Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Часть 2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

4.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4243 / 6343 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 > Следующая >>>

дифференциального уравнения имеет вид: y2* =− x +3 . Общее решение исходного неоднородного дифференциального уравнения определяется суммой всех найденных функций

y = y + y1* + y2* = C1 e −x +C2 ex −sin x − x +3 .

6.12 Метод вариации произвольных постоянных

Метод вариации произвольных постоянных применим для функции f (x) любого ви-

да.

Рассмотрим уравнение (6.39): y′′+ прерывная).

Пусть нам известно общее решение

y′′+ a1y′+ a2 y = 0, y = c1y1 +c2 y2,

a1 y′+ a2 y = f (x) , где f (x)– любая функция (не-

однородного уравнения

(6.42)

где c1,c2 – произвольные постоянные, а y1 и y2 – частные решения уравнения. Будем искать частное решение уравнения (6.39) в виде

Y (x) = c1(x)y1 + c2 (x)y2 , (6.43)

т.е. в таком же виде, как общее решение (6.42), но только вместо произвольных постоянных подставим пока неизвестные функции. Найдем их. Поскольку Y (x) должно быть решением уравнения (6.39), то функции с1 и с2 связаны только одной зависимостью. Для того чтобы их найти, этого недостаточно. Поэтому мы вправе наложить на них еще одно условие.

Найдем производную Y ′(x) .

	′	′		′	′	′				(6.44)
Y (x) = c1 y1 + c2 y				2 + c1 y1		+ c2 y2				(6.44)
				′	имела бы такой же вид, как если бы с1 и с2					были бы посто-
Потребуем, чтобы Y (x)					имела бы такой же вид, как если бы с1 и с2					были бы посто-
янными. Отсюда следует:
c1′y1 + c2′ y2 = 0 .										(6.45)
Тогда Y ′(x) = c1 y1′ +c2 y′.										(6.46)
		′′
Найдем Y (x) .
Y ′′(x) = c1y1′′+ c2 y2′′ + c1′y1′ + c2′ y2′ .										(6.47)
Подставляя Y,			Y ′и Y ′′, определенные формулами (6.45), (6.46) и (6.47), в уравнение
(6.39), получим:
c1y1′′+ c2 y2′′ + c1′y1′ + c2′ y2′ + a1(c1y1′ + c2 y2′ )+ a2 (c1y1 + c2 y2 )= f (x)

		+ a2 y1			+ a1y2′		+ c1′y1′	+ c2′ y2′	= f (x) .
или c1 y1′′+ a1y1′		+ a2 y1	+ c2	y2′′	+ a1y2′	+ a2 y2	+ c1′y1′	+ c2′ y2′	= f (x) .

	=0				=0

188

Но y1 и y2 суть решения однородного уравнения, поэтому имеем

′ ′

′

(6.48)

c1 y1 + c2 y2 = f (x).

Таким образом, с1′ и с2′

определяются из (6.45) и (6.47), т.е. из системы уравнений

c1′y1 + c2′ y2

= 0

(6.49)

c1′y1′ + c2′ y2′

= f (x)

Эта неоднородная система линейных алгебраических уравнений относительно с1′ и с2′

с определителем ∆ =

y1′ y2′

Это определитель Вронского, по доказанному ранее

∆ ≠ 0 , поэтому система (6.49)

имеет единственное решение. Определяем с1′

и с2′ из (6.49) и, интегрируя их, найдем с1(x) и

с2 (x) , а затем и y(x).

Замечание. Если при интегрировании с1′ и с2′

ввести произвольные постоянные, то

сразу получим общий интеграл неоднородного уравнения (6.39).

Пример 27. y′′+ y = tg x .

Решение. Соответствующее однородное уравнение – y′′+ y = 0 .

Характеристическое уравнение: λ2 +1 = 0,

= i, λ

= −i .

Общее решение однородного уравнения

y* = c1 cos x +c2 sin x

y1 = cos x,

y2 = sin x .

Частное решение заданного уравнения ищем в виде

Y = c1(x)y1 +c2 (x)y2 = c1(x)cos x +c2 (x)sin x ,

где с1′(x) и с2′ (x)

определяются из системы:

c1′(x)cos x +c2′ (x)sin x = 0

−c1′(x)sin x +c2′ (x)cos x

= tg x

Отсюда c′(x) = −

sin2 x

, c′

(x) = sin x ;

∫

sin2 x

;

cos x

c (x) = −

cos x

dx = sin x

−ln tg

c2 (x) = ∫sin x dx = −cos x +c2 .

