Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Часть 2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

4.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 4950 / 6350 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 > Следующая >>>

						16(4			−1)			16								1				5			7
Ответы: 20.2 1) 18,5; 2) 0; 3)						16(4		2	−1)		; 4)	16	.		1) abc(a +b +c); 2)					1				5		; 3)	7	;
														20.3							ln 2 −
							5					5		20.3						2	ln 2 −						192
							5					5								2				8			192
			a2			b2									64		6			16(4			−1)
		2	a2			b2									64		6			16(4		2	−1)
4) 3π; 5) 11; 6)	πab				+		; 7)			431π		/ 420		; 8)		; 9)		;	10)						; 11) 30.
4) 3π; 5) 11; 6)	πab				+		; 7)			431π		/ 420		; 8)		; 9)		;	10)						; 11) 30.
				3											5		35				5
				3		2									5		35				5

20.4.

;

56. 20.5

; 2)

a3h / b ; 3)

1 ;

0; 5) a5 /15 ; 6)

; 7) 9; 8)

;

364

180

ln14 −

ln10 +

ln 2 .

Занятие 21. Замена переменных в тройном интеграле

Аудиторные задания

21.1 Вычислить тройной интеграл, переходя к цилиндрическим координатам:

∫∫∫(x2 + y2 + z)4 dxdydz

V :

z = x2 + y2, z = c (c > 0);

∫∫∫x2 y2 (1−2z)dxdydz

V :

x2 + y2 =1, z = x2 + y2, z = 0 ;

∫∫∫(5x −3z)dxdydz

V :

x2 + y2 =1, 2x −3y + z = 0, z = 4;

∫∫∫(R2 − x2 − y2 )4 dxdydz

V :

x2 + y2 = 2Ry, x2 + y2 = 4Ry, z = 0, z = 4 ;

∫∫∫(x2 + z2 )dxdydz

V :

2y = x2 + z2, y = 2 ;

∫∫∫(x + y + z)2 dxdydz

2Rz = x2 + y2, z =

V :

3R2 − x2 − y2

;

x2 + y2 = 2x, y = 0, z = 0, z = a ;

∫∫∫z

x2 + y2

dxdydz V :

∫∫∫x2 y2 dxdydz

V :

x2 + y2 ≤1, z ≤ x2 + y2, z ≥ 0 ;

∫∫∫(x2 + y2 + z2 )3 dxdydz

V :

x2 + y2 =1, y = 0, y =1.

21.2 Вычислить тройной интеграл, переходя к сферическим координатам:

z2 3

∫∫∫

dxdydz

V :

=1;

dxdydz

∫∫∫

(x2 + y2 + z2 )3

V :

x2 + y2 + z2 ≤ R2, z ≥ 0;

225

∫∫∫(x2 + y2 + z2 )n dxdydz

V :

x2 + y2 + z2 ≤ R2 ;

∫∫∫(x2 + y2 + z2 )3 dxdydz

V :

x2 + y2 + z2 ≤1;

z2 n

∫∫∫

V :

=1;

dxdydz

∫∫∫(3z2 − x2 − y2 )3 dxdydz

V :

x2 + y2 + z2 = 4 ;

∫∫∫(3z2 − x2 − y2 )dxdydz

V :

x2 + y2 + z2 = 2Rz ;

∫∫∫ dxdydz

V :

x2 + y2 + 4z2 =1.

Домашние задания

21.3 Вычислить тройной интеграл, переходя к цилиндрическим координатам:

∫∫∫z dxdydz

V :

z2 = x2 + y2, z = 0 ;

∫∫∫

xydxdydz

V :

z = x2 + y2, y ≥ 0, x ≥ y, z = 4 ;

(x2 + y2 )3

∫∫∫(x2 + y2 + z2 )dxdydz

V :

x2 + y2 = 4, x = 0, x = 3 .

21.4 Вычислить тройной интеграл, переходя к сферическим координатам:

x2 + y2 + z2 ≤ 9 ;

∫∫∫

x2 + y2 + z2

dxdydz

V :

∫∫∫(x2 + y2 + z2 )3 dxdydz

V :

x2 + y2 + z2 ≤10, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 ;

∫∫∫xyz2 dxdydz

V :

x2 + y2 + z2 =1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 ;

∫∫∫

dxdydz

V :

x2 + y2 + z2 ≤ R2, y = 0 (y ≥ 0).

x2 + y2 + z2 +1

Ответы: 21.1 1)

πc6 ; 2) π/160 ; 3)

−133π

; 4)

−78R4 ; 5) 16π/ 3; 6) πR5 (108

−97)/ 30 ;

7) 8a2

431π

4π

πR6

4π

R2n+3 ; 4)

/ 9 ;

8) π/ 32 ;

. 21.2

abc

;

; 3)

928 / 315π;

420

2n + 3

226

		4πabc					128π				64πR5		4
5)				;	6)				; 7)			; 8) 2π/ 3 . 21.3 1) a / 4π; 2)		; 3)	60π. 21.4 1) 81π;
		2n + 3					15				15		3

	5000				π	; 3)		1
2)			10							; 4) 2π(R − arctg R +1).

