Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Часть 2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

4.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 4445 / 6345 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 > Следующая >>>

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Занятие 1.

Область определения и область значений функции нескольких переменных. Частные производные

Аудиторные задания

1.1 Найти область определения и область значений функций и изобразить их графически:

2) z = ln(y − x2 + 2x).

z =

9 − x2 − y2

;

1.2

Найти область определения функций и изобразить их графически:

z = arcsin(3 − x2 − y2 );

z =

x2 − 4

4 − y2

;

3) u =

1−

−

;

z = x + arccos y .

1.3

Найти пределы функций:

lim

sin(x2 y)

;

lim

sin(x + y −2)

;

lim

x2 + y2

;

4) lim

ex2 + y2 −1

xy2

(x + y)2

x2 + y2

x→0

→1

−4

x→0

x2 + y2 +1 −1

x→0

y→2

→1

y→0

1.4

Исследовать функции на непрерывность:

z =

xy +1

;

z =

x2 + y2 + 2

;

3) z =

;

4) z = e1/(x−y).

x2 − y

x2 + y2

x2 + y2 − 4

1.5

Найти частные производные функций:

z = x2 y3 + x2 + y +10 ;

z =

;

z = (x + 3y)sin

;

3xy

z = arctg

;

z = xy ;

z = xcos y .

Домашние задания

1.6

Найти область определения функций и изобразить ее графически:

z = ln(x2 + y2 − 4);

2) z = arccos

+arcsin

1.7

Найти пределы функций:

sin y(x2 + 2x −4)

lim

tg(x + y)ex−y

;

2) lim

x→1

− y

x→1

2)y

y→−1

y→0

195

1.8

Исследовать функции на непрерывность:

z =

x2 + y

2 +1

;

2) z =

(x − y)3

y − x2

1.9

Найти частные производные функций:

1) z = x

;

2) z = (5x2 y − y3 +7)3 ;

3) z =

+ tg2 y ;

4) z = x ex2 / y .

Ответы: 1.3 1) 0; 2) 1/4; 3) 2; 4) 1. 1.5 1)

∂z

= 2xy3 + 2x,

∂z

= 3x2 y2 +1;

∂x

∂y

∂z

−

= −

−

; 3)

= sin

+ (x +3y) cos

∂x

3yx2

∂y

3xy2

∂x

∂z

= −

= 3sin

+ (x +3y) cos

; 4)

;

x2 + y2

∂y

∂x

∂y

∂z

= y x y−1,

∂z

= x y ln x ; 6)

∂z

= cos y xcos y−1,

∂z

= −xcos y ln

sin y .

∂x

∂y

∂x

∂y

1.7 1)

; 2) −

. 1.9 1)

∂z

;

y −

∂x

33 x4

∂y

∂z

= 30xy(5x2 y − y3 + 7)2,

∂z

= 3(5x2 y − y3 + 7)2 (5x2 −3y2 );

∂x

∂y

∂z

2x2

∂z

y +

= −

+ 2tg y

; 4)

= e

= −

∂x

∂y

cos2 y

∂x

∂y

Занятие 2.

Полный дифференциал функции нескольких переменных и его применение. Частные производные и дифференциалы высших порядков

Аудиторные задания

2.1

Найти полный дифференциал функций:

1) z =

x − y

; 2) z = (x2 + y2 )exy ; 3) u = (xy)z ; 4) u =

x + y

y2 + z2

2.2

Вычислить приближенно:

1) 1,083,96 ; 2)

0,02

(4,05)2 +(2,93)2

; 3) arctg

;

5 e0,02 + 2,032

0,95

196

2.3

Найти частные производные второго порядка функций:

z = ex−2 y ; 2)

z =

; 3)

z = sin(xy); 4) z = ln(x2 + y2 ).

