Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Часть 2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

4.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 4546 / 6346 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 > Следующая >>>

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Занятие 7. Неопределенный интеграл. Метод непосредственного интегрирования

Аудиторные задания

7.1 Пользуясь свойствами неопределенного интеграла и таблицей основных неопределенных интегралов, найти следующие интегралы:

(

+ 2)(

−1)dx ;

(1+ 43

∫

dx ;

∫

5) ∫sin

dx ;

6) ∫

4x2 + 2x −3

dx ;

9) ∫cos4xcos8x dx ;

10)

∫

1+cos2 x

dx ;

1−cos2x

13)

∫

−

dx ;

14)

∫

dx ;

− x2

−1

1+ x

3e−x

; 18) ∫(1−

17)

∫ex

5 −

x )

dx ; 19)

∫

3) ∫	dx	;
	sin2 xcos2 x

7) ∫sin3xcos x dx ;

11)∫2x 1+ 42−x dx ;

	1+3x2
4) ∫	x2	(1+ 2x2 )dx ;
8) ∫(2x +3)3 dx ;
12) ∫		5 −sin3 x	dx	;
12) ∫		sin2 x	dx	;
		sin2 x

15)

∫ cos

−sin

dx; 16) ∫

dx;

x2 +1

6x4

−8x3 −4x2

+3x −

x −

dx ;

20)

∫

dx ;

3−x

−x

21)

∫

+ 3

;

22) ∫e

1− x

dx ;

23)

∫3

2 −

1+ x

;

+ 2cos2 x

+7x2

1− x2

6x +7

24)

∫

−

dx ;

25) ∫

dx ;

26)

∫

dx ;

1− x2

cos

1− x2 cos2 x

+ x

27)

∫(ch x +sh x)dx ;

28) ∫ 2 +7sh2 x dx .

sh2 x

Домашние задания

7.2 Пользуясь таблицей основных неопределенных интегралов и свойствами неопределенного интеграла, найти следующие интегралы:

1) ∫(x2 −4)(x + 2)dx ;

2) ∫

9x5 +12x4 −6x3 +7x2 −4x + 2 dx ; 3) ∫tg2 x dx ;

∫ex (3 +5e−x ctg2 x)dx ;

∫cos2

;

6) ∫

−

dx ;

(1−

7 +3cos2 x

∫

dx ;

∫

;

∫

dx ; 10) ∫

dx .

cos2 x

x2 +1

x2 −

204

																	x2				2																																	3
																							x3 −2x +C ;																																					x2 +C ;


Ответы:						7.1						1)							+		3									2)						ln			x				+ 243 x + 24																											3)			tg x −ctg x +C ;
Ответы:						7.1						1)					2		+											2)						ln			x				+ 243 x + 24																											3)			tg x −ctg x +C ;
	− 1			1													2							x			sin x		+C;							4x + 2ln														+ 3					+C; 7) −														1 cos2x − 1 cos4x +C;
4)			+				arctg									x +C;					5)					−							6)																x
														2


		x		2																			2				2				1 sin 4x +										1											x																	4						8				1 x +C;
8) 2x4 +12x3 + 27x2 + 27x +C;																											9)														1					sin12x +C;																				10)							−ctg x −
8) 2x4 +12x3 + 27x2 + 27x +C;																											9)													24						sin12x +C;																				10)							−ctg x −
																														8										24																																							2
11)		2x		+ 44						+C;					12) −5ctg x + 4cos x +C;																		13)				3arctg x −7arcsin x +C;																																14)			x +		1 ln				x −1			+C;

