Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Часть 2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

4.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 4647 / 6347 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 > Следующая >>>

	3						7				x2				3				1
3)		3	ln	x −	3	−		x −	2	+C ; 4)		+ln	x	+		ln	x −1	+		ln	x +1	−ln	x −2	+ln	x + 2	+C ;
		3		x −	3			x −	2
	2										2				2				2
	2			x +	3		2 2	x +	2		2				2				2

5)12 ln x − 14 ln x2 + 2x + 2 − 12 arctg(x +1)+C ;

6)x +1211 ln x −2 − 1124 ln x2 + 2x + 4 − 4113 arctg x+31 +C ;

7)14 ln x − 16 ln x2 +1 + 241 ln x2 + 4 +C ; 8) x + 54 ln x −1 + 14 ln x +1 − 34 ln x2 +1 −arctg x +C ;

3x2 −12x +ln

x −1

−3ln

x +1

+ 2ln

x + 2

; 10) 4ln

−3ln

x −1

−

+C ;

x −1

arctg

3x −2

arctg

11)

8(x2 + 4)+C ; 12)

4(x2 + 2)+

+C .

11.3 1) 3x2 −12x + 2ln

x −1

−3ln

x +1

+10ln

x + 2

+C ; 2) ln

x +1

−ln

−

+C ;

2ln

x + 2

−

1 ln

−2x + 4

−

arctg

x −

+C ;

−ln

x +1

1 ln

−4x +13

+ 2arctg

x −2

+C ;

1 ln

x2 −1

+C ; 6) x2 + x + 4ln

x −1

+ln

x +3

−2ln

x −4

+C .

x2 + 4

Занятие 12. Интегрирование тригонометрических выражений

Аудиторные задания

	12.1 Найти неопределенные интегралы:
1)	∫sin5xsin3x dx ;	2)	∫cos8xcos3x dx ;
5)	∫cos5 3x dx ;	6)	∫sin4 2x dx ;
9)	∫cos2 xsin4 x dx ;	10) ∫tg3 2x dx ;

3)	∫sin 6xcos4x dx ;	4)	∫cos2 5x dx ;
7)	∫sin3 2xcos5 2x dx ;	8)	∫sin3 3xcos3 3x dx ;
11) ∫ctg4 x dx ;		12) ∫ sin2 x dx ;
			cos4 x

13)

∫

;

14)

∫

;

15) ∫

; 16)

∫

;

1+sin2 x

1+ tg x

sin2 x +8sin xcos x +12cos2 x

5 + 4sin x

17)

∫

; 18) ∫

; 19) ∫

sin3 x dx

;

20)

∫

cos5 x dx .

sin x

16sin

2 x + 25cos2

2 +3sin x + 2cos x

cos3 / 2 x

211

Домашние задания

12.2

Найти неопределенные интегралы:

1) ∫sin3 xcos8 x dx ;

2) ∫sin4 3xcos2 3x dx ;

3) ∫cos5 xsin x dx ; 4) ∫5

cos3 2x dx ;

sin3 2x

5) ∫

;

6) ∫

;

∫

;

8) ∫

;

3cos x −4sin x

16sin2 x −8sin xcos x

2 −

5sin x

1+3sin2 x

9) ∫cos

cos

dx ;

10) ∫tg4 x dx .

Ответы:

12.1

sin 2x

−

sin8x

+C ;

sin5x

sin11x

+C ;

3) −

cos2x

−

cos10x

+C ;

sin10x

+C ;

sin3x

−

2sin3 3x

sin5 3x

;

−

sin 4x

sin8x

+C ;

−

cos6 2x

cos8

+C ;

−

cos6x

cos3 6x

+C ;

−

sin 4x

−

sin3 2x

+C ;

144

2x +

cos2x

ctg3 x

+ctg x + x +C

tg3 x

10)

+C ; 11) −

; 12)

+C ; 13)

arctg

2x +C ;

tg x + 2

5tg

+ 4

14)

2 ln

tg x +

− 4 ln

x +

+ 2 x +C ;

15)

4 ln

tg x +6

+C ;

16)

3 arctg

+C ;

4tg x

1 ln

+ 2

17)

arctg

+C ; 18)

3tg

+ 2

+C ; 19)

cos3 x

+C ;

cos x

20)

2 sin3 / 2 x −

4 sin7 / 2 x +

sin11/ 2

x +C .

12.2	1)	− cos9 x	+ cos11 x	+C ;
		9	11

4) 165 5sin8 2x − 365 5sin18 2x +C ;

					x

	1			2tg		−5 −	21
7)	1		ln	2tg	2	−5 −	21	+C ;
					x
		21		2tg
		21				−5 +	21
					2	−5 +	21

10) 13 tg3 x + x − tg x +C .