2.4

Найти полный дифференциал второго порядка функций:

z = sin(x +cos y).

z =

; 2) z =

; 3) z = ln

x2 + y

; 4)

(x − y)2

Домашние задания

2.5

Найти полный дифференциал функций:

;

z = exsin y ;

z = arctg

z =

x2 − y2

2.6

Вычислить приближенно:

1) 0,982,01 ;

2) ln(0,93 +0,093 );

(4,04)2 +(3,01)2

2.7

Найти частные производные второго порядка:

1) z = y ln x ;

2) z =

;

3) z = exy .

x − y

2.8

Найти полные дифференциалы второго порядка:

1) z = 3x2 y −2xy + y2 −1;

2) z =

;

3) z = ex2 −y3 .

Ответы: 2.1 1) dz =

dx −

dy ; 2)

dz = exy [(2x + x2 y + y3 )dx + (2y + x3 + xy2 )dy];

(x + y)

dz = (xy)z−1(zydx + zxdy + xy ln

dz); 4)

du =

−

xydy + xzdz

; 2.2 1) 1,32; 2) 4,998;

y2 + z2

(y2 + z2 )3

3) 0,02; 4) 3,037; 2.3 1)

∂2z

= ex−2 y ,

∂2z

4ex−2 y

∂

∂2z

= −2ex−2 y ;

∂y2

∂x

∂x∂y

∂y∂x

∂2z

; 3)

∂2 z

= −y2 sin(xy),

∂2 z

= −x2 sin(xy),

∂x2

x2 y2

∂x2

∂y2

x3 y ∂y2

3x ∂x∂y

∂y∂x

∂2 z

= cos(xy)− xysin(xy);

∂x∂y

∂y∂x

∂2 z

y2 − x2

∂2 z

x2 − y2

∂2 z

− 4xy

= 2

;

∂x2

(x2 + y2 )2

∂y2

(x2 + y2 )2

∂x∂y

∂y∂x

(x2 + y2 )2

197

2.4 1)

d 2z = −

dxdy +

dy2 ; 2) d 2z =

(dx2 −2dxdy + dy2 );

(x − y)

d 2z =

(2y −2x2 )dx2

−4xdxdy −dy2

; 4) d 2z = −sin(x +cos y)d 2x + 2sin(x +cos y) sin ydxdy −

2(x2

+ y)2

− (sin2 y sin(x + cos y)+ cos y cos(x + cos y))dy2 ; 2.5 1) dz =

dx −

dy ;

x2 − y2

= e

x sin y

sin ydx +e

x sin y

x cos ydy ; 3)

dz =

dx −

dy ;

2(x + y)

2.6 1)

0,96; 2) – 0,3; 3) 5,038; 2.7 1)

∂2z

= −

∂2z

;

∂x2

∂y2

∂x∂y

∂y∂x

∂2z

2y2

∂2z

2x2

∂2z

= −

2xy

;

∂x

(x − y)3

∂y2

(x − y)3

∂x∂y

∂y∂x

(x − y)3

∂2z

= y2exy ,

∂

= x2exy

∂2z

= exy (1+ xy);

∂x

∂y2

∂x∂y ∂y∂x

2.8 1)

d 2z = 6ydx2 + 2(6x −2)dxdy + 2dy2 ; 2) d 2z = −

dxdy +

dy2

;

d 2z = ex2 −y3 ((4x2 + 2)dx2 −12xy2dxdy + (9y4 −6y)dy2 ).

Занятие 3.

Производные сложных функций нескольких переменных. Производная функции, заданной неявно

Аудиторные задания

3.1 Найти указанные производные для функций:

z = x2

+ y2 + xy , если x = asin t, y = a cost,

−?

z = x2 ln y , если x =

−?

t2 +1, y = arcsint,

z = x2

, если y = sin x,

∂z

−?

∂x

z = 3x arctg

; если y = e−x ,

−?

∂z

−?

∂x

198

z = ln(u2 + v2 ), если u = xcos y, v = ysin x,

∂z

−?

∂z

−?

∂x

∂y

, если u = x y , v = x ln y,

∂z

−?

