- •ПЕРЕЧЕНЬ МАТЕРИАЛОВ
- •ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
- •1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
- •1.1 Функции многих переменных
- •1.1.1 Основные понятия и определения
- •1.1.2 Предел функции
- •1.1.3 Непрерывность функции
- •1.2 Частные производные функции нескольких переменных. Дифференциал функции
- •1.2.1 Частные производные функции нескольких переменных
- •1.2.2 Дифференцируемость функции двух переменных
- •1.2.3 Дифференциал функции нескольких переменных
- •1.2.4 Применение дифференциалов в приближенных вычислениях
- •1.3 Дифференцирование неявных и сложных функций. Приложения частных производных
- •1.3.1 Дифференцирование неявных и сложных функций. Приложения частных производных
- •1.3.2 Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •1.3.3 Вектор-градиент. Производная функции по направлению вектора
- •1.4 Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора
- •1.4.1 Частные производные высших порядков
- •1.4.2 Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных
- •1.4.3 Формула Тейлора для функции нескольких переменных
- •1.5 Исследование функции на экстремум. Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области
- •1.5.1 Локальные экстремумы функций нескольких переменных
- •1.5.2 Условный экстремум
- •1.5.3 Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области
- •1.6 Метод наименьших квадратов
- •2 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •2.1 Основные понятия
- •2.2 Основные свойства неопределенного интеграла
- •2.3 Замена переменной в неопределенном интеграле
- •2.4 Формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле
- •2.5.1 Основные понятия. Разложение рациональных дробей в сумму простейших дробей
- •2.5.2 Правило отыскания коэффициентов
- •2.5.3 Интегрирование простейших рациональных дробей
- •2.6.1 Интегрирование тригонометрических функций
- •2.6.2 Интегрирование дробно-линейных иррациональностей
- •2.6.3 Биномиальный дифференциал и его интегрирование
- •2.6.4 Интегралы от квадратичных иррациональностей
- •2.6.5 Тригонометрические подстановки при интегрировании иррациональностей
- •2.6.6 Примеры на подстановки Чебышева
- •3 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •3.1 Понятие определенного интеграла
- •3.2 Геометрический и физический смысл определенного интеграла
- •3.2.1 Площадь криволинейной трапеции
- •3.2.2 Работа переменной силы
- •3.3 Свойства определенного интеграла
- •3.4 Оценки интегралов. Формула среднего значения
- •3.5 Условия существования определенного интеграла
- •3.6 Определенный интеграл с переменным верхним пределом
- •3.7 Формула Ньютона-Лейбница
- •3.8 Замена переменной в определенном интеграле
- •3.9 Формула интегрирования по частям в определенном интеграле
- •3.10 Несобственные интегралы
- •3.10.2 Несобственный интеграл II рода (интеграл от разрывной функции)
- •3.11 Геометрические и механические приложения определенного интеграла
- •3.11.1 Вычисление площадей в прямоугольных координатах
- •3.11.2 Площадь криволинейного сектора в полярных координатах
- •3.11.3 Длина дуги кривой
- •3.11.5 Объем тела вращения
- •3.11.7 Вычисление работы с помощью определенного интеграла
- •3.11.8 Координаты центра масс
- •4.2 Основные свойства определенного интеграла по фигуре
- •4.3.1 Определение двойного интеграла. Геометрический и физический смысл
- •4.3.2 Основные свойства двойного интеграла
- •4.4 Тройной интеграл, его свойства. Геометрический и физический смысл тройного интеграла. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат
- •4.4.2 Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат
- •4.5 Замена переменных в кратных интегралах
- •4.5.1 Замена переменных в двойном интеграле
- •4.6 Приложение кратных интегралов
- •4.6.1 Приложение двойного интеграла
- •4.6.2 Приложение тройного интеграла
- •4.7 Криволинейные интегралы I рода
- •4.7.1 Определение криволинейного интеграла I рода
- •4.7.2 Основные свойства КРИ-I
- •4.7.3 Вычисление КРИ-I
- •4.8 Криволинейные интегралы II рода
- •4.8.1 Определение криволинейного интеграла II рода
- •4.8.2 Cвойства КРИ-II
- •4.8.3 Вычисление КРИ-II
- •4.8.4 Формула Грина
- •4.8.5 Условия независимости КРИ-II от пути интегрирования
- •4.8.6 Восстановление функции по ее полному дифференциалу
- •4.9 Приложения криволинейных интегралов
- •4.9.2 Приложения КРИ-II
