 = 3, z2 = −9.

322

Тест «Дифференцирование функций нескольких переменных» Вариант 25

№

ЗАДАНИЯ

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

1.Изобразить область определе-

ния функции

z(x, y) = ln(2x − y) .

Найдите частные производные

z 'x = 0,5

; z 'y = 0,5

;

(x(1− xy))

x (y(1− xy))

функции z = arcsin

1− xy

z 'x = − y (x(1− xy)); z 'y = − x (y(1− xy));

z 'x = −0,5

(x(1− xy))

; z 'y = −0,5

x (y(1− xy))

;

z 'x =

; z 'y =

;

y (x(1− xy))

x (y(1− xy))

z 'x = −0,5

; z 'y = −0,5

(x(1− xy))

x (y(1− xy))

Найдите

∂

, если

(3 + xy)e

2xy

; 2)

2y(1+ 2xy)e

;

∂y∂x

3) 2x(1+ 2xy)e2xy ; 4) 4y(1+ xy)e2xy ; 5) y3e2xy .

z = ye2xy .

Найдите частные производные

z 'u

= v

ln u sin v(ln u + 2); z 'v

сложной функции z = xy2 , ес-

= u ln vu(v cos v + 2);

z '

= v2 ln u sin v(ln u + 2); z '

= u ln2vu(v + 2sin v);

ли x = u sin v; y = v ln u.

z '

= v2 ln u sin v(ln u + 2); z '

= uv ln u(v cos v + 2sin v);

z '

= v ln u sin v(ln u + 2); z ' = uv ln2 u(v cos v + 2sin v);

z '

= v2 ln u sin v(ln u + 2); z '

= u

ln2vu(v cos v + 2sin v) .

Для функции u = x ln(xy) най-

1) (1+ln( xy))dx + x y dy;

2) ln(xy)dx + x y dy;

дите полный дифференциал

(1+ln( xy))dx +1 y dy;

4) xdx + x

y dy;

du .

ln(xy)dx +1 y dy;.

В точке А(1, 1, -1) уравнение

y + z = 0 ; 2) 2x + 2y + z −6 = 0 ;

касательной плоскости к по-

4x + y −5 = 0;

4) y −2z +1 = 0;

верхности z2 = (x −1)2 + y2

x + y −2 = 0 .

имеет вид…

Функция z = x

+ y

имеет ло-

Минимум в точке (-2, 0); 2) Минимум в точке (5, 5);

Минимум в точке (0, 0); 4) Минимум в точке (-1, -1);

кальный...

Не имеет экстремума.

Найдите производную функ-

; 3) 5

8 ;

4) -0,5; 5) 2

5 .

10;

ции u = arctg(xy) в точке А по

направлению вектора

AB, A(1, 2), B(2,5) .

2) 1 e(−2i + j + 2k) ; 3)

j ; 4)

2i +1 e j ;

В точке А(1, 1, 1) градиент

k ;

скалярного поля

1 6i + j +5 3k .

u = 1 2 + x2 2 +3y2 +5z2 ра-

вен…

10.

Функция z = 4x + 4y + x2 + y2

z1 = 0, z2 = −6 ; 2)

z1 = 3, z2 = −8;

в области x ≥ 0; y ≥ 0; x + y ≤ 3

z1 = 0, z2 = −8 ; 4)

z1 = 21, z2 = 0 ;

имеет наибольшее z1 и наи-

z1 = 3, z2 = −9.

меньшее z2 значения…

323

Тест «Дифференцирование функций нескольких переменных» Вариант 26

№

ЗАДАНИЯ

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

1.Изобразить область определе-

ния функции

z(x, y) = ln(x −2y) .

Найдите частные производ-

z 'x = 0,5

; z 'y = 0,5

;

y (x(1− xy))

x (y(1− xy))

ные функции

; z 'y = −

;

z = arccos

z 'x = −

(x(1− xy))

x (y(1− xy))

1− xy

z 'x = −0,5

(x(1− xy))

; z 'y = −0,5

x (y(1− xy))

;

z 'x =

; z 'y =

;

y (x(1− xy))

x (y(1− xy))

z 'x = −0,5

(x(1− xy))

; z 'y = −0,5

x (y(1− xy))

Найдите ∂

z , если

(3 + xy)e

2xy

;

(1+ xy)e

2xy

;

∂y2

3) 4x(1+ xy)e2xy ; 4) y(2 + xy)e2xy ; 5) y3e2xy .

z = ye2xy .