								x
		ln 2																																																																								2			x +1
15)		x +cos x +C;											16)					x3			− x +arctg x +C; 17)														5e			x		+					1			+C;						18)							x	−2x						3 / 2		+		3	x	2	−	2		x	5 / 2		+C;
15)		x +cos x +C;											16)				3				− x +arctg x +C; 17)														5e					+				x3				+C;						18)							x	−2x								+		2	x		−	5		x			+C;
																	3																											x3																												2				5
	2																																			5											2
			x3 −6																																																						x7 +
19)											x +C; 20) 2x3 −4x2 −4x +																			3ln				x																												33 x +C;
19)	3										x +C; 20) 2x3 −4x2 −4x +																			3ln				x	+ x +C;												21) 7															33 x +C;
	3			−e−x +arcsin x +C ;																											2 3x				+ x +C;												21) 7
22)				−e−x +arcsin x +C ;																			23)								2 3x				−arctg x +C ;																								24)										3arcsin x −5tg x +C ;
																															ln3
25)	3tg x + 2arcsin x +C ; 26) 6arctg x +7ln																														x	+C ; 27) ch x +sh x +C ;																																	28) −2cth x +7x +C .
25)	3tg x + 2arcsin x +C ; 26) 6arctg x +7ln																														x	+C ; 27) ch x +sh x +C ;																																	28) −2cth x +7x +C .
7.2	1)				x4				+		2	x	3		−2x				2	−8x +C ;							2)			3x		3	+		6x		2			−6x							+7ln						x			+		4			−		1				+C			;		3)			tg x − x +C ;
					x4						2		3						2													3					2																					4					1
				4							3																																															x						x2
				4							3											x			sin x										1							1							1									x						x2												2
	3ex −5ctg x
4)											−5x				+C ; 5)								+					+C;		6)				−				+								−					+C;								7) ln						x		−6					+3x −								x3	+C;
																																																																							x


																					2		2						x3						x2								x4						x6																											3
																					2		2												x2								x4						x6																											3
8) 7 tg x +3x +C; 9) x −arctg x																							+C;				10)			+ x +					1	ln				x −1								+C.
																																			1					x −1
																													3						2					x +1
																													3						2					x +1

Занятие 8. Интегрирование с помощью замены переменной. Метод подстановки Аудиторные задания

8.1

Найти неопределенные интегралы подведением (поднесением)

под знак дифферен-

циала:

∫cos x 2sin x dx ;

2) ∫

; 3)

∫

2x +3

dx ;

∫

4x + 4

dx ;

5) ∫ tg x dx ;

x(1+

2ln x)4

x2 +3x + 2

x2 + 2x

cos2 x

; 7) ∫xe−x

sin3 2x

xdx

∫

(1+ x2 )arctg x

dx ;

∫ cos4 2x dx

;

∫

;

10) ∫

xln 4x

1− x4

8.2

Найти интегралы, применив метод подстановки:

1) ∫x(3x + 4)5 dx ;

5) ∫ xdxx −1 ;

ln x

2 +ln2 x

2) ∫x 2x +3 dx ; 3) ∫

dx ;

6) ∫

xdx

;

7) ∫

sin xdx

;

x −1

1+ 2cos x

4)	∫		sin 2x		dx ;
4)	∫	4 +sin2 x			dx ;
		4 +sin2 x
8)	∫			dx		;

		x		x2 −a	2
		x		x2 −a	2

205

9) ∫

;

10)

∫ e

dx ;

11)

∫

21/ x

dx ;

12)

∫ cos(ln x)dx ;

1+ex

cos

(2x +1)dx

∫ ln x +1 dx ;

13)

∫

dx ;

14)

∫

;

15)

∫

;

16)

3x +1

2 −sin

x +1

xln x

17)

∫sin x + xcos x dx ;

18)

∫

; 19)

∫4x ln x (1+ln x)dx ;

20)

∫

2x −

arccos

x dx .

x2 sin2 x

1+ x2

1− x2

Домашние задания

8.3 Найти неопределенные интегралы подведением (поднесением) под дифференциал:

∫e4x-3dx ;

∫

cos2x

dx ;

∫x2e−x3 dx ;

1+sin2 2x

xdx

3x dx

∫x

x2 −4

dx ;

∫

;

∫

;

x2 +7

1+9x

8.4 Найти неопределенные интегралы методом подстановки:

1)	∫	4sin 2x dx	;	2)	∫	ln x +1		dx ;
		4 +sin2 x				1+ xln x

		x(2ln x +1)				1 x2
5)	∫		dx ; 6)		∫	2	dx ;
		4 + x2 ln x				x3

3) ∫1+dxex ;

7) ∫x(4x +5)3 dx ;

4) ∫ xdxln 2x ;

8) ∫x2 cos(3x3 +1) dx .