- •4.10 Поверхностные интегралы I рода
- •4.10.1 Определение поверхностного интеграла I рода
- •4.10.2 Основные свойства поверхностного интеграла I рода
- •4.10.3 Вычисление поверхностного интеграла I рода
- •4.11 Поверхностные интегралы II рода
- •4.11.1 Ориентация поверхности
- •4.11.2 Нормаль к поверхности
- •4.11.3 Определение поверхностного интеграла II рода
- •4.11.4 Свойства поверхностного интеграла II рода
- •4.11.5 Вычисление поверхностного интеграла II рода
- •4.11.6 Формула Остроградского
- •4.11.7 Формула Стокса
- •4.12 Приложения интегралов по поверхности
- •4.12.1 Приложения поверхностных интегралов I рода
- •4.12.2 Приложения поверхностных интегралов II рода
- •5 ТЕОРИЯ ПОЛЯ
- •5.1 Скалярное поле и его характеристики
- •5.2 Векторное поле и его характеристики
- •5.3 Потенциальное векторное поле. Операторы Гамильтона и Лапласа
- •6 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
- •6.1 Общие понятия
- •6.2 Дифференциальные уравнения I порядка
- •6.3 Уравнения с разделяющимися переменными
- •6.4 Однородные уравнения
- •6.5 Линейные уравнения
- •6.5.1 Интегрирование линейного однородного уравнения
- •6.5.2 Интегрирование линейного неоднородного уравнения
- •6.6 Уравнение Бернулли
- •6.7 Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
- •6.8 Линейные однородные ДУ высших порядков. Определитель Вронского
- •6.9 Дифференциальные уравнения II порядка, допускающие понижение порядка
- •6.12 Метод вариации произвольных постоянных
- •6.13 Системы дифференциальных уравнений
- •6.14 Системы линейных дифференциальных уравнений
- •ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
- •НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •Занятие 7. Неопределенный интеграл. Метод непосредственного интегрирования
- •Занятие 12. Интегрирование тригонометрических выражений
- •Занятие 13. Интегрирование иррациональных выражений
- •ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •Занятие 14. Вычисление определенных интегралов
- •Занятие 15. Приложения определенных интегралов
- •ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
- •Занятие 17. Двойной интеграл. Его вычисление в декартовой системе координат
- •Занятие 19. Приложения двойного интеграла
- •Занятие 21. Замена переменных в тройном интеграле
- •Занятие 22. Приложения тройного интеграла
- •Занятие 23. Криволинейные интегралы I рода
- •Занятие 25. Приложения криволинейных интегралов
- •Занятие 26. Поверхностные интегралы I рода
- •Занятие 30. Поток векторного поля. Циркуляция. Потенциальное поле
- •ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
- •Занятие 31. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и однородные
- •Занятие 32. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка, уравнения Бернулли и в полных дифференциалах
- •Занятие 33. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижения порядка
- •Занятие 34. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа
- •Занятие 35. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида
- •ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 1 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ»
- •ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 2 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ
- •ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 3 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
- •ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 4 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ ДУ
- •ТЕСТ «ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА»
- •КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
- •ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
- •ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА (2 СЕМЕСТР)
- •ПЕРЕЧЕНЬ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИХ ПОСОБИЙ
Занятие 30. Поток векторного поля. Циркуляция. Потенциальное поле
|
|
|
Аудиторные задания |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
30.1 |
Вычислить поток векторного поля F = xi + y j − zk |
|
через верхнюю сторону части |
|||||||||||||||||||||||||||
поверхности z = 4 − x2 − y 2 , отсеченной плоскостью z = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
30.2 |
Вычислить поток векторного поля F = (4x −3)i +(2y −6x) j − y2z3 k через внутрен- |
|||||||||||||||||||||||||||||
нюю сторону боковой поверхности части цилиндра |
|
