Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Часть 2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

4.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 5758 / 6358 59 60 61 62 63 > Следующая >>>

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 3 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Вариант 1

1.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x2 + y2 = 4 и y2 = 4(1− x) (вне параболы).

2.Вычислить массу тела, ограниченного поверхностями x2 + y2 + z2 = 4; x2 + y2 = 3z , если плотность в каждой точке равна аппликате точки.

3.	Вычислить ∫	dS	по отрезку прямой y =	1 x − 2 от точки	A(0,−2) до точки	B(4,0).
3.	Вычислить ∫		по отрезку прямой y =	1 x − 2 от точки	A(0,−2) до точки	B(4,0).
	L	x2 + y2		2
4.	Вычислить ∫ xydx по дуге синусоиды y = sin x от x = π до x = 0.
	L

5.Вычислить площадь части поверхности x + 6y + 2z =12 , лежащей в первом октанте.

6.Вычислить поток вектора a = (x + y)i + (y − x) j + zk через поверхность шара единичного радиуса с центром в начале координат.

Вариант 2

1. Найти массу фигуры, ограниченной линиями y = x2 ; x + y = 2 , если плотность ее в каждой точке равна ординате этой точки.

2.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями		z =1− x2 − y2 ; y = x; y = x			, располо-
					3
женного в первом октанте.
		x = a(cost +t sin t),		(0 ≤ t ≤ 2π).
3.	Вычислить ∫ x2 + y2 dl , где L – кривая,

	L	y = a(sin t −t cost),

Найти функцию z по ее полному дифференциалу

d z =

−

dx + 1

−

dy .

Вычислить ∫∫xdyd z + ydxd z + zdxdy , где S положительная сторона поверхности куба, ог-

раниченного плоскостями x = 0; y = 0; z = 0; x = 4; y = 4; z = 4. Вычислить непосредственно и с помощью формулы Остроградского.

6. Найти div(grad u), где u = sin(x + y + z).

276

					Вариант 3
1.	Найти массу фигуры, ограниченной параболой y =1 − x2							и осью Ox, если плотность
γ (x, y)= x2 y2 .
2.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями x2 + y2 = 2x ; z = x2 + y2; z = 0 .
3.	Вычислить ∫ xdl по параболе y = x2 от точки (1,1) до точки (2,4).
	L
4.	Вычислить ∫2(x2 + y2 )dx + (x + y)2 dy , применяя формулу Грина, где C – контур тре-
	C
угольника с вершинами в точках A(1,1), B(2,2),C(1,3), пробегаемый против часовой стрелки.
					dS , где S – поверхность конуса			z2 = x2 + y2 , ограниченного
5.	Вычислить ∫∫	x2 + y2 + z2			dS , где S – поверхность конуса			z2 = x2 + y2 , ограниченного
	S
плоскостями z = h; z = 0 .
6.	Найти rotF , если F = y2i − x2 j + z2k .
					Вариант 4
1.	Найти массу половины круга радиуса R с центром в начале координат, лежащей в области
y ≥ 0 , если плотность равна квадрату полярного радиуса.
2.	Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z = 4 − y2 ; y =									x2	; x = 0; z = 0 .
2.											; x = 0; z = 0 .
									2
3.	Вычислить ∫(3x −5y + z + 2)dl , где l – отрезок прямой между точками A(4,1,6) и B(5,3,8).
	l
4.	Поле образовано силой F = yi + aj . Определить работу при перемещении массы m по
						x = a cost			, лежащим в I четверти.
контуру, образованному осями координат и эллипсом									, лежащим в I четверти.
						y = bsin t
	Найти площадь поверхности части конуса z =						, заключенного внутри цилиндра
5.	Найти площадь поверхности части конуса z =					x2 + y2	, заключенного внутри цилиндра
x2 + y2 = 2x.
6.	Найти div[u,v], где u = xi + 2yj − zk ; v = yi − 2zj + xk .
					Вариант 5
				dxdy , где D – круг: x2 + y2 = ax.
1.	Вычислить ∫∫		a2 − x2 − y2	dxdy , где D – круг: x2 + y2 = ax.
	D
2.	Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z = x2;3x + 2y =12; z = 0, y = 0.
		277

3. Вычислить массу одной арки циклоиды x = a(t −sin t); y = a(1−cost), если плотность в каждой точке кривой равна ординате точки.