4)	∫		1+ x			dx ;
						dx ;

		1+			x
8)	∫				dx		.

			x	1−4ln2 x
			x	1−4ln2 x

Ответы:

8.1

2sin x

+С ;

−

+С ;

3) ln

x2 +3x + 2

+С ;

2ln

x2 + 2x

+С ;

ln 2

6(1+

2ln x)3

tg2 x

+С ;

arctg x

+С ;

−

-x2

С ;

−

+С ;

9) ln

ln 4x

+С ;

6cos3

2cos 2x

10)

1 arcsin x2 +С .

8.2

( 3x + 4 )7

− 2( 3x + 4 )6 +С ;

( 2x +3 )5 2

− ( 2x +3 )3 2

+С ;

1 (2 +ln2x)3 2 +С ;

4 +sin2 x

+С ; 7)

+С ;

2arctg

+С ;

(x −1)3

+ 2

−

+С ;

x −1

1+ 2cos x

−1

− 21 x

− 1 arcsin a +С ;

ex +1

+С ;

10) 2e

11)

+С ;

12) sin(ln x) +С ;

ex +1 +1

ln 2

1)3 2 −2(x +1)1 2 +С ;

2 ln

2 −sin

13)

−

+С ;

14)

+С ;

15)

3 (x +

ln 3

3x +1

206

207

																					1																									4xln x
16) ln					x ln x						+C ;		17)							−			+С	;		18)			−ln	1		+			1		+	1	+С ;		19)									+С ;
																														1					1
																					xsin x									x					x	2											ln 4
										+arccos2 x +С .											xsin x									x					x	2											ln 4

20) −2				1− x2
		1				4x−3			+С ; 2)				1		arctg sin 2x +С ; 3)										1		-x3													1		2			3 2
8.3 1)		1	e			4x−3							1											−	1	e	-x3	+С ; 4)		2			ln 2x +					С ; 5)		1	(x	2	−4)		3 2			+С	;
8.3 1)		4	e										2											−	3	e		+С ; 4)		2			ln 2x +					С ; 5)		3	(x		−4)					+С	;
		4											2												3															3
6)	1 ln		x2 +7							+С ; 7)					1		arctg3x +С ; 8)							1 sin(3x3 +1) +С .
															1

	2													ln3										9
	2													ln3										9
8.4			1)								4ln	4 +sin2x								+С ;			2)									+С ;						3)					x −ln1+ex							+С ;
8.4			1)								4ln	4 +sin2x								+С ;			2)				ln1+ x ln x					+С ;						3)					x −ln1+ex							+С ;
		2					3 2																					ln	4 + x	2	ln x													1				1 x2
		2					3 2																							2														1				1 x2
4)		3 x						− x + 4 x −4ln											x +1			+С ;		5)										+С ;				6)				−					2			+С ;
4)								− x + 4 x −4ln											x +1			+С ;		5)										+С ;				6)				−		2ln2			2			+С ;
																																												2ln2
7)	( 4x +5 )5							− 5( 4x +5 )4								+С		; 8)			1 arcsin 2ln x +С .
		80							64												2

Занятие 9. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле Аудиторные задания

9.1 Методом интегрирования по частям найти следующие неопределенные интегралы:

∫(2x +3)e4xdx ;

∫

ln 4x dx ;

∫xarctg2x dx ;

∫(x2 +1)cos(3x +1)dx ;

∫e−x cos2x dx ;

∫ln2 x dx ;

∫sin(ln x)dx ;

∫

ln x

dx ;

∫arcsin x

dx ;

∫ arcsin

10)

∫x2 3x dx ;

11)

;

12)

∫(3x +1)cos2 4xdx ;

1+ x

1− x

∫x2 ln(1+ x)dx ;

dx ;

∫x3 sin x2dx ;

13)

14)

∫

a2 + x2

15)

∫cos

dx ;

16)

17)

∫

xsin x

dx ;

18)

∫xarcctg

dx ;

19)

∫

xdx

cos2 x

Домашние задания

9.2 Найти следующие неопределенные интегралы методом интегрирования по частям:

∫(x2 + 2x)cos2x dx ;

∫e2x sin x dx ;

∫

xcos x

dx ;

∫arccos x dx ;

sin2 x

∫e

dx ;

arccos

dx ;

∫x3 cos3x dx .

