Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Часть 2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

4.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 / 6351 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 > Следующая >>>

Ответы:				22.1 1)					3			;		2)			5				/ 6		; π3)		4				π(8							−7); 4)							18π;					5)			2	πR3							;			6)	64π/105;				7) 10;
									3																4									2																	2							3
								35																	3									2																	3							3
								35																	3																										3
																												4													22			π; 4)					55 / 3; π5)											πb5					16π	; 7) 32π;
8) 16/ 3; 9) 256π. 22.2 1) 16 / 315 ; 2)																												4			πr2				; 3)						22		2																	πb5			; 6)		16π
8) 16/ 3; 9) 256π. 22.2 1) 16 / 315 ; 2)																										15					πr2				; 3)					3																					2		; 6)		3
																										15														3																					2				3
8) 81π; 9) 16π. 22.3 1)														0;0;				3					; 2)									2																16		;	16		;	16										3			(0;0;3);
8) 81π; 9) 16π. 22.3 1)														0;0;				8		R			; 2)	0;0;								5	; 3) (0;3;0); 4)															5		;	5		;		5		; 5)					0;0;		2	; 6)		(0;0;3);
																		8														5																5			5				5									2
	0;0;		3						3
7)	0;0;		8	;	8) 0;0;				2		.
			8						2
								2			2				2			R2																			8π								32π
22.4 1) Iox = γ0πhR													h			+						; 2) Ixy							= Ixz =											, I yz			=					, Iox = 32π, Ioy													= Ioz = 34π ;
22.4 1) Iox = γ0πhR											3		h			+			2			; 2) Ixy							= Ixz =								3			, I yz			=			3		, Iox = 32π, Ioy													= Ioz = 34π ;
											3								2																		3									3

3) Ixy		=	πc5		, Ixz = I yz							=		πc5				, Iox = Ioy =									πc5										=		πc5			,	Io		=	3πc5				.
3) Ixy		=		5	, Ixz = I yz							=			20			, Iox = Ioy =											4			, Ioz					=			10		,	Io		=		10			.
				5											20														4											10							10
22.5 1) 19						π ; 2) 266; 3) 3π/ 2 . 22.6 1) 256kπ; 2) 5																																													πhr2						(2h2				+3r2 );
22.5 1) 19					2	π ; 2) 266; 3) 3π/ 2 . 22.6 1) 256kπ; 2) 5																																				/ 6 . π22.7 1)									πhr2						(2h2				+3r2 );
				6																																															60
2) Ixy		= 64, Ixz = 8; I yz											=18, Ix = 72, I y															= 82, Iz									= 26, Io = 90 ;
3) Ixy = Ixz					= I yz =			a5				, Ix = I y									= Iz =			a5					, Io =						a5			;
3) Ixy = Ixz					= I yz =			60				, Ix = I y									= Iz =			30					, Io =						20			;
								60																30											20
4) I	xy	= I		xz	= πa5		,	I		yz			= πa5						,		I	x	= πa5			,			I	y		= I			z		= πa5					. 22.8 x							= 0, y						c	= 0, z					c	= 3 a(1+cos α).
	xy			xz	12					yz						4						x	6							y					z					3								c							c						c		8
					12											4							6																	3																							8

Занятие 23. Криволинейные интегралы I рода

Аудиторные задания

23.1 Вычислить криволинейные интегралы по указанным кривым: 1) ∫xdl , где L – парабола y = x2 (1 ≤ x ≤ 2).

	L
2)	∫		dl		, где L – отрезок прямой y =		1	x − 2 , заключенный между точками A(0;−2) и
	L x − y					2
B(4;0).
	∫		sin3 x						π
3)						dl , где L – дуга косинусоиды		y = cos x 0 ≤ x ≤	.
3)		1+sin2 x				dl , где L – дуга косинусоиды		y = cos x 0 ≤ x ≤	.
	L	1+sin2 x							2
4)	∫			dl , где L – первая арка циклоиды x = a(t −sin t), y = a(1−cost), a > 0 .
4)	∫		2y
	L

5) ∫x2 ydl , где L – часть окружности, лежащая в первом квадранте.

229

∫xyzdl , где L – отрезок прямой между точками A(1;0;1)

и B(2;2;3).

от O(0;0;0) до

∫

, где L – дуга линии x = t,

y =

, z

2 ; 2 ;

x +3z

∫dl , где L – кардиоида ρ = a(1−cosϕ).

∫

(x + y)dl , где L – дуга лемнискаты Бернулли ρ2 = cosϕ, −

≤ ϕ ≤

y 2

10) ∫

+ y

sin 2ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ .

arctg

dl , где L – дуга кривой ρ = a

Домашние задания

23.2 Вычислить следующие криволинейные интегралы:

∫

где L – отрезок прямой y = 2x −2 , заключенный между точками A(0;−2) и

x + 2y +5

B(1;0).

∫

cos2 x

dl , где L – дуга синусоиды y = sin x (0 ≤ x ≤ π).

1+cos2 x

∫

, где L – отрезок прямой, соединяющий точки O(0;0)

и A(1;2).

x2 + y2 + 4

∫

ydx − xdy

, где L – окружность x = a cost, y = asin t

(в положительном направлении).

x2 + y2

x = a(cost +t sin t),

(0 ≤ t ≤ 2π).

∫

x2 + y2 dl , где

L – кривая

y = a(sin t −t cost),

∫

+ y

–

первый

виток

конической

винтовой

линии

2z −

dl , где

x = t cost, y = t sin t , z = t, 0 ≤ t ≤ 2π .