4. Вычислить ∫(xy − y2 )dx + xdy от точки A(0,0) до точки B(1,2) по кривой y = 2x . l

5. Вычислить ∫∫xdydz + ydxdz + zdxdy , где S – внешняя сторона поверхности куба, ограни-

ченного плоскостями x = 0, x =1, y =1, z = 0, z =1, с помощью формулы Остроградского.

6.	Найти rot(r , a )r , где r = xi + yj + zk; a = i + j + k .
			Вариант 6
	Вычислить ∫∫D	ln(x2 + y2 )
1.	Вычислить ∫∫D	x2 + y2 dxdy , где область D – кольцо между окружностями радиусов e и
1 с центром в начале координат.
2.	Вычислить	массу	тела,	ограниченного	поверхностями

2x + 2y + z − 6 = 0; x = 0; y = 0; z = 0 , если плотность в каждой его точке равна абсциссе этой точки.

3. Вычислить ∫sin2 xcos3 x dl , где L – дуга кривой y = ln cos x	0 ≤ x ≤	π
		4	.
L

4.Найти функцию z по ее полному дифференциалу dz = sin(x + y)(dx + dy).

5.Вычислить ∫∫(y2 + z2 )dxdy, где S – верхняя сторона поверхности z = a2 − x2 , отсечен-

ная плоскостями y = 0, y = b .

6. Найти циркуляцию поля F = yi по контуру окружности x = b cost, y = b + bsin t .

Вариант 7

1. Вычислить ∫∫ex2 + y2 dxdy , где область D – круг радиуса r с центром в начале координат.

	D
2.	Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями x2 + 4y2 + z =1; z = 0 .
3.	Вычислить массу m дуги кривой	L, заданной уравнениями x =			t2	,	y = t, z =	t3	, 0 ≤ t ≤ 2 ,
3.	Вычислить массу m дуги кривой	L, заданной уравнениями x =			2	,	y = t, z =	3	, 0 ≤ t ≤ 2 ,
					2			3

если плотность в каждой ее точке γ =			1+ 4x2 + y2	.
		278

4.	Вычислить,	∫		xdx +	dy	по отрезку циклоиды x = a(t −sin t); y = a(1−cost)	от точки

		l		y	y + a
t	= π до точки t		2	= π .
1	6			3

5.	Вычислить		∫∫x dydz + y dxdz + z dxdy по верхней поверхности части				плоскости

x + y + z = a , лежащей в первом октанте.

6.	Доказать, что поле F =		xi + yj + zk		является потенциальным.
6.	Доказать, что поле F =		3		является потенциальным.
		(x2 + y2 + z2 )2
				Вариант 8
1.	С помощью двойного		интеграла	найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y = ex; y = e−x; y = 2 .

2.Вычислить объем той части шара x2 + y2 + z2 = 4R2 , которая лежит внутри цилиндра x2 + y2 = R2 .

3.Найти массу дуги кривой x = t; y = 12 t2 (0 ≤ t ≤1), если плотность равна 2y .

4. Вычислить ∫ xdx + ydy + (x + y −1)dz , где L – отрезок прямой, соединяющий точки A(1,1,1)

и B(2,3,4).

5.	Найти	площадь части поверхности	y = x2 + z2 , вырезанной цилиндром z2 + x2 =1 и
расположенной в первом октанте.
6.	Найти	поток вектора a = yi + zj + xk	через плоскость x + y + z = a , расположенную в

первом октанте.

Вариант 9

1.С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

ρ = 2(1+ cosϕ); ρ = 2cosϕ.

2.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями y = x2; y + z = 2; z = 0 .

3. Найти массу дуги кривой	y =	2x	x	от точки O(0,0) до точки		4,	16	, если плотность
		3			B		3

пропорциональна длине дуги.

279

L∫

ydx − xdy

Вычислить

x2 + y2 , где L – окружность

x = a cost ,

y = a sin t

(в положительном на-

правлении).

С помощью формулы Остроградского вычислить ∫∫xdydz + ydxdz + zdxdy , если S – внеш-

няя сторона цилиндра x2 + y2 = 4 с основаниями z = 0 и z = 3 .

Найти rotF , если F = y2 zi + z2 xj + x2 yk .