∂z

−?

z =

u2 −v2

∂x

∂y

z = cos xy , если x = u ev , y =

∂z

−?

∂z

−? .

∂u

∂v

3.2

Найти частные производные от неявно заданных функций:

x2 y − xy2 − xyz +6 − xyz3 = 0 ; 2)

=1;

= ln

+1; 4) x + arctg

= z ; 5)

zxy +cos z = 0 .

Домашние задания

3.3

Найти указанные производные для функций:

z = arctg

, если x = e2t+1, y = e2t−1,

−?

z = xsin(x + y), если

, y =

−1) ,

−

z = u2 ln v , если u =

, v = x2 + y2,

∂z

−?

∂z

−?

∂x

∂y

z = arcsin

, если x = u2 +v2, y = u v,

∂z

−?

∂z

−?

∂u

∂v

3.4

Найти частные производные от неявно заданных функций:

xyz = x + y + z ;

z3 −3xyz = a3 ; 3)

x + y + z = e−(x+y+z);

zexy + zxy2 = a2 .

Ответы:

3.1 1)

= a2 cos 2t ; 2)

2xt ln y

; 3)

∂z

= 2x;

= 2x +

cos x

;

t2 +1

1−t2

∂x

sin x

∂z

= 3x ln 3arctg

;

= 3x ln 3arctg

+3x

e−x ; 5)

∂z

cos y +

y cos x ;

∂x

y dx

1+ y2

∂x u2 + v2

u2 + v2

∂z

= −

x sin y +

sin x ; 6)

∂z

y x y−1 −

ln y ;

u2 + v2

∂y

∂x

u2 −v2

∂z

x y ln x −

; 7)

∂z

= −sin(xy) y ev −sin(xy) x

;

∂y

u2 −v2

2 −v2

∂u

199

∂z

= −sin(xy) y u ev +sin(xy) x

; 3.2 1)

∂z

2xy − y

2 − yz − yz3

∂z

−2xy − xz − xz3

;

∂v

∂x

xy +3xyz2

∂y

xy +3xyz2

∂z

;

∂z

= −

x2z

; 3)

∂z

;

∂z

; 4)

∂z

z2 + y2

;

∂z

;

∂x

x ∂y

z2 − x2 y

∂x

x + z ∂y

y(x + z)

∂x

z2 + y2 + y ∂y

z2 + y

+ y

∂z

= −

zxy y ln

;

∂z

= −

zxy xln

; 3.3 1)

2e2t

(x − y)

;

xyzxy−1 −sin z

+ y2

∂x

xyzxy−1 −sin z

∂y

= −3

sin(x + y)+ x cos(x + y)

+ 2x(t −1)cos(x + y);

∂z

y ln v

∂z

lnv

;

−

∂x

= 2u

;

∂y

∂z

;

−

;

−

∂u

− x

∂v

− x

3.4 1)

∂z

1− yz

;

∂z

1− xz

; 2)

∂z

;

∂z

; 3)

∂z

= −1;

∂z

= −1;

∂x

xy −1 ∂y

xy −1

∂x

z2 − xy ∂y

z2 − xy

∂x

∂y

∂z

= −

yzexy + zy

;

∂z

= −

xzexy + 2xyz

∂x

exy

+ xy2

∂y

exy

+ xy2

Занятие 4.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Производная по направлению. Градиент

Аудиторные задания

4.1 Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке:

	x2 + y2 + z2		= 26; M0 (3,4,1); 2)					x2		y2				(2,3,2); 3) ez − z + xy = 3; M0 (2,1,0);
1)							z =		+			; M0
1)							z =	4	+	9		; M0
								4		9

						(3,4,0); 5)	z = sin(xy);								π		3
		2		2
4)	z = xy − x	2	+ y	2	; M0						M0					,
4)	z = xy − x		+ y		; M0						M0		1,		3	,	2	.
															3		2

4.2Найти производную функции u = xy2 + z3 − xyz в точке M (1,1,2) по направлению вектора, образующего с координатными осями острые углы, если α = 60°, β = 45°?