Общее

решение

будет

или

y = sin x

−ln tg

+c1

cos x +

(−cos x +c2 )sin x

y= c1 cos x + c2 sin x

π			x
− cos xlntg		+		.
	4		2

Y (x)

189

6.13 Системы дифференциальных уравнений

Определение. Нормальной системой дифференциальных уравнений

тема вида:

dy1	= f (x, y , y , , y )
dx	1	1	2	n
	1	1	2	n

dy2	= f2 (x, y1, y2, , yn )
	= f2 (x, y1, y2, , yn )
dx



dyn	= f	(x, y	, y	, , y	)
	n	1	2	n
dx

называется сис-

(6.50)

Для неё можно сформулировать теорему о существовании и единственности решения.

Теорема. Если функции fi (x, y1, y2, , yn ), i =1,n определены и непрерывны на неко-

	dfi
тором открытом множестве и имеют непрерывные частные производные	dfi	i, j =1,n ,
	dy j	i, j =1,n ,
	dy j
то система (6.50) имеет решение

y	= ϕ (x)
1	1
y2	= ϕ2 (x)
y2	= ϕ2 (x)	, i =1,n .
		, i =1,n .


	= ϕn (x)
yn	= ϕn (x)

При наличии начальных условий yi (x0 ) = y0, i =1,n ,

где x0, y0 – заданные числа, это решение будет единственным.

(6.51)

(6.52)

Одним из основных методов решения нормальной системы дифференциальных уравнений является метод сведения системы к одному дифференциальному уравнению высшего порядка.

Пусть задана нормальная система (6.50). Продифференцируем по x любое уравнение, например, первое:

d 2 y

∂f

dx2

∂x

∂y1

∂y2

Подставив в это равенство значениея производных dydx1 , dydx2 , из системы (6.50), по-

d 2 y

∂f

d 2 y

лучим

f +

+ или

= F (x, y , y

, , y

) .

dx2

∂x

∂y1

∂y2

dx2

190

Полученное равенство снова продифференцируем по x и снова, заменив производные

2 , , получим

d3 y

F (x, y , y

, , y

) .

1 ,

1 =

dx3

Продолжая этот процесс, находим

d m y

, , y

) , то есть получаем систе-

1 = F (x, y , y

dxn

му

dy1 = f

(x, y , y

, , y )

d 2 y

(x,

, ,

)

1 =

(6.53)

d n y1 =

(x,

, ,

)

Из первых (n –

1) уравнений системы (6.53)

выразим функции y2, y3, , yn через

′

′′

(n−1)

x, y1, y1,

y1, , y1

′

′′

(n−1)

)

y2 = ϕ2 (x, y1, y1,

y1, , y1

′

′′

(n−1)

)

(6.54)

y3 = ϕ3

(x, y1, y1, y1, , y1

′

′′

(n−1)

)

= ϕn (x, y1, y1, y1, ,

Найденные значения y2, y3, , yn

подставим в последнее уравнение системы (6.53).

Получим одно дифференциальному уравнение n-го порядка:

d n y1 = Φ(x, y1, y1′, y1′′, , y1(n−1)). dx

Пусть его общее решение y1 = Ψ(x,C1,C2, ,Cn ).

Продифференцировав его (n – 1) раз и подставив значения производных в уравнения

(6.53), найдем функции y2, y3, , yn .
	dy	= 2y − z
		= 2y − z
Пример 28.	Решить систему уравнений dx	.
	dz	= 4y + 2z
		= 4y + 2z
	dx

Решение. Продифференцируем первое уравнение y′′ = 2y′− z′. Заменим z′ его выражением из второго уравнения y′′ = 2y′−4y −2z . Из первого уравнения z = 2y − y′ . Подставим в последнее уравнение: y′′ = 2y′−4y + 2y′ или y′′−4y′−8y = 0.

191

<<< < Предыдущая 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4243 / 6343 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20252.13 Mб0Математика. Ч. 2.pdf
#
28.12.20252.23 Mб1Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf
#
24.11.20252.43 Mб0Математика. Часть 1.pdf
#
28.12.20251.69 Mб0Математика. Часть 2-1.pdf
#
24.11.20254.84 Mб0Математика. Часть 2.pdf
#
24.11.20251.69 Mб1Математика. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.6 Mб0Математика.pdf
#
28.12.20252.17 Mб0Математика_1.pdf
#
28.12.20251.51 Mб0Математика_2.pdf
#
28.12.2025883.18 Кб0Математика_3.pdf