6.14 Системы линейных дифференциальных уравнений

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Часть 2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

4.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4344 / 6344 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 > Следующая >>>

Характеристическое уравнение:

Тогда y = C1e(2+23)x + C2e(2−23)x; y′ = C1e(2+23)x (2 + 23)+ C2e(2−23)x (2 − 23).

Имеем:


y = C1e(2+2				)x + C2e(2−2								)x; y′ = C1e(2+2							)x (2 + 2				)+ C2e(2−2				)x (2 − 2				)
		3									3							3								3
																						3								3
z = 2y − y′ = 2C1e(2+2									)x + C2e(2−2							)x −C1e(2+2					)x (2 + 2				)+ C2e(2−2				)x (2 − 2				)=
								3							3					3								3
																								3								3
= −C e(2+2			)x							e(2−2				)x 2
	3				2		−C						3
						3											3.
1					2

Таким образом, общее решение системы:

(2+2

(2−2

+ C2e

y = C1e

(2+2 3)x

(2−2 3)x

2 3 −C2e

2 3.

z = −C1e

λ2 −4λ −8 = 0; D =16 +32 = 48; λ =

Определение. Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она

линейна относительно всех неизвестных функций и их производных.
dy1		= a y + a y + + a y + f (x)
dx		11 1		12 2	1n n 1
		11 1		12 2	1n n 1
						(6.55)


dy	n = an1y1 + an2 y2 + + ann yn + fn (x)
	n = an1y1 + an2 y2 + + ann yn + fn (x)
dx
Одним из методов решения такой системы является метод Эйлера.
					Метод Эйлера
Рассмотрим систему вида:
dy		= a	y + a	z
		11	12			(6.56)
dx						(6.56)
dz		= a21 y + a22 z
		= a21 y + a22 z
dx
где a11, a12, a21, a22				– постоянные. Система (6.56) имеет фундаментальную систему реше-

ний, состоящую из элементарных функций. Основным методом построения фундаментальной системы решений (6.56) является метод Эйлера. Согласно этому методу, решение ищет-

ся в виде y(x) =α1 eλx , z(x) =α2 eλx . Дифференцируем обе функции по x и подставляем в

(6.56):

192

λx

= a α e

λx

+ a

λx

λα e

λx

11 1

λx

= a21α1e

+ a22α2e

λα2e

Сокращаем оба уравнения системы на eλx ≠ 0 :

(a11 −λ)α1 + a12α2 = 0						(6.57)
a	α + (a	22	−λ)α	2	= 0
	21 1

Так как α1,α2,λ – некоторые постоянные числа, подлежащие определению, среди которых хотя бы одно отлично от нуля, то определитель системы (6.57) должен быть равен нулю

(a11 −λ)	a12	= 0 .	(6.58)

a21	(a22 −λ)

Уравнение (6.58) называется характеристическим уравнением, а его корни – характеристическими числами системы (6.56). Каждому из корней характеристического уравнения соответствует хотя бы одно частное решение указанного выше вида. Различают три случая.

1) Оба корня			характеристического уравнения вещественны и	различны:
λ1,λ2 R,λ1 ≠ λ2 . Подставляем λ1 в одно из уравнений системы (6.57), например, в первое
уравнение: (a	−λ)α1 + a α1 = 0. Из него с точностью до константы определяем			α1,α1 , от-
11	1	12	2	1	2

куда получаем первое решение ЛОС ДУ: y1(x) =α11eλ1x , z1(x) =α21eλ1x . То же самое проделыва-

ем со вторым корнем характеристического уравнения λ2 и в результате получаем второе,

линейно независимое на , решение: y2 (x) = α12eλ2x , z2 (x) = α22eλ2x . Следовательно, общим решением системы (6.56) будет следующее семейство функций:

y(x) = c1α11eλ1x +c2α12eλ2x z(x) = c1α12eλ1x +c2α22eλ2x .

2) Если λ1 = a +ib – корень характеристического уравнения, то λ2 = a −ib . Подставляем λ1 в одно из двух уравнений системы (6.57) и с точностью до постоянной получаем

α1,α1

. Теперь можно составить первое решение системы (6.56):

λ1x

1 (a+ib)x

ibx

1 ax

(x)

y1(x) = α1e

= α1e

(cosbx +i sin bx) = y1

(x) +i y2

(x) .

z1(x) = α2e

(cosbx +i sin bx) = z1(x)

+i z2

Отделив вещественную и мнимую части, получим два вещественных линейно независимых частных решения системы (6.56), соответствующих корню a+ib. Решения, соответствующие корню a–ib, будут линейно зависимы с решениями, соответствующими крню a+ib.

193

Итак, общее решение в этом случае имеет вид: y(x) = c1 ~y1(x) +c2 ~y2 (x)

z(x) = c1 ~z1(x) +c2 ~z2 (x) .

3) λ1 = λ2 = λ .

В случае кратного корня характеристического уравнения предлагается представить

общее решение системы уравнений (6.56) в следующем виде:
	y(x) = eλx (c + c x), z(x) = eλx (a + a x) , где c ,c													2	,a ,a		2		– постоянные числа, причем					a
				1		2			1		2		1	2		1	2							1
и a2 должны быть выражены через c1 и c2 . Рассмотрим поясняющий пример.
Пример 29. Найти общее решение системы:
y′		= y − z
			y + 3z
z′ =			y + 3z
Решение.				y(x) = α eλ x , z(x) = α						2	eλ x . Характеристическое уравнение:
								1		2
	1−λ		−1
	1−λ		−1		= 0 .
	1		3 −λ
Его корни: λ						= λ	2	= 2 . Следовательно				y(x) = e2x (c + c x), z(x) = e2x (a + a x) .
				1			2									1			2			1	2
Продифференцируем y(x) и подставим y, z, y′														в первое уравнение исходной системы:
2e2x (c +c x) +c e2x						= e2x (c			+c x) −e2x (a + a			2	x) .
1		2	2					1	2		1	2
Откуда после сокращения на e2x получаем c +c															2	x + c		2	= −(a	+ a	2	x) .
													1		2			2	1		2
Приравняем в этом тождестве множители при одинаковых степенях x. В результате
получим:		a1	= −(c1 + c2 ),a2 = −c2 . Итак,								общее решение заданной системы уравнений имеет
вид:

y(x) = e2x (c1 + c2 x)

z(x) = −e2x ((c1 + c2 ) + c2 x),

где c1 и c2 – произвольные постоянные.

194

<<< < Предыдущая 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4344 / 6344 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20252.13 Mб0Математика. Ч. 2.pdf
#
28.12.20252.23 Mб1Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf
#
24.11.20252.43 Mб0Математика. Часть 1.pdf
#
28.12.20251.69 Mб0Математика. Часть 2-1.pdf
#
24.11.20254.84 Mб0Математика. Часть 2.pdf
#
24.11.20251.69 Mб1Математика. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.6 Mб0Математика.pdf
#
28.12.20252.17 Mб0Математика_1.pdf
#
28.12.20251.51 Mб0Математика_2.pdf
#
28.12.2025883.18 Кб0Математика_3.pdf