Найдите производную слож-

(1+3tgt)e

cost;

2) (1+ tgt)e

cos t;

ной функции z = xy3 , если

3) (1+sin t)e3t

cos t;

4) (1−3tgt)e3t cost;

x = sin t; y = et

5) (1+3tgt)e3t

sin t;.

5.Для функции u = y ln(xy) най- 1) ln(xy)dx +1 y dy; 2) ln(xy)dx + y x dy;

дите полный дифференциал

(1+ln( xy))dx +1 x dy; 4)

xdx + x y dy;

du .

y x dx +(1+ln( xy))dy .

В точке А(1, 1, -1) уравнение

y + z = 0 ;

2) 2x + y + z −2 = 0 ;

касательной плоскости к по-

3) 4x + y −5 = 0;

y −2z +1 = 0;

верхности z2 = (x +1)2 + y2

5) x + y −2 = 0 .

имеет вид…

Функция z = −x

− y

+1име-

Минимум в точке (-2, 0);

Минимум в точке (5, 5);

ет локальный...

Минимум в точке (2, 0);

Максимум в точке (0, 0);

Не имеет экстремума.

Найдите производную функ-

1) -1

10;

2) -

2 ;

3) 5

2 8 ;

4) -0,5;

5) 2 5 5 .

ции u = arcctg(xy) в точке А по

направлению вектора

AB, A(1, 2), B(2,5) .

В точке А(1, 1, 1) градиент

k ;

2) 1 e(−2i + j + 2k) ;

3) j ;

4) 2i +1 e j ;

скалярного поля

1 3i + j +5 3k .

u = x2 +3y2 +5z2 равен…

10.

Функция z = 4x + 4y − x2 − y2

z1 = 0, z2 = −6 ; 2)

z1 = 3, z2 = −8;

в области x ≥ 0; y ≥ 0; x + y ≤ 4

z1 = 0, z2 = −8 ; 4) z1 = 0, z2 = −7,5 ;

имеет наибольшее z1

и наи-

z1 = 8, z2 = 0.

меньшее z2 значения…

324

Тест «Дифференцирование функций нескольких переменных» Вариант 27

№

ЗАДАНИЯ

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

1.Изобразить область определения

функции z(x, y) = ln(2x + y) .

Найдите частные производные

z 'x = 2x ln(xy) + x + 2; z 'y = x

y ;

функции z = x2 ln(xy) + 2x .

z 'x = 2x ln(xy); z 'y = x2 y ;

z 'x = 2x ln(xy) + x + 2; z 'y = x2

y ;

z 'x = x ln(xy) + x;

z 'y = x y ;

z 'x = 2x ln(xy) + x + 2; z 'y = x3

y .

Найдите

∂

, если z = ye2xy .

(3 + xy)e

; 2)

4y(1+ xy)e

2xy

;

3) 4x(1+ xy)e2xy ; 4) y(2 + xy)e2xy ; 5) y3exy .

∂x∂y

Найдите производную сложной

(1+3tgt)e

cost;

2) (1+ tgt)e

cos t;

функции z = xy3 , если

3) (1+sin t)e3t

cos t;

4) (3− tgt)e3t cost;

x = cost; y = et

5) (1+3tgt)e3t

sin t;.

Для функции u = yz cos x найди-

yz cos xdx +sin xdy + y sin xdz;

те полный дифференциал du .

yz cos xdx + z sin xdy + y sin xdz;

3)yz cos xdx + z cos xdy + y sin xdz;

4)−yz sin xdx + z cos xdy + y cos xdz;

5)yz sin xdx + z sin xdy + y sin xdz; .

6.В точке А(0, 1, 1) уравнение ка- 1) x + y −2z +1 = 0 ; 2) 2x + 2y + z −6 = 0 ;

сательной плоскости к поверхно-

4x + y −5 = 0; 4)

y −2z +1 = 0;

сти z2 = y + x имеет вид.

x + y −2 = 0 .

Функция z = x

+ y

−8xy имеет

Не имеет экстремума;

Минимум в точке (5, 5);

локальный...

Минимум в точке (2, 0);

Минимум в точке (-1, -1);

Минимум в точке (8/3, 8/3).

Найдите производную функции

1) 1

; 3) 5

12 ;

4) -0,5; 5)

4 .

10;

u =

y + x2 + 2

в точке А по

направлению вектора

AB, A(2,0), B(3,1) .