∫xsin xcos x dx ;

∫

1− x2

Ответы:

9.1

1 (2x

+3)e4x −

1 e4x +C ;

2 x3 / 2 ln 4x −

4 x3 / 2 +C ;

arctg2x − 1 x +

1 arctg2x +C ;

(x2 +1)sin(3x +1)+ 2 xcos(3x +1)−

sin(3x +1)+C ;

e−x

(2sin 2x −cos2x)+C ; 6)

x ln2 x − x ln x + x + C ;

(sin ln x −cosln x)+C ;

ln x

−

+C ;

x +1arcsin x + 4 1− x +C ;

10)

−

+C ;

3 ln

ln 3

3x +1

11)

−2 1− x arcsin

x + 2

x +C ;

12)

sin8x +

cos8x +C ;

128

ln(1+ x)−

1 ln(1+ x)+C ;

+ a2 ln

x +

13)

−

14)

+ a2

x2 + a2

+C ;

cos x2

sin x2 +C ;

15) 2

x sin

x +cos

x +C ;

16) −

17)

−ln

+C ;

cos x

1 arcctg

18)

arcctg

−

+C ; 19)

x tg x +ln

cos x

+C .

9.2 1)

(x2

+ 2x)sin 2x +

(x +1)cos2x − 1 sin 2x +C

; 2)

e2x

(2sin x −cos x)+C ;

(

−1)+ C ;

1− x2

−

+ln

+C ; 4) xarccos x −

+C ; 5) 2e

sin x

cos2x + 1 sin 2x +C ; 7) −

arccos x − x +C ;

−

1− x2

sin3x +

cos3x −

xsin3x

−

cos3x +C .

Занятие 10. Интегрирование выражений,

содержащих квадратный трехчлен в знаменателе

Аудиторные задания

10.1

Найти неопределенные интегралы:

∫

;

2) ∫

;

3) ∫

;

4) ∫

;

∫

;

4x2 +13

x2 −81

5x2 −18

2 −10x + 41

x2 +12x +50

∫

; 7)

∫

; 8)

∫

; 9) ∫

x + 2

dx ; 10)

∫

6x +5

dx ;

2x2 −4x +3

2 +6x +5

4x2 +8x −3

2 + 4x −7

3x2 +5x −9

11) ∫

x +3

dx ; 12)

∫

x −5

dx ;

13)

∫

;

14) ∫

;

2 + 2x +5

x2 −4x

x2 +16x +5

12 + 4x + x2

208

15)

∫

;

16) ∫

;

17) ∫

(x −6)dx

;

18) ∫

(x +7)dx

;

2 +5x

7 + 4x −2x2

x2 +8x +17

x2 + 4x −7

19)

∫

(x +3)dx

;

20) ∫

(4x +5)dx

;

21) ∫

;

22) ∫

6 −3x − x2

7 −4x −2x2

(x −1) x2 − x + 2

(x + 2) x2

+ x +1

Домашние задания

10.2

Найти неопределенные интегралы:

1) ∫

;

2) ∫

;

3) ∫

;

4) ∫

;

2 +64

x2 −64

x2 −2x −4

3x2 −12x −14

5) ∫

;

6) ∫

(x + 2)dx

;

7) ∫

(x +3)dx

;

8) ∫

;

2 + x +3

x2 + 2x −3

x2 +8x + 25

10 −6x −3x2

9) ∫

;

10) ∫

(x −3)dx

;

11) ∫

(x +1)dx

;

12) ∫

x2 −6x

x2 −2x −9

10 −2x − x2

2x2 −4x +5

x −9

x −

Ответы:

10.1

arctg

+C ;

x +9

2 90

5x +

4) 1 arctg

x −5

+C ; 5)

arctg

+C ; 6)

arctg

(x −1)+C ;

(x +1)

2(x +1)−

1 ln

+C ; 8)

+C ; 9)

+C ;

arctg

+ 4x −7

3 2

4 7

2(x +1)+ 7

10)

3x2 +5x −9

+C ; 11)

1 ln

x2 + 2x +5

+arctg

x +1

+C ; 12)

