Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Часть 2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

4.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 5152 / 6352 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 > Следующая >>>

Ответы: 24.1 1) 1; 2) 13; 3)					4	; 4)	64π3		. 24.2 1)	−	4	; 2)		4ln 2			−2 ; 3)		πa		4
Ответы: 24.1 1) 1; 2) 13; 3)					3	; 4)		3	. 24.2 1)	−	3	; 2)		4ln 2			−2 ; 3)			2	. 24.3 1) зависит;
					3			3			3									2
2) не зависит; 3) зависит. 24.4 1)							4	; 2)	2; 3) 91;	4)		4	ab		2	. 24.5 1)			π	ln 2 ;		2)	2	a	3	; 3)	8π.
2) не зависит; 3) зависит. 24.4 1)							3	; 2)	2; 3) 91;	4)		3	ab			. 24.5 1)		12		ln 2 ;		2)	3	a		; 3)	8π.
							3					3						12					3
24.6 1) z =	x	+	y	+C ; 2) z = −cos(x + y)+C ; 3) z = xexy + C .
24.6 1) z =	y	+		+C ; 2) z = −cos(x + y)+C ; 3) z = xexy + C .
	y		x

Занятие 25. Приложения криволинейных интегралов

Аудиторные задания

25.1 Найти длины дуг кривых:

1)y2 = x3 от точки O(0;0) до A(4;8).

2)первого витка винтовой линии x = a cost, y = asin t, z = bt .

3)ρ = a(1− cost)ϕ.

25.2 Найти площади фигур, ограниченных линиями:


1)	x = acost, y = asin t .		2) x = acos3 t, y = asin3 t			(астроида).
25.3 Найти массы следующих кривых:
1)	y = ln x , заключенной между точками с абсциссами x =				и	x =			, если плотность
1)	y = ln x , заключенной между точками с абсциссами x =			3	и	x =		8	, если плотность
дуги в каждой точке равна квадрату абсциссы этой точки.
2)	четверти эллипса x = 2cost, y = sin t , лежащей в первой четверти,						если линейная плот-
ность в каждой ее точке равна произведению координат этой точки.
25.4 Найти работу переменной силы F
25.4 Найти работу переменной силы F			вдоль пути AB :
1)	F = yi +(x + y)j	при перемещении материальной точки из начала координат в точку
(1;1)	по параболе y = x2 .
2)	F = (x + y)i − xj	при перемещении материальной		точки			вдоль окружности

x= 2cost, y = 2sin t по ходу часовой стрелки.

25.5Найти координаты центра тяжести дуги линии:

1)однородной дуги первого витка винтовой линии x = cost, y = sin t, z = 2t .

2)однородной дуги окружности x2 + y2 = R2 , расположенной в первой четверти.

233

		Домашние задания
25.6 Найти длины дуг кривых:
1) y = 2		от точки с абсциссой x =1 до точки с абсциссой
1) y = 2	(x −1)3	от точки с абсциссой x =1 до точки с абсциссой	x	2	= 9 .
3	1			2
3

2)x = (t2 − 2)sin t + 2t cost, y = (2 −t2 )cost + 2t sin t (0 ≤ t ≤ π).

3)x = a cos3 t, y = asin3 t (астроида).

25.7 Найти площади фигур, ограниченных линиями:

1)x = a cost, y = bsin t (эллипс).

2)первой арки циклоиды x = a(t −sin t), y = a(1−cost) и осью Ox. 25.8 Найти массы следующих кривых:

1)одной арки циклоиды x = a(t −sin t), y = a(1− cost), если плотность в каждой точке кри-

вой равна ординате точки.

2) x = t2	, y = t, z = t3
2) x = t2	, y = t, z = t3	, 0 ≤ t ≤ 2 , если плотность в каждой ее точке	γ =	1+ 4x2 + y2	.
2	3

25.9Найти работу переменной силы F вдоль пути AB :

1)	F = (x + y)i + 2xj при перемещении материальной точки	по окружности
x = a cost, y = asin t .
2)	F = 4x2i + xyj при перемещении материальной точки вдоль дуги	y = x3 от точки

O(0;0) до точки C(1;1).