1) - j ; 2)

1 e(−2i + j + 2k) ; 3)

k ; 4) 2i +1 e j ;

В точке А(1, π 2 ) градиент ска-

лярного поля u = xctgy равен…

5) 1 6i + j +5 3k .

10.

Функция z = 2x + 2y + x2 + y2 в

z1 = 0, z2 = −6 ; 2)

z1 = 3, z2 = −8;

области x ≥ 0; y ≥ 0; x + y ≤ 3

z1 =16, z2 = 0 ; 4)

z1 =15, z2 = 0 ;

имеет наибольшее z1

и наимень-

z1 = 3, z2 = −9.

шее z2 значения…

325

Тест «Дифференцирование функций нескольких переменных» Вариант 28

№

ЗАДАНИЯ

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

1.Изобразить область определения

функции z(x, y) =

3x − y

2. Найдите частные производные

1) z 'x =

(1− xy)); z 'y =

(1+ xy));

функции z = arctg

2) z 'x =

(1+ xy)); z 'y =

(1+ x2 y));

3)z 'x = y(2x (1+ xy)); z 'y = x(2y (1+ xy));

4)z 'x = y(2x(1+ xy)); z 'y = x(2y (1+ xy));

5)z 'x =1 (2x (1+ xy)); z 'y =1 (2y (1+ xy)).

Найдите

∂

, если

(3 + xy)e

−2xy

;

2) (1+ xy)e

−2xy

;

∂y∂x

−4x(1+ x)e−2xy ; 4) −4y(1− xy)e−2xy ; 5) 4y3e−2xy .

z = ye−2xy .

Найдите производную сложной

+ 2tgt)e

cos t;

2) (1− tgt)e

cos t;

3)8t2 (1+3ln t); 4) 1+ln t ; 5) (4 +ttgt)t3 cost .

x = ln t; y = 2t.

5.Для функции u = 2x ln(xy) най- 1) (2 + 2ln(xy))dx + 2 x y dy; 2) 2ln(xy)dx + 2 x y dy;функции z = xy , если

	дите полный дифференциал du .					3)	(1+ln( xy))dx +1 y dy;									4) 2xdx + 2x y dy;
						5)	ln(xy)dx +1 y dy;.

6.	В точке А(1, 1, -1) уравнение ка-					1)	y + z = 0 ;							2) 2x + 2y + z −6 = 0 ;
	сательной плоскости к поверхно-					3)	4x + y −5 = 0;							4)	y −2z +1 = 0;
	сти z2 = x2 + ( y −3)2 имеет					5)	x −2y + z + 2 = 0 .
	вид…
7.	Функция					1)	Минимум в точке (8/3, 8/3);
	z = x	3	+ y	3	−8xy +6 имеет ло-	2)	Минимум в точке (5, 5);
	z = x		+ y		−8xy +6 имеет ло-	3)	Минимум в точке (2, 0);
	кальный...					3)	Минимум в точке (2, 0);
	кальный...					4)	Минимум в точке (-1, -1);
						4)	Минимум в точке (-1, -1);
						5)	Не имеет экстремума.
8.	Найдите производную функции					1)	1			2)			;		3) 5			8 ; 4) -0,5;		5) 2		5 .
8.	Найдите производную функции					1)	1		10;	2)		2	;		3) 5		2	8 ; 4) -0,5;		5) 2	5	5 .
	u = 2arctg(xy) в точке А по на-
	правлению вектора

	AB, A(1, 2), B(2,5) .
9.	В точке А(1, 2,-1) градиент ска-					1)		; 2) e		2
	лярного поля u = ye2z x равен…					1)	k	; 2) e			(−2i + j				+ 4k)	; 3) j ; 4)			2i +1 e j ;
	лярного поля u = ye2z x равен…					5) 1 6i + j +5 3k .
						5) 1 6i + j +5 3k .

10.	Функция z = 2x + 2y + x2 + y2 в					1)	z1 = 0, z2 = −6 ; 2) z1 = 3, z2 = −8;
	области x ≤ 0; y ≤ 0; x + y ≥ −3					3)	z1 =16, z2 = 0 ;
	имеет наибольшее z1 и наимень-					4)	z1 =15, z2 = −1,5 ;
	шее z2 значения…					5)	z1 = 3, z2 = −9.

