Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Часть 2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

4.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 4142 / 6342 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 > Следующая >>>

ϕ′(y)= y12 ϕ(y)= ∫ dyy2 = − 1y + C .

Подставляя значение ϕ(y) в U (x, y), получаем общее решение исходного уравнения

2−3yx − 1y = C .

6.8Линейные однородные ДУ высших порядков. Определитель Вронского2x

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка:

y′′+ a1(x)y′+ a2 (x)y = 0 .	(6.30)
Установим некоторые свойства его решения.
Теорема. Если функции y1 = y1(x) и y2 = y2(x)	– частные решения уравнения (6.30),
то
y = c1y1(x)+c2 y2 (x),	(6.31)

где c1, c2 – произвольные постоянные, также является решением этого уравнения (6.30). Доказательство. Подставим выражение y и ее производных в рассматриваемое урав-

нение (6.30):

(c y

)″

+ a (x)(c y

+c y

)′ + a

(x)(c y

+c y

= c1y1′′+c2 y2′′ + a1(x)(c1y1′ +c2 y2′ )+ a2 (x)(c1y1 +c2 y2 )=

= c1(y1′′+ a1(x)y1′ + a2 (x)y1)+c2

(y2′′ + a1(x)y2′ + a2 (x)y2 )= c1 0 +c2 0 = 0.

Так как функции y1

и y2

– решения уравнения (6.30) и, следовательно, выражения в скобках

тождественно равны нулю. Таким образом,

y = c1y1 +c2 y2 также является решением уравне-

ния (6.30). Если

и y2

– решения уравнения (6.30), то решениями будут и

y = y1 + y2 и

y = cy1 . Функция (6.31) содержит две произвольные постоянные.

Определение. Функции y1 = y1(x) и

y2 = y2 (x) называются линейно независимыми

на интервале (a,b), если равенство

α1y1 +α2 y2 = 0

(6.32)

выполняется при α1 = 0 и α2 = 0 .

Определение. Если равенство (6.32) выполняется хотя бы при одном αi

≠ 0 , то функ-

ции y1 и y2 называются линейно зависимыми.

Очевидно, функции y1

и y2

линейно зависимы тогда и только тогда, когда они про-

порциональны:

= λ.

178

Средством изучения линейной зависимости системы функций является определитель Вронского Wx .

Для двух дифференцируемых функций Wx =						y1	y2	.
Для двух дифференцируемых функций Wx =						y1	y2	.
						y1′	y2′
Для n функций
	y1	y2		yn
	y1	y2		yn
	y1′	y2′		yn′
Wx =	y1′′	y2′′	yn′′		.

	y(n−1)	y(n−1)	y(n−1)
	1	2		n
Определение. Функции				y1, , yn линейно зависимы, если определитель Вронского

тождественно равен нулю.

Определение. Определитель Вронского не равен нулю, если частные решения (функции yi (x)) линейно независимы.

Определение. Совокупность линейно независимых на интервале (a,b) частных решений y1(x), , yn (x) образует фундаментальную систему решений, т.е. любое произвольное решение может быть получено как комбинация y = α1y1(x)+ +αn yn (x).

Теорема. Если частные решения y1 = y1(x), , yn = yn (x) образуют на (a,b) фундаментальную систему решений, то общее решение представляется в виде функции

y = c1y1 + +cn yn (x),

где ci – произвольные постоянные.

Пример 14. Показать, что функции y1 = e2x , y2 = xe2x , y3 = x2e2x образуют фундаментальную систему решений уравнения y′′′−8y = 0 .