25.10 Найти координаты центра тяжести дуги линии:

1) винтовой линии x = acost, y = asin t, z = bt , линейная плотность в каждой точке про-

порциональна аппликате этой точки; tA = 0, tB = π.
2) плоской						материальной						дуги		y = 2 x32 , 0 ≤ x ≤1,					линейная			плотность			которой
														3
γ(x, y)= y						.
γ(x, y)= y				1+ x		.
								8	(10		−1); 2) 2π										3a2π . 25.3 1)				19				14 .
Ответы: 25.1 1)													a2 + b2			. 3) 8a. 25.2 1) πa2; 2)										; 2)
										10
							27			10															3
							27														8				3				9
25.4 1)		3	; 2) 8π.					25.5 1) (0;0;2π); 2)					x	= y	=		2R .	25.6 1) 52 ;		2)	π2	; 3) 6a. 25.7 1) πab;
		2											C		C		π		3		3		4a		2a		2
2) 3πa2 .			25.8		1)			32a2 / 3; 2)				166 /15	.	25.9	1)		πa2 ;	2)	37 / 21.	25.10			4a	;	2a	;	2
2) 3πa2 .			25.8		1)			32a2 / 3; 2)				166 /15	.	25.9	1)		πa2 ;	2)	37 / 21.	25.10		1) −	π2	;	π	;	3	bπ ;
	= 10				= 21 .																		π2		π		3
2) x	= 10		; y		= 21 .
C		9		C	32
		9			32

234

Занятие 26. Поверхностные интегралы I рода

	Аудиторные задания
26.1 Вычислить поверхностные интегралы I рода по указанным поверхностям:
1)	∫∫xyzdS , где S – часть плоскости x + y + z =1, лежащая в первом октанте.
	S
2)	∫∫(3x −2y +6z)dS , где S – часть плоскости 2x + y + 2z = 2 , отсеченная координатными
	S

плоскостями.


3)	∫∫	x2 + y2	dS , где S – часть поверхности конуса x2 + y2 = z2, 0 ≤ z ≤1.
	S

4)	∫∫xdS , где S – полусфера z =			1− x2 − y2	.
	S
5)	∫∫(x2 + y2 + z2 )dS , где S – сфера x2 + y2 + z2 =1.
	S
6)	∫∫(x2 + y2 )dS , где S –поверхность, отсекаемая от параболоида x2 + y2 = 2z плоскостью
	S

z =1.

7) ∫∫(6x + 4y +3z)dS , где S – часть плоскости x + 2y + 3z = 6 , расположенная в первом ок-

танте.

8) ∫∫x2 + y2 dS , где S – часть поверхности конуса

плоскостями z = 0 и z = 3 .

9) ∫∫xyzdS , где S – часть поверхности параболоида

x2 + y2 = z2 , расположенная между

16 16 9

z = x2 + y2 , отсекаемая плоскостью

z =1.

Домашние задания

26.2 Найти поверхностные интегралы I рода по указанным поверхностям:

1) ∫∫(3x2 +3y2 +5z2 )dS , где S – часть поверхности z = x2 + y2 , отсеченная плоскостями

z = 0 и z =1.

2) ∫∫x2 + y2 + z2 dS , где S –поверхность конуса z2 = x2 + y2 , ограниченного плоскостями

z = 0 и z = h .

235

3)	∫∫z2dS , где S – часть плоскости x + y + z =1, расположенной в первом октанте.
	S
4)	∫∫(3x − y + z)dS , где S – часть плоскости x + z + −2y = 2, отсеченная координатными
	S
плоскостями.
5)	∫∫(x2 + y + z2 − 4)dS , где S – часть поверхности 2y = 9 − x2 − z2 , отсеченная плоскостью
	S

y = 0 (y > 0).

6) ∫∫(x −3y + 2z)dS , где S – часть плоскости 4x +3y + 2z −4 = 0 , расположенная в первом

октанте.

7) ∫∫x(y + z)dS , где S – часть цилиндрической поверхности x = 1− y2 , отсеченной плос-

костями z = 0 и z = 2 .

8) ∫∫(x2 + y2 + z2 )dS , где S – сфера x2 + y2 + z2 =1.

S
						5	; 3) 2				π		0; 5) 4π; 6) 24							+ 4						160π
Ответы: 26.1 1)			3	; 2)						2		; 4)							3			π	; 7) 54		; 8)		; 9) 0.
			3							2									3					14
	120					2			3									15						14		3
	120					2			3									15								3
															5
	4						3						π		5			29
26.2 1) 4 2π; 2)	4	πh		3	; 3)		3	; 4)	3 6			; 5)	π	10	2	−1	; 6)	29			; 7)		4; 8) 4π.