326

Тест «Дифференцирование функций нескольких переменных» Вариант 29

№

ЗАДАНИЯ

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

1.Изобразить область определения

функции z(x, y) = log3(2x − y) .

Найдите частные производные

z 'x =1

1− x4 y2

; z 'y = x

1− x4 y2

;

функции:

z = arcsin (x2 y).

z 'x = y 1− x4 y2 ; z 'y = x 1− x4 y2 ;

z 'x = y

1− x4 y2

; z 'y = x2

1− x4 y2

;

z 'x =1

1− x4 y2

; z 'y =1

1− x4 y2

; z 'y = x2

z 'x = y

1− y2

Найдите

∂

z , если

−4x(1− xy −2x)e

−2xy

;

2) −4x(1−2x)e

−2xy

;

∂y2

3) (1− xy −2x)e−2xy ; ; 4) −4x(1− xy)e−2xy ;

z = ( y + 2)e−2xy .

5) −4xe−2xy ; .

Найдите частные производные

z 'u = cosu +v; z 'v = u;

z 'u = ctgu +v; z 'v = u;

сложной функции: z = ln(xy) , если

z 'u = ctgv +v; z 'v = u;

z 'u = ctgu +v; z 'v = v;

x = sin u; y = euv.

z 'u = sin u +v; z 'v = u; .

Для функции u = xe2xy + 2 найдите

1) e2xy ((1+ xy)dx + 2x2dy);

полный дифференциал du .

2) e2xy ((1+ 2xy)dx + x2dy);

e2xy (xydx + 2x2dy); 4) e2xy ((1+ 2y)dx + 2x2dy);

e2xy ((1+ 2xy)dx + 2x2dy);.

В точке А(1, 1, -1) уравнение каса-

y + z = 0 ; 2) 2x + 2y + z −6 = 0 ;

тельной плоскости к поверхности

3) 4x + y −5 = 0; 4)

y −2z −3 = 0 ;

(z +3)2 = (x −1)2 + y2

имеет вид…

5) x + y −2 = 0 .

Функция

z = e

x 2

(x − y

) имеет ло-

1) Минимум в точке (-2, 0);

Минимум в точке (5, 5);

кальный...

Минимум в точке (2, 0);

Максимум в точке (-1, -1);

Не имеет экстремума.

Найдите производную функции

2) 3

;

3) 5

8 ;

4) -0,5;

10;

u = 3xyz

в точке А по направле-

5 5 .

нию вектора AB, A(1,1,1), B(1, 2, 2) .

2) 1 e(−2i + j + 2k) ;

3) j ; 4) 2i +1 e j ;

В точке А(1, 1, 1) градиент скаляр-

1) k ;

6i +

j −

3k .

ного поля u =

1 2 + x2 2 +3y2 − z2

равен…

10.

Функция z = 2x + 2y + x2 + y2 в об-

z1 = 0, z2 = −6 ; 2)

z1 = 3, z2 = −8;

ласти x ≥ 0; y ≥ 0; x + y ≤ 2 имеет

z1 = 8, z2 = 0 ;

наибольшее z1

и наименьшее

z1 =15, z2 = −1,5 ;

z2 значения…

5) z1 = 6, z2 = 0.

327

Тест «Дифференцирование функций нескольких переменных» Вариант 30

№

ЗАДАНИЯ

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

1.Изобразить область определения

функции z(x, y) = log3(2x − y) .

Найдите частные производные

функции z = cos2 (x3 + y3) .

z 'x = −3x2 sin(2x3 + 2y3); z 'y = −3y2 sin(2x3 + 2y3) ;

z 'x = 3x2 sin(2x3 + 2y3); z 'y = 3y2 sin(2x3 + 2y3) ;

z 'x = −3x2 sin2 (x3 + y3); z 'y = −3y2 sin2 (x3 + y3) ;

z 'x = 3x2 sin(x3 + y3); z 'y = 3y2 sin(x3 + y3) ;

z 'x = −3x2 sin2 (x3 + y3); z 'y = −3y2 sin2 (x3 + y3) .

Найдите

∂2 z

, если

z = e−x2 y .

2(2x2 y −1)e−x2 y ;

2) −2(2x2 y −1)e−x2 y ;

∂x2

3) (x2 y2 −1)e−y ; 4) 2y(2x2 y −1)e−x2 y ; 5) 2x2 ye−x2 y .

Найдите производную сложной

(4ln t +1 t) ; 2) 2e

(2ln t +1 t) ;

4) 2e2t (4ln t +1 t) ; 5) 2e4t ln t .