Решение. Найдем определитель Вронского

e2x

Wx = 2e2x

4e2x

= e6x	1	x
= e6x	0	1
	0	4

xe2x				x2e2x
xe2x				x2e2x			1
(1+ 2x)e2x		(2x + 2x2 )e2x				= e6x	2
(4 + 4x)e2x		(2 +8x + 4x2 )e2x					4
x2	= e6x 1		1	2x	= e6x (2 +


2x
			4	2 +8x
(2 +8x)			4	2 +8x
(2 +8x)

x	x2
(1+ 2x)	(2x + 2x2 )	=
(4 + 4x)	(2 +8x + 4x2 )	.
8x −8x)= 2e6x.		.
8x −8x)= 2e6x.

Получим W (x)≠ 0 ни при каких x. Следовательно, данная система образует фундаментальную систему решений исходного уравнения.

179

6.9 Дифференциальные уравнения II порядка, допускающие понижение порядка

Рассмотрим частные случаи уравнений II порядка, допускающих «понижение» порядка, т.е. случаи, когда уравнение II порядка приводится к интегрированию двух уравнений первого порядка.

1) Правая часть не содержит y и y′
Пусть дано уравнение
y′′ = f (x) .	(6.33)
Положим y′ = z . Тогда y′′ = z′ и z′ = f (x) . Получили уравнение первого порядка. От-
сюда z = ∫ f (x)dx +c1 или y′ = ∫ f (x)dx +c1 . Имеем опять	уравнение первого порядка

y = ∫(∫ f (x)dx + c1)dx + c2

или

y = ∫(∫ f (x)dx)dx + c1x + c2 . Получили общее решение уравне-

ния (6.33).

Пример 15. Найти общее решение уравнения y′′

= cos 2x + x +5 .

Решение. Последовательно интегрируем исходное уравнение

y′ = ∫(cos2x + x + 5)dx =

1 sin 2x +

+ 5x + C1

5x2

sin 2x +

+ 5x + C1

cos2x +

+ C1x + C2 − общее решение.

= ∫

dx = −

2) Правая часть уравнения не содержит y

Пусть дано уравнение

′′

= f (x,

′

(6.34)

y ).

Положим

y′ = z , тогда для z имеем уравнение z′ = f (x, z) . Пусть его решение будет

z = ϕ(x,c1) . Следовательно, y = ϕ(x,c1) .

Отсюда

y = ∫ϕ(x,c1) dx +c2 . Это общее решение

уравнения (6.34).

Пример 16. y′′ = yx′ + x2 .

Решение.

Положим

z = y′ ,

тогда

z′ =

+ x2

и его решение

z =

+ 2c1x . Следова-

тельно,

y′ =

+ 2c1x и

+ 2c1x

+c2 или y =

+ c1x

+ c2 –

общее решение

y = ∫

уравнения (6.34).

3) Правая часть не содержит х

′′

′

(6.35)

= f (y, y ).

180

Положим y′ = z и будем считать z функцией y. Тогда

y′′ =

dy′

dx =

= z dy .

′′

Итак,

= z dy . Подставляя это в уравнение (6.35), получим:

z dy = f (y, z) , т.е. уравнение

первого порядка относительно z. Решив его, будем иметь z = ϕ(y,c

) или dy

= ϕ(y,c ) . По-

лучили уравнение с разделяющимися переменными. Отсюда

= dx .

(y,c )

x +c2 = ∫

– это общий интеграл уравнения (6.35).

ϕ(y,c )

Пример 17.

y′′ = −y .

Решение.

Положим

z = y

′

тогда

= −y

или

z dz = −y dy .

Отсюда

z dy

z2 = c

− y2; z = ±

= ±dx → arcsin

= c

c − y2

или

= ±

c − y2

;

± x

или

c1 − y

y= c1 sin(c2 ± x) – общее решение.

6.10Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка

спостоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами
y′′+ a1 y′+ a2 y = 0 .	(6.36)

где a1 и a2 – постоянные коэффициенты.