x2 + y 2= 9 , ограниченной плоскостью |
||||||||||||||||||||||||||||
z = 0 , параболоидом z = x2 + y 2 и расположенной в первом октанте. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
30.3 |
Вычислить поток поля F = x3i − y3 j + 2zk |
|
через внешнюю сторону части сферы |
|||||||||||||||||||||||||||
x2 + y2 + z2 =1, вырезанной конической поверхностью z = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x2 + y2 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
30.4 |
Вычислить поток векторного поля |
F = 3x i −3y j −5z2 k |
через внешнюю сторону |
|||||||||||||||||||||||||||
замкнутой |
поверхности S, |
состоящей из |
|
части |
|
параболоида |
|
2z = x2 + y 2 |
и сферы |
|||||||||||||||||||||
x2 + y2 + z2 = 8, накрывающей параболоид. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
30.5 |
Вычислить поток векторного поля |
F = 2xy i − y |
|
2 j + z3 k |
через внешнюю сторону |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
||||||||||||||
замкнутой |
поверхности, |
ограниченной |
|
поверхностями: |
|
|
x2 + y 2 |
|
z |
и |
||||||||||||||||||||
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||
x2 + y2 + z2 = 2Rz . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
30.6 |
Вычислить поток через положительно ориентированную замкнутую поверхность S : |
|||||||||||||||||||||||||||||
1) F = xy2i + y(z − x) j + (x2 − zy2 )k , S : |
x2 |
+ |
y2 |
|
+ |
z2 |
=1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
9 |
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2) F = 3xy2i − (1+ yz2 )j + (2 − zx2 )k , S : x2 + z2 − y2 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
y =1, |
y ≥ 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
= (x2 − y2 )i + (yx2 − z2 )j + (zy2 − x2 )k |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
=16 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3) F |
, S : |
x |
|
+ y |
|
|
+ z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
x |
|
+ y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
30.7 |
Вычислить циркуляцию векторного поля F |
вдоль линии L: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1)F = (2x − y2 +1)i + (3x + 2y2 −10) j , L : x = 3 − y2 ;
y = x −1
2)F = (y3 −8yz − z)i + (yz − x3 + 2x)j + (yx3 − 2z3 )k , L : z = x2 + y2 ;
z =1, z ≥ 0
243
3) F = (x2 − y2 )i + (x2 − z2 )j + (y2 − x2 )k , L – контур треугольника АВС, где A(1;0;0) ,
B(0;1;0) , C(0;0;1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 2cost, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4) |
|
|
|
|
|
|
от точки B(2;0;4) и от- |
|||||||
F = (x − y)i +(y − z) j +(z − x)k , L – часть линии L : y = 2sin t, |
||||||||||||||
|
|
|
|
2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
резка ВА. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30.8 Вычислить по формуле Стокса циркуляцию векторного поля F |
по замкнутому кон- |
|||||||||||||
туру L: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||
1) F = (z3 + 2y3 + 3y)i + (y3 − 2x3 − xz2 )j + (z2 |
−5xy2 )k , L : x |
|
+ y |
|
|
+ z |
|
|
=1, ; |
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
+ y |
|
||||
|
|
|
|
z = |
|
|
|
|
||||||
2) |
F = (3z2 − y3 )i + (x3 − 2y2 z2 )j + (2xyz − x2 y2 )k , L : x2 + y2 = 4, . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2x + z = 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
30.9 Выяснить, является ли векторное поле |
F потенциальным. |
Найти его потенциал и |
||||||||||||
вычислить линейный интеграл w поля F от точки M до точки N: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) |
F = x ln x(1+ y2 )i + yx2 (1+ y2 )−1, |
M (2;3), |
N(−4;7); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
F = (3x2 y3z−1 −2x3 )i + (2x3 yz−1 +3y3 )j + (z3 |
− x3 y2z−2 )k , |
M (1;2;2), |
|
N(1;3;1); |
|||||||||
3) F = (x + z)i +(y + z) j +5z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30.10 Выяснить, является ли векторное поле соленоидальным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1) |
F = x2 yi −2xy2 j + 2xyz k ; |
2) F = 5xyzi −3xz j + 4x k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Домашние задания
30.11 Вычислить поток векторного поля F = (4x −3y)i + (2y − 6x) j − y2 zk через внут-
реннюю сторону боковой поверхности части цилиндра x2 + y2 = 4 , ограниченной плоско-
стью z = 0 , параболоидом z = x2 + y2 и расположенной в первом октанте.