Вариант 10

С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

y = 2x − x2; y = x2 .

Найти массу тела, ограниченного поверхностями

x + y + z = a

2; x2 + y2 = a 2; z = 0 , ес-

ли плотность в каждой его точке равна x2 + y2 .

Вычислить

∫(x2 + y2 + z2 )dl ,

где

–

дуга

винтовой

линии

x = a cost; y = a sin t; z = bt (0 ≤ t ≤ 2π).

Найти функцию z по ее полному дифференциалу dz = exy ((1+ xy)dx + x2dy).

Применяя

формулу Остроградского, вычислить

∫∫x3dydz + y3dxdz + z3dxdy ,

где S –

внешняя сторона поверхности сферы x2 + y2 + z2 = a 2 .

Найти циркуляцию вектора F = y2i

по замкнутой кривой, составленной из верхней по-

ловины эллипса x = a cost; y = bsin t и отрезка оси Ox .

Вариант 11

Найти массу плоской фигуры, ограниченной линиями

y = 3 ; x2

+ y2 =10 ,

если плот-

ность каждой ее точки равна абсциссе этой точки.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями hz = x2 + y2; z = h .

dl , где L – дуга спирали Архимеда r = aϕ (a > 0)

Вычислить

∫

x2 + y2 + a 2

между точ-

ками O(0,0); A(a 2 , a ).

280

4.	Вычислить	с	помощью	формулы	Грина	∫	y	dx + 2ln xdy ,
4.	Вычислить	с	помощью	формулы	Грина	∫		dx + 2ln xdy ,
						C x
где C – треугольник, сторонами которого являются прямые y = 4 − 2x; x =1; y = 0 .
5.	Вычислить ∫∫z2dS , где S – часть плоскости x + y + z =1, расположенной в первом октан-
		S
те.
6.	Найти линейный		интеграл вектора	a = x3 i − y3 j	вдоль	дуги окружности
x = Rcost; y = Rsin t , лежащей в первой четверти.

Вариант 12

1.С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = ex; y = e2x; x =1.

2.Найти массу тела, ограниченного поверхностями 2az = x2 + y2; x2 + y2 + z2 = 3a 2 , если плотность в каждой точке равна аппликате этой точки.

3.	Вычислить ∫ x2dl , где L – верхняя половина окружности x2 + y2 = a 2 .
		L	∫(2xy −5y3 )dx + (x2 −15xy2 +6y)dy зависеть от пути интег-
4.	Выяснить, будет ли интеграл		∫(2xy −5y3 )dx + (x2 −15xy2 +6y)dy зависеть от пути интег-
			(AB)
рирования, и вычислить его по линии AB, соединяющей точки (0,0), (2,2).
5.	Вычислить ∫∫zdxdy + xdxdz + ydydz , где S – внешняя сторона треугольника, образованно-
		S
го пересечением плоскости x − y + z =1 и координатными плоскостями.
6.	Найти rota , если a = (3x2 y2 z + 3x2 )i + 2x3 yz				j + (x3 y2	+ 3z2 )k .
				Вариант 13
1.	Двойным	интегрированием	найти объем		тела,	ограниченного поверхностями
x2 + y2 = R2; z = 0; z = y .
2.	Вычислить	∫∫∫ycos(x + z)dxdydz ,		где V – область, ограниченная цилиндром y =				и
2.	Вычислить	∫∫∫ycos(x + z)dxdydz ,		где V – область, ограниченная цилиндром y =			x	и
		V
плоскостями x + z = π; y = 0; z = 0 .
		2
3.	Вычислить массу отрезка прямой			y = 2 − x , заключенного между координатными осями,

если линейная плотность в каждой его точке пропорциональна квадрату абсциссы в этой точке, а в точке (2,0) равна 4.

281

4. Применяя	формулу	Грина,	вычислить	∫− x2 ydx + xy2dy,
				C

где C – окружность x2 + y2 = a 2 (в положительном направлении).

5. Найти площадь поверхности z = 2 − x2 + y2 , расположенной над плоскостью xOy. 2

6. Найти поток вектора a = yi + zj + xk через часть плоскости x + y + z = a , расположенной в первом октанте.