Найдем общее решение этого уравнения. Будем искать решение уравнения в форме

y = eλ x . Тогда y′ = λeλ x , y′′ = λ2eλ x . Подставляя это выражение в уравнение (6.36),					полу-
чим: eλ x (λ2 + a λ + a			2	) = 0. Но так как eλ x ≠ 0 , то
1
λ2 + a λ + a	2	= 0 .			(6.37)
1
Это уравнение по отношению к уравнению (6.36) называется характеристическим.
Если функция				y = eλ x есть решение уравнения (6.36), то λ должно быть корнем ха-
рактеристического уравнения (6.37).
Рассмотрим три возможные случая:

1)корни уравнения вещественны и различны λ1 ≠ λ2 .

2)корни вещественны и равны λ1 = λ2 .

3)корни комплексно сопряженные λ1 = α +βi, λ2 = α −βi .

181

1 случай. λ1 ≠ λ2 и действительные.

В этом случае функции eλ1x и eλ2x будут решениями уравнения (6.37). Так как их от-

ношение eλ1x = e(λ1 −λ2 )x ≠ const , то эти решения линейно независимы и, следовательно, они eλ2 x

составляют фундаментальную систему. А поэтому общее решение уравнения (6.37) в этом случае будет

	y = c eλ1x + c		2	eλ2x .			(6.38)
	1		2
	Пример 18.		y′′−2y′−3y = 0 .
	Решение.	Характеристическое					уравнение будет λ2 −3λ + 2 = 0 . Его корни
λ =1,	λ = 2 . Общее решение будет				y = c ex +c e2x .
1	2					1	2
	2 случай. Корни равны λ = λ				2	= −	a1	.
	2 случай. Корни равны λ = λ					= −		.
				1			2
							2

В этом случае имеем пока только одно решение y1 = eλ1x . Покажем, что вторым ре-

шением будет y2 = xeλ1x . Действительно,

y2 = xeλ1x , y2′ = eλ1x + λ1xeλ1x , y2′′ = 2λ1eλ1x + λ21xeλ1x .

Подставив это в левую часть уравнения (6.37), получим

2λ e

λ x

) + a

λ x

= e

λ x

+ a λ + a

2λ + a

= 0 , так

+ λ xe

+ a (e 1

+ λ xe 1

xe 1

1 1

как λ

есть корень уравнения (6.37), и потому, что

= −

. А это значит, что

= xeλ1x

есть решение уравнения (6.37), что и требовалось доказать.

Итак, мы имеем два решения y1 = eλ1x и y2 = xeλ1x . Они линейно независимы, следовательно, образуют фундаментальную систему решений. Поэтому общий интеграл будет y = c1eλ1x + c2 xeλ1x = (c1 + c2 x)eλ1x .

Пример 19. y′′−4y′+ 4 = 0 .

Решение. Характеристическое уравнение λ2 −4λ + 4 = 0 . Корни λ1 = λ2 = 2 . Общее решение y = (c1 + c2 x)e2x .

3 случай. Корни характеритического уравнения комплексно сопряженные: λ1 = α +βi, λ2 = α −βi . Следовательно, имеем два комплексных линейно независимых ре-

шения y1 = e(α+iβ)x , y2 = e(α−iβ)x .

182

Общее решение будет		y = c e(α+iβ)x + c					2		e(α−iβ)x = eα x (c eiβ				+ c−iβ)		, где c и		c		– ком-
					1		2					1		2		1			2
плексные числа. Выразим					eβi	и			e−βi	по		формулам			Эйлера.				Тогда
y = eα x {c (cosβx +i sinβx) +c		2	(cosβx −i sinβx)}= eαx{cosβx(c + c										2	) + sin	βx(i c	−i c		)}
1		2										1	2		1	2
Положим здесь с =	A − Bi			,	c =	A + Bi		. Тогда c		+ c	2	= A,	i (c − c ) = i (−Bi) = B .
Положим здесь с =				,	c =			. Тогда c		+ c		= A,	i (c − c ) = i (−Bi) = B .
1		2			2	2			1					1	2
		2				2

Поэтому y = eα x {Acosβx + Bsin βx}= Aeα x cosβx + Beα x sin βx .