	3					12							5					9
	3					12							5					9

Занятие 27. Поверхностные интегралы II рода Аудиторные задания

27.1 Вычислить интегралы по указанным поверхностям:

1) ∫∫ydxdz , где S – верхняя сторона части плоскости x + y + z = a , лежащей в первом ок-

танте.

2) ∫∫xdydz + ydxdz + zdxdy , где S – верхняя часть поверхности x + 2y + z −6 = 0 , располо-

женная в первом октанте.

3) ∫∫4x2 + y2 dxdy , где S – верхняя сторона круга x2 + y2 ≤ a2 .

4) ∫∫(y2 + z2 )dxdy , где S – верхняя сторона поверхности z = a2 − x2 , отсеченная плоско-

стями y = 0, y = b .

236

5) ∫∫x2dydz + y2dxdz + z2dxdy , где S – внешняя сторона части сферы x2 + y2 + z2 = R2 ,

расположенной в первом октанте.

6) ∫∫x2dydz + y2dxdz + z2dxdy , где S – внешняя сторона поверхности конуса

z2 + y2 = R2 x2; 0 ≤ x ≤ 3 . 3

27.2 Применяя формулу Остроградского, вычислить:

1) ∫∫xdydz + ydxdz + zdxdy , где S – положительная сторона куба, составленного плоскостя-

	S
ми x = 0, y = 0, z = 0, x =1, y =1,		z =1.
2)	∫∫xdydz + ydxdz + zdxdy , где S – внешняя сторона сферы x2 + y2 + z2 =1.
	S
3)	∫∫ydxdz , где S –	поверхность тетраэдра, ограниченного плоскостями
	S
x + y + z =1, x = 0, y = 0, z = 0.
4)	∫∫xdydz + ydxdz + zdxdy , где S – внешняя сторона цилиндра x2 + y2 = 4 с основаниями
	S

z = 0 и z = 3.

Домашние задания

27.3 Вычислить интегралы по указанным поверхностям:

1) ∫∫xdydz + ydxdz + zdxdy по верхней поверхности части плоскости x + y + z = a , лежащей

в первом октанте.

2) ∫∫zdxdy + xdxdz + ydydz , где S – внешняя сторона треугольника, образованного пересе-

чением плоскости x − y + z =1 и координатными плоскостями.

3) ∫∫(x2 + z2 )dydz , где S – верхняя сторона поверхности x = 9 − y2 , отсеченной плоско-

стями z = 0, z = 2 .

27.4 Вычислить непосредственно, результат проверить по формуле Остроградского:

1) ∫∫xdydz + ydxdz + zdxdy , где S – внешняя сторона цилиндра x2 + y2 = R2 с основаниями

z = 0 и z = H .

237

2) ∫∫xdydz + ydxdz + zdxdy , где S – положительная сторона поверхности куба, ограничен-

ного плоскостями x = 0, y = 0, z = 0 , x = 4, y = 4, z = 4 . 27.5 Применяя формулу Остроградского, вычислить:

1) ∫∫xdydz + ydxdz + zdxdy , где S – положительная сторона поверхности, ограниченной

	S
плоскостями x = 0, y = 0, z = 0 ,		x + y + 2z =1.
2)	∫∫(x + y)dydz +(y − z)dxdz + zdxdy через поверхность шара x2 + y2 + z2 =1.
	S
3)	∫∫x2dydz + y2dxdz + z2dxdy , где S – внешняя сторона куба 0 ≤ x ≤ a; 0 ≤ y ≤ a; 0 ≤ z ≤ a .
	S
4)	∫∫xdydz + ydxdz + zdxdy , где S – внешняя сторона поверхности пирамиды, ограниченной
	S
плоскостями x = 0, y = 0, z = 0 ,		2x +3y + 4z =12.
5)	∫∫x3dydz + y3dxdz + z3dxdy , где S – внешняя сторона поверхности сферы
	S

x2 + y2 + z2 = a2 .