9105

Занятие 22. Приложения тройного интеграла

Аудиторные задания

22.1 Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями:

1) z = x2 + y2, z = 2x2 + 2y2, y = x2, y = x ;

2) z =

x2 + y2

, z + x2 + y2 = 2 ;

3) x2 + y2 = 2z, z =

8 − x2 − y2

;

4) x2 + y2 ≥ 4, 4z ≤16 − x2 − y2, z ≥ 0;

5) x2 + y2 + z2 ≤ R2,

x2 + y2 ≤

;

6) (x2 + y2 + z2 )3 = (x2 + y2 )2 ;

= xyz ;

z = y2 − x2, z =

0, y = 0, y = 2 ; 9) y = x2 + z2, y = 2 .

22.2 Вычислить массу тела с плотностью γ, ограниченного поверхностями:

x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z −2 = 0, γ = x2 yz ;

x2 + y2 + z2 ≤ r2,

z ≥ 0, γ = x2 + y2 ;

3)9x2 + 2y2 +18z2 =18, γ = (x2 + y2 )x22 + y2 9 + z2 ;

4)z = x2 +10y2, z = 20 − x2 −10y2 , γ в каждой точке равна квадрату расстояния от точки до оси OZ;

5) by = x2 + z2,

y = b, γ = x2 + z2 ;

6) x2 + y2 =1, z = 0, z = 2, γ = (x2 + y2 + z2 )2 ;

7) x2 + z2 = y,

y = 4, γ = x2 + y2 + z ;

8) x2 + y2 + z2 = 9, γ =

;

x2 + y2 + z2

z2 3

=1,

γ =

22.3 Определить координаты центра масс тела, если:

2) z =

, 4 −4z = x2 + y2, γ =1;

1) γ = C − const,

z =

R2 − x2 − y2

;

4 − x2 − y2

3) 4y = x2 + z2, y = 4 ;

4) x + y + z = 4, x = 0, y = 0, z = 0, γ = x + y + z ;

5) x2 + y2 = 9, z = 0, z = 3, γ = x2 + y2 ;

6) x2 + y2 = 4z, z = 0, z = 4, γ = z + x2 + y2 ;

227

7)	x2	+	y2	+	z2	=1, z = 0, γ = const ;	8) z2 − x2 − y2 = 0, z = 2, γ = const .
	4
		9		1

22.4 Вычислить момент инерции:

1)прямого кругового цилиндра высотой 2h радиуса R относительно диаметра среднего сечения, γ = γ0 ;

2)однородного тела относительно координатных плоскостей, координатных осей и нача-

ла координат, если V : z2 + y2 = 4, x = 0, x = 2 ;

3) V : x2 + y2 = z2 (z ≥ 0), z = C (C > 0).

Домашние задания

22.5 С помощью тройного интеграла найти объем тела, ограниченного поверхностями:

1)	x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 + z2 = 9, x2 + z2 = y2 (y ≥ 0);

2)	x2 + y2 =10x, x2 + y2 =13x, z =	x2 + y2	, z = 0, y ≥ 0;
3)	x2 + y2 = 2x, z = x2 + y2, z = 0 .

22.6 Найти массу тела, ограниченного заданными поверхностями (плоскостями) с плотностью γ:

1) x2 + y2 + z2 =16, γ = k x2 + y2 + z2 ;

2) z = 2 − x2 − y2, z2 = x2 + y2, z ≥ 0, γ =1.

22.7 Вычислить момент инерции:

1)круглого конуса относительно диаметра основания;

2)однородного тела, ограниченного указанными поверхностями, относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат

V : 2x +3y = 6, x = 0, y = 0, z = 0, z = 4 ;

3) V : x + y + z = a (a > 0), x = 0, y = 0, z = 0 ; 4) V : ax = y2 + z2, x = a .

22.8 Вычислить координаты центра масс тела, ограниченного сферой радиуса a и конической поверхностью с углом при вершине 2α, если вершина конуса совпадает с центром сферы (ось конуса принята за ось Oz, вершина помещена в начале координат).

228

<<< < Предыдущая 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 4950 / 6350 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20252.13 Mб0Математика. Ч. 2.pdf
#
28.12.20252.23 Mб1Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf
#
24.11.20252.43 Mб0Математика. Часть 1.pdf
#
28.12.20251.69 Mб0Математика. Часть 2-1.pdf
#
24.11.20254.84 Mб0Математика. Часть 2.pdf
#
24.11.20251.69 Mб1Математика. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.6 Mб0Математика.pdf
#
28.12.20252.17 Mб0Математика_1.pdf
#
28.12.20251.51 Mб0Математика_2.pdf
#
28.12.2025883.18 Кб0Математика_3.pdf