Вариант 14

1. Переменив порядок интегрирования, записать данное выражение в виде одного двойного

	1	x2	4	1	(4−x)
интеграла				3	∫dy. Вычислить площадь фигуры.
	∫dx ∫		dy + ∫dx
	0	0	1		0

2.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z = 6 − x2 − y2 ; z = x2 + y2 .

3.Найти массу дуги кривой y = ln x(3 ≤ x ≤ 22), если плотность в каждой точке равна квадрату ее абсциссы.

4. Вычислить ∫ ydx −(y + x2 )dy , где L – дуга параболы y = 2x − x2 , расположенная над осью

Ox, пробегаемая по ходу часовой стрелки.

5. Применяя формулу Остроградского, вычислить ∫∫xdydz + ydxdz + zdxdy , где S – положи-

тельная сторона поверхности, ограниченной плоскостями x = 0; y = 0; z = 0; x + y + 2z =1. 6. Найти дивергенцию градиента функции u = x3 + y3 + z3 + 3x2 y2 z2 .

Вариант 15

1.С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y2 =16 −8x; y2 = 24x + 48.

2.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями 2 − z = x2 + y2; z = x2 + y2 .

3.	Вычислить ∫	x2 + y2	dl , где L – окружность x2 + y2 = ax.
	L
4.	С помощью формулы Грина вычислить ∫			1 arctg	y	d +	2	arctg	x	dy , где C – замкнутый
4.	С помощью формулы Грина вычислить ∫			1 arctg		d +		arctg		dy , где C – замкнутый
			C	x	x		y		y
			C

контур, составленный дугами двух окружностей x2 + y2 =1; x2 + y2 = 4(y > 0) и отрезками прямых y = x и y = 3x(y > 0), заключенных между этими окружностями.

282

5.			Найти массу полусферы		z =	a 2 − x2 − y2		, если поверхностная плотность в каждой ее
точке равна z2 .
6.			Найти rotF , если F = (x2		+ y2 )i + 2xyzj + k .
						Вариант 16
1.			Вычислить ∫∫(x2 + 2xy)dxdy , где область D ограничена прямыми y = x; y = 2x; x + y = 6.
				D
2.			Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями x2 + y2 = a2; x2 + z2 = a2 .
3.			Вычислить массу дуги кривой			x = ln(1+t2 ); y = 2arctgt −t от t =1, если плотность равна
	y	.
		.
	ex
4.			Поле образовано силой F = (x + y)i + 2xj . Вычислить работу по перемещению единицы
массы по окружности x = a cost; y = a sin t .
5.			Вычислить	массу поверхности z2 = x2 + y2 , заключенной между плоскостями
	z = 0; z =1, если поверхностная плотность пропорциональна x2 + y2 .
6.			Найти rotF , если F = x2 y2i + y3zj + xz3k .
						Вариант 17
1.			С помощью двойного интеграла вычислить площадь плоской области, ограниченной ли-
ниями y2 = 4x, x + y = 3, y ≥ 0.
2.			Определить массу пирамиды,			образованной плоскостями x + y + z = a; x = 0; y = 0; z = 0 ,
если плотность в каждой точке равна аппликате этой точки.
3.			Вычислить ∫ y2dl , где L – дуга кривой x = ln y между точками A(0,1)							и B(1,e).
				L
4.			Применяя формулу Грина, вычислить ∫ y2dx +(x + y)2 dy						по контуру треугольника ABC с
						C
вершинами A(a,0); B(a, a);C(0, a).
5.			Пользуясь формулой Остроградского, вычислить ∫∫x dydz + ydxdz + zdxdy , где S – внеш-
								S
няя			сторона	поверхности	пирамиды,		ограниченной		плоскостями	x = 0; y = 0; z = 0;
2x +3y + 4z =12 .
6.			Найти циркуляции вектора F = −yi + xj				по окружности x2 + (y −1)2 =1.
							283

Вариант 18

1. Изменив порядок интегрирования, записать данное выражение в виде одного двойного

		1	y	2	2−y
интеграла ∫dy∫dx + ∫dy ∫dx . Вычислить площадь фигуры.
		0	0	1	0
2.	Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями x2 + 4y2 + z =1; z = 0 .
					2	2	2
3.	Вычислить массу дуги кривой x 3 + y 3 = a 3 лежащей в первой четверти, если плотность в
каждой ее точке равна абсциссе этой точки.
4.	Доказать,		что	∫tg y dx + xsec2 y dy		не зависит от пути интегрирования. Вычислить его,
				AB
		π		π
если A 1,		; B 2;		.
		6		4

5.Найти массу полусферы x = R2 − y2 − z2 , если поверхностная плотность в каждой точке пропорциональна квадрату расстояния этой точки до начала координат.