4.3Найти производную функции u = x2 −2xz + y2 в точке M (1,2,−1) по направлению век-

тора MM1 , где M1 – точка с координатами (2,4,−3).

200

4.4	Найти градиент функций в указанных точках:
		xy			2x

1)	z = 4 − x2 − y2; M (1,2); 2) z =			; M (0,3); 3) z = e x2 +y2 ; M (1,1).
1)	z = 4 − x2 − y2; M (1,2); 2) z =	x2 + y2	+1	; M (0,3); 3) z = e x2 +y2 ; M (1,1).
		x2 + y2	+1
4.5	Найти наибольшую скорость возрастания функций в указанных точках:
1)	z = 5x2 + 6xy; M0(2,1); 2) u = xzyex+y+z ; M (1,1,−1).

Домашние задания

4.6 Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке:

1) x2 +3y2 −4z2 =15; M0 (2,−3,2); 2) 4y2 − z2 + 4xy − xz +3z = 9; M0 (1,−2,1); 3) z + x3 + y3 + z3 + xyz = 6; M0(1,2,−1).

4.7 Найти производную по направлению функции z = 5x2 −2y2 в точке M0 (2,5) по на-

правлению к точке N(−2,2).

4.8 Найти градиенты функций в указанных точках:

1) u = x3 + y3 + z3 −3xyz; M0 (2,1,−1); 2) u = x2 −arctg(y + z); M0 (2,1,1).

Ответы:

4.1 1) 3x + 4y + z = 26; x −3 = y −4 = z −1 ; 2) 3x + 2y −3z = 6; x − 2 = y −3 = z − 2 ;

					3			4					1								1				2/ 3		−1
3)	x + 2y = 4;	x − 2	=	y −1				=	z		; 4) 17x +11y −5z = 95;									x −3	=	y − 4		= −	z	;
	1				2			0										17			11				5
														π		z −
										x −1			y −	π			3						16
													y −
5)	πx +3y −6z −2π+3						= 0;					=	3		=	2			; 4.2 5; 4.3					;
						3							3			2
						3
											π		3			−6					3

4.4 1) grad z = −2i −4 j ; 2)

4.6 1) 2x −9y −8z −15 = 0;

3)x +11y + 5z −17 = 0;

		1		1
2) gradu = 4i	−		j −		k .
2) gradu = 4i	−	5	j −	5	k .
		5		5

grad z =

2e ;

i ; 3) grad z = −ej

; 4.5 1) 2 205 ; 2)

x − 2

y + 3

z − 2

; 2) 3x + 4y +5 = 0;

x −1

y + 2

z −1

;

−9

−8

x −1

y − 2

z +1

; 4.7 – 4; 4.8 1)

gradu =15i +9 j −3k ;

201

Занятие 5.

Экстремум и условный экстремум функции нескольких переменных

	Аудиторные задания
5.1	Исследовать на экстремум следующие функции:
1)	z = x3 + y3 −3xy ; 2) z = −4 +6x − x2 − xy − y2 ; 3) z = x3 + y3 ;
4)	z = 6x2 y3 −6x2 −9y2 +1; 5) z = x		− x2 − y +6x +3 .
		y
5.2	Найти условные экстремумы следующих функций:
1)	z = 2x + y , если x2 + y2 = 5 ; 2) z = xy +3x2 , если x + y +1 = 0 ;
3)	z = 2x2 +9y2 , если x2 +9y2 =1; 4) z = x2 + 2y2 , если 3x + 2y =11.
	Домашние задания
5.3	Исследовать на экстремум функции:
1)	z = x3 +8y3 − 6xy +1; 2) z = 3x2 y + y3 −18x −30y ; 3) z = (x −1)2 + 4y2 .
5.4	Найти условные экстремумы функций:
1)	z = xy, x + y =1; 2) z = exy , x + y =1; 3) z = xy, x2 + y2 = 8 .