		a3 ; 2) 54; 3)	4 π					2ab (b2	+ 2a2 );		3	πR4			3πR2			2R3 .
Ответы: 27.1	1)			a5	;	4)				5)	3		;	6)	3πR2		+
Ответы: 27.1	1)			a5	;	4)				5)	8		;	6)	2		+
		6	5					3			8				2			3
		1	a3			1				2						1
27.2 1) 1; 2) 4π; 3)		6 ; 4) 36π. 27.3 1)	2 ; 2) −			6	; 3) 88. 27.4 1) 3πR H; 2) 192.							27.5 1)		4	; 2) 4π;
3) 3a4; 4) 36; 5)	12	πa5 .
	5

Занятие 28. Приложения интегралов по поверхности Аудиторные задания

28.1Вычислить площадь поверхности той части плоскости x + 2y + z = 4 , которая расположена в первом октанте.

28.2Найти площадь поверхности части конуса z = x2 + y2 , заключенного внутри цилиндра x2 + y2 = 2x .

28.3Найти площадь поверхности z = 2 − x2 +2 y2 , расположенной над плоскостью xOy.

28.4Найти площадь части поверхности y = x2 + z2 , вырезанной цилиндром z2 + x2 =1 и расположенной в первом октанте.

238

28.5 Вычислить

массу

поверхности

z = x ,

ограниченной

плоскостями

x + y =1; y = 0; x = 0 , если поверхностная плотность в каждой точке равна абсциссе этой точки.

28.6Найти массу полусферы z = a2 − x2 − y2 , если поверхностная плотность в каждой

ееточке равна z2 .

28.7	Вычислить массу поверхности	z2 = x2 + y2 , заключенной между	плоскостями
z = 0; z =1, если поверхностная плотность пропорциональна x2 + y2 .
28.8	Найти координаты центра	тяжести однородной треугольной	пластинки

x + y + z =1(x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0).

28.9Найти момент инерции относительно оси OX кругового цилиндра, высота которого h

ирадиус основания a.

Домашние задания

28.10Найти площадь части поверхности 2x + 2y + z = 8, заключенной внутри цилиндра x2 + y2 =1.

28.11Найти площадь части поверхности 2x + y + z = 4 , которая расположена в первом

октанте.

28.12 Определить суммарный электрический заряд, распределенный на части поверхности двуполостного гиперболоида z2 = x2 + y2 +1, 1 ≤ z ≤ 2 , если плотность заряда в каждой точке пропорциональна аппликате этой точки ( δ = kz ).

28.13Вычислить поток вектора a = (x + y)i + (y − x)j + zk через поверхность шара единичного радиуса с центром в начале координат.

28.14Найти массу полусферы x = R2 − y2 − z2 , если поверхностная плотность в каждой точке пропорциональна квадрату расстояния этой точки до начала координат.

28.15Найти массу полусферы x2 + y2 + z2 = R2 (z ≥ 0), если поверхностная плотность в

каждой точке γ = x2 + y2 .

28.16	Найти массу, координаты центра тяжести и моменты инерции относительно осей и
начала координат пластинки D = {y ≥ x2, y ≤1}, если плотность γ(x, y)= x2 y .
28.17	Найти массу,	центр тяжести однородного полушара x2 + y2 + z2 ≤1, z ≥ 0 (плот-
ность γ =1).
28.18	Найти массу,	центр тяжести однородного цилиндрического тела, ограниченного

поверхностями x2 + y2 =1, z = 0 .

239

																		2	π(5					−1).						π	(5				−1).										.								2		πa4 .
Ответы:				28.1 4					.		28.2					π .	28.3										28.4												28.5					2		28.6
								6							2								5											5										2
								6							2			3					5						24					5									6									3
																		3											24														6									3
							1				1		1					a2				h2																									kπ
		2
		2															πha2																																	(3				3 −1).
28.7			π . 28.8							;		;	.	28.9						+					. 28.10				3π.				28.11					4		6 .		28.12
28.7			π . 28.8							;		;	.	28.9						+					. 28.10				3π.				28.11					4		6 .		28.12
	2						3 3 3												4				3																							3
	2						3 3 3												4				3																							3
28.13	4π.			28.14			2πR4 . 28.15									πR2 . 28.16						m =			4	; x		= 0; y				c	= 7			;	I	x	=		4	; I	y	=		4		;	I		o	= 104 .
28.13	4π.			28.14			2πR4 . 28.15									πR2 . 28.16						m =			21	; x		= 0; y					= 7			;	I		=	33		; I		=		45		;	I			= 104 .
																	4								21		c						9							33						45						495
					2π											3					3						7						7
28.17	m =					; xc	= yc = 0; zc =										. 28.18 m =				2		π; zc =				9	; C 0;0;					.
28.17	m =			3		; xc	= yc = 0; zc =									8	. 28.18 m =						π; zc =					; C 0;0;					.
				3												8																	9