функции z = x y , если

2e4t (4ln t +1 t) ;

x = e2t ; y = 2ln t.

Для функции u = x

cos(xy) най-

(2x cos(xy) − y sin(xy))dx − x

sin(xy)dy;

дите полный дифференциал du .

(2x cos(xy))dx;

3) −x3 sin(xy)dy;

4)(2x cos(xy) − y sin(xy))dx + x3 sin(xy)dy;

5)(2x cos(xy) − y sin(xy))dx −sin(xy)dy; .

В точке А(1, 1, -1) уравнение ка-

y + z = 0 ; 2) 2x + 2y + z −6 = 0 ;

сательной плоскости к поверхно-

4x + y −5 = 0; 4) y −2z +1 = 0;

сти z2 = (x −1)2 + ( y +1)2 имеет

2y + z −1 = 0.

вид…

Функция z = 2 +

−2xy имеет

1) Минимум в точке (-2, 0);

Минимум в точке (5, 5);

Минимум в точке (2, 0);

локальный...

Максимум в точке (-1, -1);

Не имеет экстремума.

Найдите производную функции

1) 1

2 ;

3) 5

8 ;

4) -0,5;

10;

u =

y2 + x2

в точке А по на-

5 .

правлению вектора

AB, A(2,0), B(3,1) .

2) 1 e(−2i + j + 2k) ;

j ;

4) 2i +1 e j ;

В точке А(-1, 1, 1) градиент ска-

k ;

лярного поля

−1 6i + j +5 3k .

u = 1 2 + x2 2 +3y2 +5z2 ра-

вен…

10.

Функция z = x + y − x2 − y2 в об-

z1 = 0, z2 = −6 ; 2)

z1 = 3, z2 = −8;

ласти x ≥ 0; y ≥ 0; x + y ≤ 3 имеет

z1 = 0, z2 = −8 ; 4)

z1 = 0,5,

z2 = −6 ;

наибольшее z1

и наименьшее

z1 = 3, z2 = −9.

z2 значения…

328

Тест «Дифференцирование функций нескольких переменных» Ответы


Вариант					Задания
	2	3	4	5		6	7	8	9	10

1	1	5	1	2		2	1	3	3	4
2	3	3	4	1		4	2	5	1	3
3	3	4	3	1		5	1	4	4	3
4	1	4	1	2		3	2	1	5	3
5	3	4	5	1		1	3	1	5	4
6	1	3	1	5		2	4	1	5	5
7	3	2	4	4		1	5	3	1	4
8	3	4	3	1		5	1	2	2	4
9	3	1	2	5		4	5	2	5	3
10	1	4	3	1		5	4	2	5	4
11	1	5	1	2		2	1	3	3	4
12	3	3	4	1		4	2	5	1	3
13	3	4	3	1		5	1	4	4	3
14	1	4	1	2		3	2	1	5	3
15	3	4	5	1		1	3	1	5	4
16	1	3	1	5		2	4	1	5	5
17	3	2	4	4		1	5	3	1	4
18	3	4	3	1		5	1	2	2	4
19	3	1	2	5		4	5	2	5	3
20	1	4	3	1		5	4	2	5	4
21	1	5	1	2		2	1	3	3	4
22	3	3	4	1		4	2	5	1	3
23	3	4	3	1		5	1	4	4	3
24	1	4	1	2		3	2	1	5	3
25	3	4	5	1		1	3	1	5	4
26	1	3	1	5		2	4	1	5	5
27	3	2	4	4		1	5	3	1	4
28	3	4	3	1		5	1	2	2	4
29	3	1	2	5		4	5	2	5	3
30	1	4	3	1		5	4	2	5	4

329

<<< < Предыдущая 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 5859 / 6359 60 61 62 63 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20252.13 Mб0Математика. Ч. 2.pdf
#
28.12.20252.23 Mб1Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf
#
24.11.20252.43 Mб0Математика. Часть 1.pdf
#
28.12.20251.69 Mб0Математика. Часть 2-1.pdf
#
24.11.20254.84 Mб0Математика. Часть 2.pdf
#
24.11.20251.69 Mб1Математика. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.6 Mб0Математика.pdf
#
28.12.20252.17 Mб0Математика_1.pdf
#
28.12.20251.51 Mб0Математика_2.pdf
#
28.12.2025883.18 Кб0Математика_3.pdf