6.Найти циркуляцию векторного поля F = yi + zj + xk вдоль замкнутого контура, получен-

ного от пересечения сферы x2 + y2 + z2 = R2 координатными плоскостями, расположенными в первом октанте.

Вариант 19

			1			1−x2
1.	Построить область, площадь которой выражается интегралом ∫dx					∫dy . Вычислить этот
			0		1 (1−x)2
					2
интеграл. Поменять порядок интегрирования.
2.	Определить массу тела, ограниченного поверхностями x2 + y2 − z2 = 0; z = h , если плот-
ность в каждой точке пропорциональна аппликате этой точки.
3.	Вычислить ∫	cos2 xdl		, где L – дуга кривой y = sin x(0 ≤ x ≤ π ).
3.	Вычислить ∫			, где L – дуга кривой y = sin x(0 ≤ x ≤ π ).
	L	1+ cos2 x
4.	Доказать, что выражение 3x2e ydx + (x3e y1)dy является полным дифференциалом некото-
рой функции. Найти эту функцию.
	Вычислить ∫∫(x2 + z2 )dydz , где S – внешняя сторона поверхности x =							, отсечен-
5.							9 − y2	, отсечен-
	S
ной плоскостями z = 0; z = 2 .
6.	Найти rot(r , a ) r , где r = xi + 2yj − zk , a = 2i − j + k .
			284

			Вариант 20
1.	С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
ρ = a(1−cosϕ); ρ = a cosϕ.
2.	Определить	массу	сферического	слоя	между	поверхностями

x2 + y2 + z2 = a 2 ; x2 + y2 + z2 = 4a 2 , если плотность в каждой точке обратно пропорциональна расстоянию точки от начала координат.

3.	Вычислить ∫ ydl , где L – дуга параболы y2 = 2x, отсеченная параболой x2 = 2y .
	L
4.	Показать, что ∫ ydx +(x + y)dy по любому замкнутому контуру равен нулю. Проверьте,
	C
вычислив интеграл по контуру фигуры, ограниченной линиями y = x2, y = 4 .
5.	Вычислить массу поверхности z = x, ограниченной плоскостями x + y =1; y = 0; x = 0 ,
если поверхностная плотность в каждой точке равна абсциссе этой точки.
6.	Найти циркуляцию вектора F = y2i по замкнутой кривой, составленной из верхней по-

ловины эллипса x = 4cost; y = sin t и отрезка оси Ox .

Вариант 21

1.С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями xy = a2; y = x; y = 2a(a > 0).

2.Определить массу полушара x2 + y2 + z2 = a2; z = 0 , если плотность его в каждой точке равна аппликате этой точки.

3.	Вычислить ∫sin3 xdl , где L – дуга кривой y = ln sin x от x1 =	π	до x2 =	π .
	L	4		2
	L
4.	Вычислить ∫(e2x − y2 )dx +(1−2xy)dy , где C – треугольник сторонами которого являются
	C

прямые y = 2; x = 0; y = x . Доказать, что данный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.

5.Найти площадь части поверхности y = x2 + z2 , вырезанной цилиндром z2 + x2 =1 и расположенной в первом октанте.

6.Найти div[u,v], где u = 2xi − yj +3zk;v = 3yi + zj − xk .

285

Вариант 22

1.С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y2 = 4 + x; x +3y = 0 .

2.Определить объем тела, ограниченного поверхностями z2 = 2ax; x2 + y2 = ax; z = 0; y = 0 .

3.	Найти массу дуги винтовой линии x = 4a cost, y = 4a sin t , z = 3at , если плотность ее в
каждой точке пропорциональна аппликате этой точки (0 ≤ t ≤ 2π).
	(3,2) x			2x + y
4.	Вычислить (1∫,1)		dx +		dy .
		(x + y)2		(x + y)2
5.	Используя формулу Остроградского, вычислить ∫∫(x + y)dydz + (y − x)dxdz + zdxdy через
					S

поверхность шара x2 + y2 + z2 =1.

