При n = 0 уравнение Бернулли превращается в линейное неоднородное уравнение. При n =1 оно превращается в линейное однородное уравнение.

Таким образом, уравнение Бернулли служит некоторым обобщением линейных урав-

нений, в общем случае оно является нелинейным дифференциальным уравнением (при n ≠ 0

6.7 Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Определение. Если в уравнении

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (6.24)

левая часть есть полный дифференциал некоторой функции U(x,y), то оно называется уравнением в полных дифференциалах. Это уравнение можно переписать в виде du(x,y)=0, следовательно, его общий интеграл есть u(x,y)=c.

Например, уравнение xdy+ydx=0 есть уравнение в полных дифференциалах, так как его можно переписать в виде d(xy)=0. Общим интегралом будет xy=c.

174

Теорема. Предположим, что функции M и N определены и непрерывны в некоторой односвязной области D и имеют в ней непрерывные частные производные соответственно по y и по x. Тогда, для того, чтобы уравнение (6.24) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество

Доказательство. Доказательство необходимости этого условия очевидно. Поэтому докажем достаточность условия (6.25). Покажем, что может быть найдена такая функция

где ϕ( y) – произвольная дифференцируемая функция. Продифференцируем (6.26) по y:

1-го порядка является уравнением в полных дифференциалах, т.е. существует такая функция

175

u(x,y), частные производные которой соответственно по x и y равны M(x,y) и N(x,y):

u(x, y) = ∫( x2 +y y2 +ex )dx +ϕ(y) , u(x, y) = arctg xy +ex +ϕ( y) .

Теперь продифференцируем u(x,y) по y и приравняем полученное в результате выра-

жение выписанной выше частной производной dudy : − x2 +x y2 + ϕ′(y) = − x2 +x y2 .

Откуда ϕ′(y) = 0 и ϕ(y) = c . Следовательно, общим интегралом заданного уравне-

ния является: arctg xy +ex = c .

Интегрирующий множитель

Определение. Если уравнение M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 не является уравнением в полных дифференциалах и существует функция µ = µ(x,y) такая, что после умножения на нее обеих частей уравнения получается уравнение µ(Mdx + Ndy) = 0 в полных дифференциалах, т. е. µ(Mdx + Ndy)du, то функция µ(x,y) называется интегрирующим множителем уравнения. В случае, когда уравнение уже есть уравнение в полных дифференциалах, полагают µ = 1.

Если найден интегрирующий множитель µ, то интегрирование данного уравнения сводится к умножению обеих его частей на µ и нахождению общего интеграла полученного уравнения в полных дифференциалах.

Если µ есть непрерывно дифференцируемая функция от x и y, то ∂(µM) ≡ ∂(µN ).

∂y ∂x

Отсюда следует, что интегрирующий множитель µ удовлетворяет следующему уравнению с частными производными 1-го порядка:

Если заранее известно, что µ = µ(ω), где ω – заданная функция от x и y, то уравнение (6.27) сводится к обыкновенному (и притом линейному) уравнению с неизвестной функцией µ от независимой переменной ω:

176

находим интегрирующий множитель µ = e∫Ψ(ω)dω , с = 1.

В частности, уравнение M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 имеет интегрирующий множитель, зависящий только от x (ω = x) или только от y (ω = y), если выполнены соответственно следующие условия:

Предположим, что ω = x , тогда (6.29) преобразуется в выражение вида

Замечаем, что функция ω не может зависеть только от x, поскольку в последнем выражении в правой части функция, зависящая от x и y. Проверим теперь множитель ω = y .

Подставим в (6.29), получим

177