Таким образом, в случае комплексно сопряженных корней характеристического уравнения, исходное уравнение (6.36) имеет два линейно независимых вещественных решения

y	= eα x cosβx, y	2	= eα x sin βx .
1		2
	Общее решение имеет вид:			y = eα x (c cosβx +c		2	sinβx) .
				1		2
	Пример 20.		y′′−6y′+15y = 0 .
	Решение. λ2 −6λ +15 = 0			λ = 3 + 2i,	λ = 3 −2i (α = 3, β = 2) .
				1	2
	Общее решение: y = e3x (c cos 2 x +c sin 2 x) .
			1	2

6.11Линейные неоднородные дифференциальные уравнения II порядка

спостоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение

y′′+ a1y′+ a2 y = f (x) ,

(6.39)

где a1 и a2 – заданные постоянные коэффициенты, f (x) – заданная функция.

Общее решение такого уравнения складывается из общего решения

соответст-

y (x)

вующего однородного уравнения

y′′+ a1y′+ a2 y = 0

(6.40)

и какого-нибудь частного решения y *(x)

уравнения (6.39), т.е.

y =

+ y *(x) .

(6.41)

y(x)

Выбор выражения для y *(x) осуществляется в зависимости от правой части f (x) и

корней λi

характеристического уравнения. Рассмотрим частные случаи.

f (x)= Pn (x) – многочлен n-го порядка и λi ≠ 0 . Тогда y* = Qn (x) – многочлен с бу-

квенными коэффициентами того же n-го порядка.

(x)= P (x) и есть

= 0. Тогда

y* = Q

(x) xk , где k – число корней λ

= 0.

(x)= P (x) eαx , и

≠ α . Тогда

y* = Q

(x) eαx .

183

4) f (x)= P (x) eαx , есть	λ	i	= α. Тогда	y* = Q (x) eαx xk , где k – число корней
n		i		n

λi = α .

5)f (x)= eαx (Pn (x)cosβx + Rm (x)sinβx) и λ1,2 ≠ α ±βi .

Тогда y* = eαx (Qq (x)cosβx + Dq (x)sinβx), где q = max{n;m}.

6) f (x)= eαx (P	(x)cosβx + R	(x)sinβx) и λ	= α ±β	.
n	m	1,2	i
Тогда y* = x eαx (Q (x)cosβx		+ D (x)sinβx).
	q	q

Дальнейшее решение осуществляется в следующей последовательности:

•От выбранного выражения y* берем все нужные для исходного уравнения производные и подставляем в исходное неоднородное уравнение.

•Затем составляем систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов. Система получается путем приравнивания коэффициентов при одинаковых функциях слева и справа от знака равно.

•Решая систему, определяем неизвестные коэффициенты и подставляем их в выражение для y*.

•Наконец, записываем общее решение.

Пример 21. Решить дифференциальное уравнение y′′+ y′−6y = x +1.

Решение. Общее решение ищется по формуле y = y + y * .

Для однородного уравнения имеем λ2 + λ − 6 = 0; λ

= −3; λ

= 2; y = c e−3x + c e2x

Частное

решение

исходного неоднородного

уравнения

ищем

y* = Ax + B; λi

≠ 0 . Тогда

′

′′

y* = A; y* = 0; A −6Ax −6B = x +1;

− 1

−6B =1, 6B = − 7 , B = −

: A −6B =1

: −6A

A = −

Следовательно, y* = − 16 x − 367 .

Общее решение: y = y + y* = c1e−3x +c2e2x − 16 x − 367 .

Пример 22. Найти общее решение дифференциальное уравнения y′′− y′ = x2 +1.

Решение. Для однородного уравнения имеем λ2 − λ = 0; λ(λ −1)= 0; λ1 = 0; λ2 =1.

Общее решение однородного уравнения: y = c1 +c2ex .