30.12Вычислить поток поля F = yi + zj + xk через нижнюю сторону плоскости тре-
угольника АВС, где A(2,0,0), B(0,2,0), C(0,0,2) .
30.13Вычислить поток поля F = yi + xj − z2 cos yk через внешнюю сторону части ци-
линдра x2 + y2 = 4 , лежащей в третьем октанте и ограниченной плоскостями z = 0 и x + y + z = 4 .
244
30.14 Вычислить поток векторного поля F через положительно ориентированную замкнутую поверхность S :
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ z |
2 |
− y |
2 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1) F = 3xy |
i − (1+ yz |
)j + (2 − zx |
)k |
, где S |
: |
x |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y ≥ 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y =1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ y |
2 |
+ z |
2 |
= |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2) F = (x2 − y2 )i + (yx2 |
− z2 )j |
+ (zy2 − x2 )k , где |
S : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j + (x2 − 2y)k вдоль линии |
|||||||||
|
30.15 |
Вычислить циркуляцию векторного поля |
|
F = y2i + z2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z = |
4 − x2 − y2 |
, x2 + y2 = 2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
30.16 |
Вычислить |
|
|
|
по |
|
|
|
формуле |
|
|
Стокса |
|
|
|
|
|
|
циркуляцию |
|
векторного |
поля |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
F = (y3 |
− yx2 )i + (y2 |
− x2 + x)j по контуру L : |
|
(x −1)2 + 4y2 = 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
30.17 Для заданного векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
F |
= 2xz + |
|
i |
− |
x + z |
|
j + |
x |
2 + |
|
k |
, A(−1,3, −2), B(1, 2,3): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1) проверить потенциальность поля; 2) найти потенциал поля. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
153πR5 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Ответы: 30.1 8π. 30.2 |
−81 |
|
|
π−18 |
|
. 30.3 |
|
|
|
1 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
30.4 |
|
|
−32 |
2 |
+ |
|
2π. 30.5 |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
32 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
π ; 3) 8 −5 |
|
|
. 30.7 1) 4,5; 2) 17π |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
30.6 1) 64π; 2) |
2 |
; 3) 2; 4) |
8 + 2π. 30.8 1) – 2,5π; 2) 120π. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1024π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
30.9 1) Поле потенциальное, |
|
w = 8ln 50 −2ln10 |
, |
|
|
u(x, y, z) = |
1 x2 +ln(1+ y2 )+C ; 2) Поле по- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тенциальное, w = 52; u(x, y, z) |
= − |
1 |
|
x |
4 |
+ |
3 |
y |
4 |
+ |
|
1 |
z |
4 |
|
+ x |
3 |
y |
2 |
z |
−1 |
|
+C ; 3 ) По ле не по тенц |
иальное. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
80 |
|
π |
|
8 −5 |
|
|
. 30.15 − 6π+16 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
30.10 1) Да; 2) нет. 30.11 72 −3π. 30.12 – 4. 30.13 |
. 30.14 1) |
; 2) |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1024π |
3 |
|
|||||||
30.16 π |
. 30.17 Поле потенциальное, |
|
u = x2z + |
x + z |
+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
245