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Занятие 29. Элементы теории поля

	Аудиторные задания
29.1 Найти линии уровня скалярного поля:
1) u = 2x +3y ;	2) u = 2x2 −4x + y2 + 2y + z2 ;	3) u = x + 2y +5z ; 4) u =	x2	+	y2	+	z2	.
1) u = 2x +3y ;	2) u = 2x2 −4x + y2 + 2y + z2 ;	3) u = x + 2y +5z ; 4) u =		+		+		.
		4		5		6
29.2 Определить вектор-градиент скалярного поля u:
1) u = 2x +3y ;	2) u = 3x +5y −6z ;	3) u = 4x2 +6xy −5z3 .

29.3 Найти вектор-градиент скалярного поля u в точке M и наибольшую скорость возрастания поля в этой точке, если:

1)		π	;	2) u = x2 yz − xy2z + xyz2, M (1;2;1).
	u = ln(x tg y), M 1;	4

29.4 Найти производную скалярного поля u в точке M по направлению вектора e , если:

u = xy + y2

− 4z, M (1;2;3), e = 2i + 3 j −5k ;

u = 4xy + y2

, M 1;

, e

= i + 2

3 j

;

3) u = x2 y + xz2 −2z, M (1;1;−1), e = MM1, M1(2;−1;2). 29.5 Для векторного поля F найти векторные линии:

1) F = (5x − y)i + 2yj ;	2) F = (3x − y2 )i + yj ;	3) F = yi − xj − 2k ;
4) F = (x + y2 + z2 )i + yj + zk ;	5) F = (x − y + z)i +(x + y − z)j +(2z − y)k .

29.6 Вычислить дивергенцию поля F в точке M, если:

1)F = (2xy + zx)i +(xyz + y)j +(x + y + 2z)k , M (1;1;2);

2)F = (x + y + z)i + (x2 + y2 + z2 )j +(y3 + x3 + z3 )k , M (1;2;3);

3)F = (x2 yz −5y2z +6xz2 )i + (2y2xz −4yz2 +3xz)j + (z2xy −7zy3 + z3 )k , M (0;−1;1).

240

29.7 Найти ротор векторного поля F :

1)F = (2xy − z)i +(yx + z)j + (x2 −2xz)k ;

2)F = xi + yj + zk ; 3) F = xyzi +(2x +3y − z)j + (x2 + z2 )k .

Домашние задания

29.8 Для заданного скалярного поля записать уравнение линии уровня, проходящей через точку M. Определить в точке M производную поля u по направлению l , градиент поля и наибольшую скорость возрастания поля в этой точке.

u = x2 + y2 + 4x + 2y −2, M (−1, 2), l = −3i + 4 j .

29.9 Для заданного скалярного поля u определить в точке M1 производную поля по на-

правлению вектора M1M2 , градиент, производную по направлению вектора l , который образует с градиентом в точке M1 угол ϕ.

1) u = xy2z + yz2 −3z, M1(0,1, 2), M2 (−2, 3, −1), l = i − j + 2k , ϕ = 30 ;

2) u =	y	+	x	+	z	, M1(1, 2, 3), M2 (−2,1, −1), l = 2i −4 j +3k ,	ϕ = 225 .
	xz		yz		xy

29.10	Вычислить производную поля u = ln(xz2 + 2yz) в точке M (1,3,2) по положительно-

x =1+ cost

му направлению окружности y = 2 + sin t.

z = 2

29.11 Найти угол ϕ между градиентами функций u = x + yz + 2xz и ϑ = x2 + y2 + z2 в

точке M (2,3,2).