виде

184

y* = (Ax2 + Bx + C) x = Ax3 + Bx2 + Cx , так как есть λ1 = 0 .

		′	= 3Ax	2	+ 2Bx		′′
y*							+C; y*	= 6Ax + 2B . Следовательно,
6Ax + 2B −3Ax2 −2Bx −C = x2 +1
x	0						C = −3
		: 2B −C =1
x1		: 6 −2B			= 0	B = −1

x2		: −3A =			1		A = −	1
								3

Тогда y* = −13 x3 − x −3.

Общее решение: y = y + y* = c1 +c2ex − 13 x3 − x −3 .

Пример 23. Найти общее решение дифференциальное уравнения 2y′′−3y′+ y = xe4x .

Решение. Для однородного уравнения имеем 2λ2 −3λ +1

= 0;

=1;

= 1 .

y = c ex

+c e2 x ;

y* = (Ax + B) e4x .

У нас λi

≠ 4.

′

= Ae

(Ax + B) 4e

= e

(A +

4A + 4B);

′′

(A + 4Ax + 4B)+ e

4A = e

(4A +16Ax +16B + 4A).

y* = Ae

Подставляем в исходное неоднородное уравнение:

e4x (8A + 32Ax + 32B + 4A)− e4x (3A +12Ax +12B)+ e4x (Ax + B)= xe4x;

8A + 32Ax + 32B + 4A −3A −12Ax −12B + Ax + B = x;

:8A +

+ 21B = 0

32B + 4A −3A −12B + B = 0

A =

, B = −

21A =1

441

: 32A −12A + A =1

Тогда y* =

−

e4x .

441

1 x

Общее решение: y = y + y* = c ex

+c e2

x −

e4x .

441

Пример 24. Найти общее решение дифференциальное уравнения y′′− y = 8ex .

Решение. Имеем λ2 −1 =

0; λ

= ±1;

y = c ex + c e−x

;

y* =

A ex x , так как есть

1,2

′

= Ae

+ Ax e

= e

′′

= e

(A + Ax)+ e

A = e

(2A +

Ax);

λ1 =1 = α. y*

(A + Ax); y*

ex (2A + Ax)− Axex = 8ex; 2A + Ax − Ax = 8; 2A = 8; A = 4 y* = 4x ex .

Общее решение:

y = y + y* = c ex

+c e−x + 4xex .

185

Пример 25. y′′+ y = 4xsin x .

Решение. Характеристическое уравнение: λ2 +1 = 0, λ1 = i, λ2 = −i . Следовательно,

Y *(x) = x[(Ax + B)cos x +(Cx + D)sin x]= (Ax2 + Bx)cos x +(Cx2 + Dx)sin x . Отсюда y*′ = (2Ax + B)cos x + (Ax2 + Bx)(−sin x)+(2Cx + D)sin x + (Cx2 + DX )cos x =

=cos x(2Ax + B +Cx2 + Dx)+sin x(2Cx + D − Ax2 − Bx) y*′′ = −sin x(2Ax + B +Cx2 + Dx)+cos x(2A + 2Cx + D)+ +cos x(2Cx + D − Ax2 − Bx)+sin x(2C −2Ax − B)=

=cos x(2A + 2Cx + D + 2Cx + D − Ax2 − Bx)+sin x(2C −2Ax − B −2Ax − B −Cx2 − Dx)= cos x(2A + 4Cx + 2D − Ax2 − Bx)+sin x(2C −4Ax −2B −Cx2 − Dx).

Подставляем найденные выражения для y *′′ и y * в исходное уравнение:

cos x(2A + 4Cx + 2D − Ax2 − Bx)+sin x(2C −4Ax −2B −Cx2 − Dx)+ +cos x(Ax2 + Bx)+sin x(Cx2 + Dx)= 4xsin x

или:

cos x(2A + 2D + 4Cx − Ax2 − Bx + Ax2 + Bx)+sin x(2C −4Ax −2B −Cx2 − Dx +Cx2 + Dx)= 4xsin x

Имеем:

cos x(2A + 2D)+ x cos x(4C)+sin x(2C − B)+ xsin x(−4A)= 4xsin x .