1 ln

−4x

−

3 ln

x −4

+C ;

x + 5

x −2

+C ; 15) ln

13)

x +8 +

x2 +16x +5

+C ; 14) arcsin

+5x

+C ;

(x −1)

x + 4 +

+C ;

16)

arcsin

+C ; 17)

x2 +8x +17

−10ln

x2 +8x +17

3 arcsin 2x

18)

x2 + 4x −7

+5ln

x + 2 +

x2 + 4x −7

; 19) −

6 −3x − x2

+C ;

(x +1)

x +3

x2 − x + 2

20)

−2

7 −4x −2x2 +

arcsin

; 21) −

+C ;

4(x −1)

2(x −1)2

− x

x2 + x +1

x −8

22)

−

+C . 10.2. 1) 8 arctg

+C ;

;

2(x + 2)

3(x + 2)2

x +8

x −1−

(x −2)−

2x +1

+C ; 4)

+C ; 5)

arctg

+C ;

x −1+

(x −2)+

209

6) 1 ln

x2 + 2x −3

+ 1 ln

x −1

+C ; 7)

1 ln

x2 +8x + 25

−

1 arctg

x + 4

+C ;

x +3

(

x −1)

+C ;

arcsin

+C ; 9)

x −3

x2 −6x

+C ;

10)

x2 −2x −9

−2ln

x −1+

x2 −2x −9

+C ; 11) −

10 −2x − x2

12)

x −1+

x2 −2x + 5

+C .

Занятие 11. Интегрирование рациональных функций Аудиторные задания

11.1 Записать разложение рациональной дроби на простейшие в неопределенных коэффициентах:

3x −2

4x +5

x2 + 2x + 2

;

(x2 + x +1)(x −2)2

x3 −2x2

(x2 +1)2 (x −3)2

11.2

Найти неопределенные интегралы:

1) ∫

−1

dx ; 2)

∫

x2 − x + 4

dx ; 3)

∫

2x2 +3

; 4)

∫

x6 −2x4 +3x3 −9x2 + 4

dx ;

4x3

− x

+1)(x −2)(x −3)

−5x2

−5x3 + 4x

x3 +3

x4 +3x +1

5) ∫

; 6) ∫

dx ;

7) ∫

x(x2 +1)(x2 + 4);

8) ∫

dx ;

x3 + 2x2 + 2x

x3 −8

x4 −1

6x4

−3x2 +30

dx ;

10)

x + 2

; 11)

;

12)

(x +3)dx

∫

(x2

−1)(x + 2)

∫

∫ (x2

+ 4)2

∫

(x2 + 2)2

x −1

Домашние задания

11.3 Найти неопределенные интегралы:

		6x4 −21x2 +3x + 24				dx
1)	∫	(x2 + x −2)(x +1)	dx ;	2)	∫		;
						x3 + x2
		(9x −9)dx				5x dx
4)	∫	(x +1)(x2 −4x +13);		5)	∫			;
						x4 +3x2 −4

Ответы:

3) ∫ x2x−36+x8+8 dx ;

6) ∫ 2x4 −3x(3 2−21x2 −26) dx .

(x +3)x −5x + 4

A B

Cx + D Ex + F

Cx + D

11.1 1)

; 2)

x2 +1

; 3)

x −2

x −3

(x −3)2

(x2 +1)2

x −2

(x −2)2

x2 + x +1

11.2 1)

1 x +ln

−

2x −1

−

2x +1

+C ; 2)

1 ln

x +1

−2ln

x −2

5 ln

x −3

+C ;

210

<<< < Предыдущая 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 4546 / 6346 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20252.13 Mб0Математика. Ч. 2.pdf
#
28.12.20252.23 Mб1Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf
#
24.11.20252.43 Mб0Математика. Часть 1.pdf
#
28.12.20251.69 Mб0Математика. Часть 2-1.pdf
#
24.11.20254.84 Mб0Математика. Часть 2.pdf
#
24.11.20251.69 Mб1Математика. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.6 Mб0Математика.pdf
#
28.12.20252.17 Mб0Математика_1.pdf
#
28.12.20251.51 Mб0Математика_2.pdf
#
28.12.2025883.18 Кб0Математика_3.pdf