1 t2

∫xyzdl , где L – дуга кривой:

, (0 ≤ t ≤1).

x =

, y = t ,

z =

∫xy2dl , где L – отрезок прямой между точками O(0;0) и A(4;3).

∫

x2 + y2

dl , где L – верхняя половина кардиоиды ρ = a(1+cosϕ).

230

10) ∫(x + y)dl , где L – лепесток лемнискаты ρ = sin 2ϕ , расположенной в I координат-

ном углу.
Ответы: 23.1 1)											1	(17			−5					); 2)			ln 2 ; 3)					2	; 4)		4πa			; 5) 27; 6) 12; 7)				1		; 8)	8a;
											1		17					5				5						2					a					1
										24																		3
																																					2
																																					2
								2			3																									2			3
								2			3																									2			3
9)			2		;	10)	a		π		.	23.2		1)					5		ln6 ;	2)			π	;	3)		ln	3 + 5		; 4) − 2π; 5)			a		(1+ 4π2 )2				−1 ;
9)			2		;	10)		24			.	23.2		1)							ln6 ;	2)		2		;	3)		ln			; 4) − 2π; 5)			3		(1+ 4π2 )2				−1 ;
								24									5							2							2				3
	2					(1+				3				16										16a			2
	2			2						3				16		2								16a			2
6)		3					2π2 )2				−1 ; 7)			143				; 8) 45;				9)		3			; 10) 2.

Занятие 24. Криволинейные интегралы II рода Аудиторные задания

24.1 Вычислить криволинейные интегралы по указанным кривым:

1)	∫(xy −1)dx + x2 ydy от точки A(1;0) до точки B(0;2) по прямой 2x + y = 2.
	L
2)	∫xdx + ydy +(x + y −1)dz , где L – отрезок прямой, соединяющий точки A(1;1;1) и
	L

B(2;3;4).

3) ∫(xy −1)dx + x2 ydy , где L – дуга эллипса x = cost, y = 2sin t от точки A(1;0) до точки

B(0;2).

4) ∫2xydx + y2dy + z2dz , где L – дуга одного витка винтовой линии

x= cost, y = sin t, z = 2t; A(1;0;0); B(1;0;4π).

24.2Применяя формулу Грина, вычислить криволинейные интегралы:

1)	∫2(x2 + y2 )dx + (x + y)2dy ,			где L – контур треугольника с вершинами в	точках
	L
A(1;1), B(2;2), C(1;3), пробегаемый против часовой стрелки.
2)	∫	y	dx + 2ln xdy , где L	–треугольник, сторонами которого являются	прямые

	L x

y = 4 −2x; x =1; y = 0 .

3) ∫− x2 ydx + xy2dy , где L – окружность x2 + y2 = a2 (в положительном направлении).

24.3 Проверить зависимость интегралов от пути интегрирования:

231

1) ∫(x + 2x3 y2 − y4 )dx + (y2 −3x2 y3 + 4xy)dy .	2) ∫(4x3 −12x2 y)dx + (5y4 − 4x3 )dy .
L	L
3) ∫(xy3 + x2 − 2y2 )dx + (y5 −3x3 y2 + x4 )dy .
L

Домашние задания

24.4 Вычислить следующие криволинейные интегралы по указанным кривым:

1) ∫(x2 + y2 )dx + 2xydy , где L – дуга кубической параболы y = x3 , от точки O(0;0) до точ-

ки A(1;1).

2) ∫(x + y)dx + (x − y)dy , где L – дуга параболы y = x2 , лежащая между точками A(−1;1) и

B(1;1).

3) ∫xy2dx + yz2dy − x2zdz , где L – отрезок прямой OB, O(0;0;0), B(− 2;4;5).

4) ∫ y2dx + x2dy , где L – верхняя половина эллипса, пробегаемая по ходу часовой стрелки

x= acost, y = bsin t .

24.5Применяя формулу Грина, вычислить следующие криволинейные интегралы:

∫

1 arctg

dx +

arctg

dy , где L – замкнутый контур, составленный дугами двух ок-

ружностей

x2 + y2 =1; x2 + y2 = 4 (y > 0)

и отрезками прямых y = x

и y =

x (y > 0), за-

ключенных между этими окружностями.

∫ y2dx +(x + y)2dy ,

где L –

контур треугольника

ABC

с вершинами

A(a;0), B(a;a), C(0;a).

3) ∫y(1− x)2 dx + (1+ y2 )xdy , где L – окружность x2 + y2 = 4, пробегаемая в положитель-

ном направлении обхода.

24.6 Найти функцию z по ее полному дифференциалу:

exy ((1+ xy)dx + x2dy).

dz =

−

dx +

−

dy .

2) dz = sin(x + y)(dx + dy). 3)

232

<<< < Предыдущая 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 / 6351 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20252.13 Mб0Математика. Ч. 2.pdf
#
28.12.20252.23 Mб1Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf
#
24.11.20252.43 Mб0Математика. Часть 1.pdf
#
28.12.20251.69 Mб0Математика. Часть 2-1.pdf
#
24.11.20254.84 Mб0Математика. Часть 2.pdf
#
24.11.20251.69 Mб1Математика. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.6 Mб0Математика.pdf
#
28.12.20252.17 Mб0Математика_1.pdf
#
28.12.20251.51 Mб0Математика_2.pdf
#
28.12.2025883.18 Кб0Математика_3.pdf