Приравниваем коэффициенты при одинаковых функциях:

cos x : 2A + 2D = 0				D =1
x cos x : 4C = 0				C = 0

sin x : 2C −2B	= 0			B = 0

xsin x = −4A = 4				A = −1

Следовательно,	y* = −x2 cos x + xsin x .
Общее решение исходного уравнения:
y = y + y* = C ex +C			e−x − x2 cos x + xsin x .
1		2

Принцип суперпозиции частных решений

Если при решении линейных неоднородных диференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами правая часть представляет собой сумму (разность) различных функций, то имеет место следующая теорема.

Теорема. Частное решение уравнений с постоянными коэффициентами вида

y′′+ p y′+ q y = ∑ f i (x) ищется в виде суммы частных решений

i =1

186

y* = ∑yi* = y1* + y2* +...+ yn* , которые являются частными решениями уравнений

i =1

y′′+ py′+ q y = f i (x) (i =1,n) .

Пример 26. Решить дифференциальное уравнение 2-го порядка y′′− y = 2sin x + x −3 . Решение. Согласно изложенной методике найдем решение однородного уравнения. Характеристическое уравнение имеет вид k2 −1 = 0 . Корни уравнения в этом случае

вещественные и равны k1,2 = ±1, следовательно, два частных линейно-независимых решения однородного уравнения имеют вид y1 = e−x и y2 = ex . Тогда общее решение с постоянными коэффициентами в данном случае будет иметь вид: y = C1 e −x +C2 ex .

Проанализируем правую часть данного уравнения, которая состоит из суммы двух функций, первая из которых равна f 1(x) = 2sin x , а вторая f 2 (x) = x −3. Согласно принци-

пу суперпозиции частных решений частное решение данного уравнения будем искать в виде

y = y + y* , причем первое частное решение удовлетворяет уравнению с правой частью,
1	2
равной	2sin x , а второе частное решение – уравнению с правой частью x −3 . Для
f 1(x) = 2sin x имеем:

y* = Acos x + Bsin x .

Найдем первую и вторую производные этой функции и подставим найденные функ-

ции в исходное уравнение:

− Acos x −Bsin x − Acos x − Bsin x = 2sin x или − 2 Acos x − 2 B sin x = 2sin x .

sin x : − 2 A =10

Сравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, находим

cos x : 2B = 0

Решаем

эту

систему и

определяем неизвестные коэффициенты: A = 0 ,

коэффициент

B = −1. Таким образом, частное решение рассматриваемого первого неоднородного диффе-

ренцального уравнения имеет вид: y* = −sin x . Решаем второе уравнение для

(x) = x −3 . В

этом случае

y2* = A x + B; y2*′ = A; y2*″ = 0 . После подстановки в рассматриваемое уравнение

получаем:

− A x − B = x −3.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях аргумента находим

x : − A =1

Решаем

эту систему и

определяем неизвестные

коэффициенты:

: − B = −3

A = −1,

а коэффициент

B = 3 .

Таким образом,

частное решение второго неоднородного

187

<<< < Предыдущая 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 4142 / 6342 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20252.13 Mб0Математика. Ч. 2.pdf
#
28.12.20252.23 Mб1Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf
#
24.11.20252.43 Mб0Математика. Часть 1.pdf
#
28.12.20251.69 Mб0Математика. Часть 2-1.pdf
#
24.11.20254.84 Mб0Математика. Часть 2.pdf
#
24.11.20251.69 Mб1Математика. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.6 Mб0Математика.pdf
#
28.12.20252.17 Mб0Математика_1.pdf
#
28.12.20251.51 Mб0Математика_2.pdf
#
28.12.2025883.18 Кб0Математика_3.pdf