6. Найти rotF , если F = 3x2 y2i + 2y3zj − z2x2k .

Вариант 23

1.С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ay = x2 −2ax; y = x .

2.Вычислить массу тела, ограниченного поверхностями y = x2 + z2 ; y = b , если плотность в каждой его точке пропорциональна ординате этой точки.

	Вычислить ∫ xyzdl , где L – дуга кривой x =	1 t2; y = t ; z = 1			(0 ≤ t ≤1).
3.	Вычислить ∫ xyzdl , где L – дуга кривой x =	1 t2; y = t ; z = 1		8t3	(0 ≤ t ≤1).
	L	2	3
	L
4.	Найти работу силы F = xyi + (x + y) j при перемещении массы m из начала координат в
точку A(1,1) по параболе y = x2 .
5.	С помощью формулы Стокса показать, что		∫ yzdx + xzdy + xydz		по любому замкнутому
			C

контуру равен нулю. Проверить, вычислив интеграл по контуру треугольника с вершинами

O(0,0,0); A(1,1,0); B(1,1,1).

6. Вычислить поток вектора a = x3i + y3 j + zk через поверхность шара x2 + y2 + z2 = a2 .

Вариант 24

1.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = ln x; x − y =1; x = 3 .

2.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями y2 = 4a2 −3ax; y2 = ax; z = ±h .

286

3. Найти массу дуги полуокружности x = a cost; y = a sin t , если плотность ее в каждой точ-

ке равна x2 y .

4. Найти работу, производимую силой F = 4x2i + xyj при перемещении массы m вдоль дуги y = x3 от точки O(0,0) до точки C(1,1).

5. Вычислить ∫∫x2dydz + y2dxdz + zddy , где S - внешняя сторона части сферы, располо-

	S
женной в первом октанте.
6.	Доказать, что поле			xi + yj + zk		является потенциальным.
		F	=
		F	=	(x2 + y2 + z2 )32
					Вариант 25
1.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x; x2 + y2 = 2x; y = 0 .
2.	Определить		массу		тела,		ограниченного	поверхностями

2x + z = 2a; x + y = a; y2 = ax; y = 0(y > 0), если плотность в ка ждой его точке равна ординате

его точки.
3.	Вычислить ∫ ydl , где L - первая арка циклоиды x = 3(t −sin t); y = 3(1− cost).
	L
4.	Вычислить ∫ xdy + ydx, где C –	треугольник со сторонами	x = 0; y = 0;		x	+	y	=1.	Дока-
4.	Вычислить ∫ xdy + ydx, где C –	треугольник со сторонами	x = 0; y = 0;			+	b	=1.	Дока-
	C				a		b
	C
зать, что данный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.
5.	Вычислить ∫∫(x2 + y + z2 −4)dS ,	где S – часть поверхности	2y = 9 − x2 − z2 ,					отсеченная
	S
плоскостью y = 0(y > 0).
6.	Найти циркуляцию векторного поля F = yi + zj + xk вдоль замкнутого контура,								полу-
ченного от пересечения сферы x2 + y2 + z2 = 4 координатными плоскостями,							расположен-
ными в первом октанте.
		Вариант 26

			a	a2 −y2
1.	Построить область, площадь которой выражается интегралом ∫dy			∫dx . Вычислить этот
			0	a−y

интеграл. Поменять порядок интегрирования.

287

Вычислить массу тела, ограниченного поверхностями x + z = a; x = 0; y = 0; y = a; z = 0 ,

если плотность его в каждой точке равна x2 + y2 .

Вычислить ∫ xdl , где L – отрезок прямой от точки (0,0) до точки (1,2).

Вычислить работу силы F = y i + (y − x) j при перемещении единицы массы по дуге па-

раболы y

= a −

из точки A(− a;0) к точке

B(0, a).

Вычислить

∫∫x2dydz + y2dxdz + z2dxdy ,

где S

–

внешняя

сторона поверхности конуса

z2 + y2 =

;0 ≤ x ≤

Найти

вдоль

первой четверти

окружности

линейный интеграл вектора a = x i − y

x = 3cost; y = 3sin t .