2)				x		−		sin12x			−	sin3 6x		+C ;		3)		−	cos6 x		+C ;
2)		16				−			192		−	144		+C ;		3)		−	6		+C ;
		16							192			144							6
	1		tg			x	+3						1		2tg x −1
						x
						2
5)	5 ln									+C ;		6)	8 ln		2tg x		+C ;
5)	5 ln		tg		x		−		1	+C ;		6)	8 ln		2tg x		+C ;
			tg		2		−		3
8)			1 arctg2tg x +C ;											9)		1 sin x +		3 sin		2 x +C ;
		2														2		4		3

212

Занятие 13. Интегрирование иррациональных выражений

Аудиторные задания

13.1

Найти неопределенные интегралы:

2) ∫ 1

1) ∫

;

x −1

dx ;

∫

; 4) ∫

;

(5 + x)

+ x

x +1

x +

( x + 4) x

(1−6

∫

1+ x

dx ;

6) ∫

;

7) ∫

; 8)

∫

dx .

1+ x

2x +1 +3 2x +1

2x +3

13.2 С помощью соответствующих подстановок найти неопределенные интегралы:

1+ 4

∫

;

2) ∫

;

3) ∫

dx .

x11

1+ x4

13.3 С помощью тригонометрических подстановок найти неопределенные интегралы:

x2 dx

x2 + 4

x2 −1

; 5) ∫x3

1− x2

1) ∫

; 2)

∫

dx ; 3) ∫

; 4)

∫

1− x2

; 6) ∫

dx .

1− x2

x2 −4

Домашние задания

13.4 С помощью соответствующих постановок найти неопределенные интегралы:

x +1

1−

x +3

+ 6

x +

∫

dx ;

2) ∫

x +1

dx ;

3) ∫

dx ;

4) ∫

dx ;

(1+3

)

x(1+3

)

x(1+3

)

x + 2

x +1

x3 dx

∫

1+ x2

;

6) ∫

;

7) ∫

;

8) ∫

1− x2

dx .

(1+ x2 )3

1+ x2

−

Ответы: 13.1 1)

arctg

3 + x

+C ; 2)

x +1

x −1

−2arctg

x −1

+C ;

x +1

x +1 + x −1

66 x −6arctg 6

x +C ;

4) 6ln

−

+C ;

6 x

3 x

5)83 (1+ x)8 / 3 − 65 (1+ x)5 / 3 + 32 (1+ x)2 / 3 + 76 (1+ x)7 / 6 +C ;

6)2x +1 − 32 32x +1 +362x +1 −3ln 62x +1 +1 +C ; 7) 2x +3 −5ln2x +3 +5 +C ;

8)	3	x	2 / 3	−	18	x	5 / 6	+3x −	6	x	7 / 6	+C .
	2				5				7

213

13.2 1) −101 x14 +1 5 + 13 x14 +1 3 − 12 x14 +1 +C ; 2) 127 (1+ x1/ 4 )7 / 3 −3(1+ x1/ 4 )4 / 3 +C ;

+1 +C.

3) 63

+ 2ln

−1

−ln

(1+

− 2

arctg

13.3 1) 1 ln

1− x2

−1

x2 + 4

−2

+C ;

+C ; 2)

x2 + 4

+ln

+C ; 3)

x2 −1

−arctg

x2 −1

1− x

+ 4 + 2

(1− x2 )5 / 2

(1− x2 )3 / 2

1− x2

3 / 2

x +

x2 −4

4) ln

x x

−4 +C ;

−

+C ;

−

+C .

x − x2 −4

−

13.4 1) 2

x + 2

+C ;

x + 2

x + 2 +

2) − 32 3(x +1)2 +33x +1 +66x +1 −3ln 3x +1 +1 −6arctg 6x +1 +C; 3) 32 x2 / 3 +6arctg6x +C ; 4) 32 3x2 +66x −6arctg6x +C ;

−

+C ;

1+ x2

(1+ x2 )3

−

1+ x2

+C ;

8) −

−1 +arctg

−1 +C .

214

<<< < Предыдущая 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 4647 / 6347 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20252.13 Mб0Математика. Ч. 2.pdf
#
28.12.20252.23 Mб1Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf
#
24.11.20252.43 Mб0Математика. Часть 1.pdf
#
28.12.20251.69 Mб0Математика. Часть 2-1.pdf
#
24.11.20254.84 Mб0Математика. Часть 2.pdf
#
24.11.20251.69 Mб1Математика. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.6 Mб0Математика.pdf
#
28.12.20252.17 Mб0Математика_1.pdf
#
28.12.20251.51 Mб0Математика_2.pdf
#
28.12.2025883.18 Кб0Математика_3.pdf