Ответы:	5.1		1)	zmin = z(1,1)= −1;		2)		zmax = z(4,−2)= 8 ;					3) экстремума нет;
4) zmax = z(0,0)=1; 5)				zmax = z(4,4)=15; 5.2 1)					z(2,1)= 5 – условный max, z(−2,−1)= −5 –
условный min; 2)			z(0,25;−1,25)= −0,125 – условный min; 3) z(−1,0)= 2; z(1,0)= 2 – условный
	1			1					z(3,1)=11 – условный min;


max, z 0,−		=1	; z 0,		=1 – условный min; 4)
	3			3
5.3 1) zmin = z(1;0,5)= 0; 2) zmin = z(1;3)= −72; zmax = z(−1,−3)= 72 ; 3)													zmin = z(1;0)= 0 ;
						1		1			1
5.4 1) z(0,5;0,5)= 0,25 – условный max; 2)

							;			= e	4	– условный max;
											4
						z
						2		2

3) z(2;−2)= z(− 2;2)= −4 – условный min; z(− 2,−2)= 4 – условный max.

202

Занятие 6. Наибольшее и наименьшее значения

функции нескольких переменных в замкнутой области Аудиторные задания

6.1	Найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области:
1)	z = ex3 +3x2 +6 y2 , x2 + y2 ≤1; 2) z = x2 − xy + 2y2 +3x + 2y +1, x + y +5 = 0, x = 0, y = 0;
3)	z = x2 + 2xy −10, y = x2 − 4, y = 5; 4) z = x2 y(4 − x − y), x = 0, y = 0, x + y = 6 ;
5) z = x2 + y2, x2 + y2 ≤ 9 .
	Домашние задания
6.2	Найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области:
1)	z = x2 − xy + y2 −4x + 2y +5, x + y = 3, x = 0, y = −1;		2) z = x + y, x2 + y2 ≤1;
3)	z = x3 + y3 −3xy, x = 0, x = 2, y = −1, y = 2 ;	4) z = xy −2x − y, x = 0, y = 0, x + y = 8 ;

5) z =1+ 2x +3y, x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 6 .

Ответы:

6.1 1) zнаиб = z(0,1)= e6, zнаим = z(0,0)=1; 2) zнаиб = z(0,−5)= 41, zнаим = z(−2,−1)= −3;

3)	zнаиб = z(3,5)= 29, zнаим = z(−3,5)= −31; 4) zнаиб = z(2,1)= 4, zнаим = z(4,2)= −64 ;
5)	zнаиб = 9 (в точках окружности x2 + y2 = 9 ),									zнаим = z(0,0)= 0 ;
6.2 1) zнаиб = z(0,3)= 20, zнаим = z(2,0)=1;

		2		2				2		2
		2		2				2		2		2 ;
2)	zнаиб = z	2	;	2	=	2 , zнаим = z	−	2	;−	2	= −	2 ;
		2		2				2		2

3)zнаиб = z(2,−1)=13, zнаим = z(1,1)= z(0,−1)= −1;

4)zнаиб = z(3,5;4,5)= 4,25; zнаим = z(8,6)= −16 ; 5) zнаиб = z(0,6)=19, zнаим = z(0,0)=1.

203

<<< < Предыдущая 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 4445 / 6345 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20252.13 Mб0Математика. Ч. 2.pdf
#
28.12.20252.23 Mб0Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf
#
24.11.20252.43 Mб0Математика. Часть 1.pdf
#
28.12.20251.69 Mб0Математика. Часть 2-1.pdf
#
24.11.20254.84 Mб0Математика. Часть 2.pdf
#
24.11.20251.69 Mб1Математика. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.6 Mб0Математика.pdf
#
28.12.20252.17 Mб0Математика_1.pdf
#
28.12.20251.51 Mб0Математика_2.pdf
#
28.12.2025883.18 Кб0Математика_3.pdf