29.12		Найти векторные линии поля:
1) F = (2x + y)i + 2(y + 2z)j +(x − z)k ;				2) F = xi + yj .
29.13		Найти дивергенцию векторного поля F :
1)	F = (2x2 y −3xz3 +5x3 yz)i + (4y3x + xyz +8z2 )j + (6z3xy2 −7z2x +9zy)k ;
2)	F = (3y2 − 2xy + x2 )i + (xy −5y2 )j ;			3) F = x2 i − yx j + xyzk ;
4) F = (x2 y + y2 x − xy)i + (y3 − 4xy + 3y2 )j .
29.14		Найти ротор векторного поля F :
1) F = x2i + y2 j + z2 k ;			2) F = y2 zi + xz2 j + x2 yk .

241

Ответы:				29.1						1)			c = 2x + 3y ;									2)			(x −1)2	+	(y +1)2			+	z2		= C ;		3)		c = x + 2y +5z ;
Ответы:				29.1						1)			c = 2x + 3y ;									2)			3	+				+			= C ;		3)		c = x + 2y +5z ;
																									3				6	6
4) C =	x2		+		y2		+		z2			. 29.2 1)				gradu = 2i +3 j ; 2) gradu(3;5;−6); 3) gradu(8x +6y;6x;−15z2 ).
	4			5						6
29.3 1) gradu = i + 2 j; max															du		=				; 2) gradu = 6i − j + 4k; max											du		=		.
															du					5												du			41
															dl					5												dl			41
															dl																	dl
		du				37							du =			2			(5 +					); 3)	du = −	11		.
29.4 1)				=							; 2)							3
																		3					3


		dl						38					dl				13								dl	14
							y					2 / 3															x		= c cost
											−3																x		= c cost
							x				−3																										x − y2 − z2	= c z
29.5	1)													;			2)					x = y2 ;			3)		y = csin t ;						4)					1	;
29.5	1)													;			2)					x = y2 ;			3)		y = csin t ;						4)					1	;
								y 5 / 3					x														z		= 2t +c								y = c2z
																											z		= 2t +c								y = c2z
																														1
								x
x = (c				+c			+c t)et +c e2t
	1			2		1							3
5) y = (−c +c +c t)et																. 29.6 1)						divF(M )= 9 ; 2) divF(M )= 32 ; 3) divF(M )=12 .
z = (c				1		2				1
z = (c				+c t)et						+c e2t
	2			1						3

29.71) rot F = (−2x +3z −1)j +(y −2x)k ; 2) rot F = 0; 3) rot F = i +(xy + 2x)j +(2 − xz)k .

29.8(x + 2)2 +(y +1)2 =10; dudl = 185 ; gradu = 2i +6 j; max dudl = 210 .


		du							du					1								du		3
		du							du					1								du		3		7	;
29.9 1)		de			= 0;					=							; gradu = 2i			+ 4 j + k; dl1			=
								d M1M2																	2
								d M1M2							17										2
du					4				du							101					1		2		;
2) dl	= −							;				=							; gradu = −2i −		2	j + 9 k
				3					d M1M2					18
				3		29			d M1M2					18				26
du													1								9
du			2786										1								9
= −							. 29.10				−					.	29.11 ϕ = arccos						.	29.12 1)
= −					36		. 29.10				−		4			.	29.11 ϕ = arccos						.	29.12 1)
dl1					36								4								102

x = c		+c	t + 4c e3t
	1	2		3
		−2c1 −2c2t + 4c3e3t ;
y = c2		−2c1 −2c2t + 4c3e3t ;
z = c		−c	+c t	+c e3t
	1	2	2	3

2) y = c1x; z = c2 . 29.13 1) 4xy −3z3 +15x2 yz +12xy2 −13xz +18xy2 z2 + 9y ;

2) 3x −12y; 3) x + xy ; 4) 4y2 − 4x + 5y + 2xy .

29.14 1) 0; 2) (x2 − 2xz)i + (y2 − 2xy)j + (z2 − 2yz)k .

242

<<< < Предыдущая 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 5152 / 6352 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20252.13 Mб0Математика. Ч. 2.pdf
#
28.12.20252.23 Mб1Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf
#
24.11.20252.43 Mб0Математика. Часть 1.pdf
#
28.12.20251.69 Mб0Математика. Часть 2-1.pdf
#
24.11.20254.84 Mб0Математика. Часть 2.pdf
#
24.11.20251.69 Mб1Математика. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.6 Mб0Математика.pdf
#
28.12.20252.17 Mб0Математика_1.pdf
#
28.12.20251.51 Mб0Математика_2.pdf
#
28.12.2025883.18 Кб0Математика_3.pdf