Вариант 27

2a2 −x2

Построить область, площадь которой выражается интегралом ∫dx

∫dy .

Вычислить

этот интеграл. Поменять порядок интегрирования.

2.	Определить объем тела, ограниченного поверхностями			x2 + y2 − z2 = 0; x2 + y2 + z2 = a2
(внутри конуса).
3.	Найти массу дуги параболы y =	x2	, лежащей между точками			1	и (2,2), если плот-
					1,
		2			1,	2
		2				2

ность равна xy .

4. Вычислить ∫xy2dx + yz2dy − x2zdz , где L – отрезок прямой OB;O(0,0,0); B(− 2,4,5).

5. С помощью формулы Остроградского, вычислить ∫∫x2dydz + y2dxdz + z2dxdy , где S –

внешняя сторона куба 0 ≤ x ≤ a;0 ≤ y ≤ a;0 ≤ z ≤ a .

6. Найти rota , если a = x3zi + y3xj + z3xk .

288

Вариант 28

1 2−x2

1. Построить область, площадь которой выражается интегралом ∫dx ∫dy . Изменить поря-

0 x

док интегрирования. Вычислить интеграл.

2.	Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z =	x2 + y2	; z = x2 + y2 .
3.	Найти массу винтовой линии x = a cost; y = a sin t; z = b (0 ≤ t ≤ 2π), если плотность в каж-
дой ее точке пропорциональна квадрату расстояния этой точки до начала координат.
4.	Вычислить ∫(x − y)dx + (x + y)dy, где L - отрезок прямой соединяющий точки A(2,3) и
	L

B(3,5).

5.Вычислить площадь поверхности той части плоскости x + 2y + z = 4, которая расположена в первом октанте.

6.Найти rotF , если F = y3z2i + 4xz2 j − xy2k .

Вариант 29

					0	0
1.	Построить область, площадь которой выражается интегралом ∫ dy					∫dx . Изменить поря-
					−2 y−4
док интегрирования. Вычислить интеграл.
2.	Вычислить	объем		тела,	ограниченного	поверхностями
z = x2 + y2; x + y = 4; x = 0; y = 0; z = 0 .
			dl , где L – верхняя половина кардиоиды ρ = a(1+ cosϕ).
3.	Вычислить ∫	x2 + y2	dl , где L – верхняя половина кардиоиды ρ = a(1+ cosϕ).
	L
4.	Поле образовано силой F = (x + y)i + (2xy −8) j . Найти работу поля при перемещении
материальной точки массы m по дуге окружности от точки (a,0) до точки (0, a).
5.	Вычислить массу поверхности			z2 = x2 + y2 ,	заключенной между плоскостями z = 0 и
z =1, если поверхностная плотность пропорциональна x2 + y2 .
6.	Найти циркуляцию поля F = yi			по контуру окружности x = 2cost; y = 2 + 2sin t .
				289

Вариант 30

1.Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями ax = y2 −2ay; x + y = 0 .

2.Определить массу тела, ограниченного поверхностями az = a2 − x2 − y2; z = 0 , если плотность его в каждой точке пропорциональна аппликате этой точки.

3. Вычислить ∫ xydl по периметру прямоугольника, ограниченного прямыми

x = 0; y = 0; x = 4; y = 2 .

4. Вычислить ∫(x − y)dx + dy , где L – верхняя половина окружности x2 + y2 = R2 (в поло-

жительном направлении).

5.Найти площадь части поверхности 2x + y + z = 4, которая расположена в первом октанте.

6.Найти дивергенцию градиента функции u = ln(x + 2y + 3z).

290

<<< < Предыдущая 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 5758 / 6358 59 60 61 62 63 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20252.13 Mб0Математика. Ч. 2.pdf
#
28.12.20252.23 Mб1Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf
#
24.11.20252.43 Mб0Математика. Часть 1.pdf
#
28.12.20251.69 Mб0Математика. Часть 2-1.pdf
#
24.11.20254.84 Mб0Математика. Часть 2.pdf
#
24.11.20251.69 Mб1Математика. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.6 Mб0Математика.pdf
#
28.12.20252.17 Mб0Математика_1.pdf
#
28.12.20251.51 Mб0Математика_2.pdf
#
28.12.2025883.18 Кб0Математика_3.pdf