ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Аудиторные задания

14.1

Вычислить определенные интегралы:

9

3

3

x2dx

2

1

1/ x2

e

dx

e

cos ln x

x −1 dx ;

;

dx ;

;

dx ;

1)

∫

2)

∫

3)

∫

e

4)

∫

5) ∫

2

0

4 + x3

1

x3

1 x(1+ ln2 x)

1

x

π/ 4

2

5

9

y −1

9

dx

x dx

6)

cos x −cos3 x dx ;

7)

4 − x

2 dx ;

8)

;

9)

dy ;

10)

;

∫

∫

∫

∫

∫

2x + 3x +1

y + 2

1+ x

0

0

0

4

0

e

1

dx

π

π/ 2

dx

π/ 2

11)

∫ln x dx ;

12) ∫

;

13)

∫

(2x +1)cos x dx ;

14)

∫

;

15)

∫cos5 xsin 2x dx ;

1

0 x2 + 4x + 5

0

−π/ 2 1+ cos x

0

π/ 2

1

3

7x −15

1

t

5

+

1

2

2x −1

16)

∫e2x cos x dx ;

17) ∫arctg x dx ;

18)

∫

dx ;

19) ∫

dt ;

20)

∫

dx .

16 −t4

0

0

2 x3 − 2x2 + 5x

0

0

2x +1

Домашние задания

14.2

Вычислить определенные интегралы:

π/ 2

e

8

x dx

e3

dx

5

dx

1)

∫ xcos x dx;

2)

∫ x ln2 x dx ;

3)

∫

;

4)

∫

;

5) ∫

;

0

1

3

1+ x

1 x

1+ ln x

0

2x + 3x +1

e

π/ 3

x dx

2

3x7 − 2x5

+ x3 − x

π/ 2

dx

π/ 4

dx

6)

∫ln3 x dx ;

7)

∫

;

8)

∫

x4 + 3x2

dx ;

9)

∫

;

10)

∫

.

+1

+ 2cos x

1+ 2sin2 x

1

π/ 4 sin2 x

−2

0 3

0

45 ; 2) 1 ln 31

e −e1/ 4

2 4

4 ln(2 / 4

);

Ответы: 14.1 1)

; 3)

; 4) π/4; 5)

sin1; 6) −

2

+1; 7) π; 8)

7

2

3

2

4

3

4

3

9)

13

−6ln

5

9

3

+ln 4

11)

1;

12)

arctg3 −arctg 2 ;

13)

– 4;

14) 2;

15) 2/7;

2

3

; 10)

∫2

2

;

3

0

(eπ − 2)/ 5 ;

π

1

3

3

7π

3

7

1

16)

17)

−

ln 2 ;

18)

∫−3ln3 +

ln8 −

+6ln 2 −

ln5 +

arctg

;

4

2

2

2

16

2

4

2

19)

−

1

(31ln 3 −64ln 2)−ln 4

− 1 ;

20)

2 − ln 5 . 14.2

1)

π

−1 ;

2)

1

(e2 −

1) ;

3)

32

; 4) 2;

32

2

4

3

5

2

π(9 − 4

) +

1 ln

3

5)

1 ln112 ; 6)

6 − 2e ; 7)

3

; 8) 0; 9)

2

arctg

1

; 10)

π

.

36

2

5

2

5

5

3

3

Аудиторные задания

15.1 Найти площади криволинейных фигур, ограниченных линиями:

1)

y = ln x, x = e, x = e3, y = 0 ;

2) y = x2 + 2x, y = x + 2 ;

3)

y2 = x3, y =1, x = 0 ;

4)

y = x2 −64x, y = 0 ;

5)

y2 = 2 px,

x2 = 2 py ;

6)

x = a cos3 t,

y = asin3 t ;

7)

x = 2cost,

y = 2sin t ;

8) r = aϕ,

0 ≤ ϕ ≤ 2π;

9) r = a cosϕ;

10) x3 + y3 −3axy = 0 .

15.2 Найти длину дуги кривой:

1)

y2 = x3 ,

x = 5;

2) y = ln x,

≤ x ≤

;

3) y = ln cos x,

0 ≤ x ≤ π/ 4 ;

3

8

4)

7)

r = a(1+cosϕ) ;

8) ρ = ae

ϕ

в круге радиуса r = a ;

9)

x = t

2

, y = t −

1

t

3

.

3

1) y2 = 4x, x =1, Ox ;

2) y = ex , x = 0, x =1, y = x; Ox ;

3) y = x2,

y2 = x, Oy ;

4) y = 2x − x2,

y = 0,

Oy ;

5) x = a(t −sin t),

y = a(1−cost),

Oy .

Домашние задания

1)

y = sin x,

y = cos x,

y = 0, x

π

2)

y =

(x2 + 2x)e−x ,

y = 0 ;

0,

;

2

3)

x = 3t2 ,

y = 3t −t3 ;

4) x = t2 −1,

y = t3 −1;

5) r = asin 2ϕ.

15.5 Найти длину дуги кривой: