6.4 Однородные уравнения

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Часть 2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

4.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 6340 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

			6.4 Однородные уравнения
Определение. Уравнение
y′ = f (x, y)			(6.12)
называется однородным, если			f (x, y) может быть представлена как функция отношения
своих аргументов,
	y
f (x, y) = ϕ		.	(6.13)
f (x, y) = ϕ		.	(6.13)
x

То есть однородное уравнение имеет вид:

y′ = ϕ

(6.14)

Однородные уравнения можно записать ещё и так:

N(x, y)dx± M(x, y)dy = 0 ,

(6.15)

где N(x,y) и M(x,y) – однородные функции одного порядка.

Решаются однородные уравнения с помощью подстановки

u = y / x , тогда

y = u x

y′ = u′ x +u .

Пример 5. Решить уравнение

y′ =

+ tg

Решение.

Так как y′ = ϕ

– уравнение однородное. Введем новую функцию u по

формуле:

u =

, y′ = u′ x +u .

Уравнение

примет вид:

u′ x + u = u + tgu

или

x = tgu ctgu du = dx

– это уравнение с разделенными переменными. Интегрируя, по-

лучаем общее решение

sin u

= ln

+ln

. Окончательно, общее решение sin u = c x ис-

ходного уравнения имеет вид sin xy = c x , где c – произвольная постоянная.

Пример 6. Решить уравнение y′ = 2 xy + xy .

Решение. Уравнение однородное. Полагаем y = u x . u′x +u = 2u +u ; u′x = 2u .

≠ 0 , то

= dx

= ln

+ C ; u = (ln

+ C)2 . Окончательно

Если

. Отсюда

2 u

y = x (ln x +C)2 – общий интеграл.

170

Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным

Рассмотрим уравнение вида

					(6.16)
dy = f a1x + b1y + C1				.	(6.16)
dx		ax + by + C
dx		ax + by + C
Если	a1	b1	≠ 0 , то это уравнение с помощью подстановки		x = ξ+α, y = η+β, где ξ и
Если	a1	b1	≠ 0 , то это уравнение с помощью подстановки		x = ξ+α, y = η+β, где ξ и
	a	b

η – новые переменные, а α и β – некоторые постоянные числа, определяемые из системы

a1α +b1β+C1 = 0,aα +bβ+C = 0,

приводится к однородному уравнению ddηξ = f (aa1ξξ++bb1ηη) .

Если			a1	b1	= 0	, то уравнение (6.16) принимает вид
Если			a1	b1	= 0	, то уравнение (6.16) принимает вид
			a	b
dy			k(ax +by)			+C
	=					1	≡	f1(ax +by) .
dx	=	f		ax +by +C			≡	f1(ax +by) .
dx				ax +by +C

Полагая z=ax+by, приходим к уравнению, не содержащему независимой переменной. Пример 7. Решить уравнение: (x + y − 2)dx + (x − y + 4)dy = 0 .

Решение. Уравнение является частным случаем уравнения (6.16).

Определитель

= −2 ≠ 0

поэтому

надо решить следующую систему

−1

α +β− 2 = 0

= 0

α −β+ 4

Решая, получим, что α = −1,β = 3.

Выполняя в заданном уравнении подстановку

x = ξ −1, y = η+3,

получаем однородное уравнение (ξ + η)dξ + (ξ −η)dη = 0. Интегрируя

его при помощи подстановки η = zξ, находим ξ2 + 2ηξ−η2 = C .

Возвращаясь к старым переменным x и y, по формулам

ξ = x +1,η = y −3 , имеем

x2 + 2xy − y2 −4x +8y = C .

Пример 8. Проинтегрировать дифференциальное уравнение:

y′ =

x − y

2x − 2y + 5

Решение. У

этого

уравнения

−1

= 0

. Решаем с

помощью подстановки

−2

171

x − y = z; dx −dy = dz; dy = dx −dz . Следовательно,	dx −dz	=	z	; 1− dz	=	z	;
	dx		2z +5			2z +5
				dx

dz	=1−	z	=	2z +5 − z	;	dz	=	z +5	;	2z +5
dx		2z +5		2z +5		dx		2z +5		z +5

2z −5ln z +5 = x +C . Заменяя z, получим x −

	2z +5			5
dz = dx; ∫		dz = ∫dx; ∫	2 −		dz = dx ;
dz = dx; ∫	z +5	dz = ∫dx; ∫	2 −	z +5	dz = dx ;
	z +5			z +5

2y −5ln x − y +5 = C – общий интеграл.

6.5 Линейные уравнения
Определение. Линейным дифференциальным уравнением I порядка называется диф-
ференциальное уравнение вида:
y′+ p(x)y = q(x) ,	(6.17),
где y(x) – неизвестная функция;
p(x), q(x) – заданные функции.
Если q(x) = 0 , то уравнение (6.17) примет вид:
y′+ p(x)y = 0	(6.18)

и называется линейным однородным, соответствующим уравнению (6.17). При этом уравне-

ние (6.17) называется линейным неоднородным.

6.5.1 Интегрирование линейного однородного уравнения

Рассмотрим линейное однородное уравнение (6.18). Это уравнение с разделяющимися

переменными. Пусть y ≡/ 0 , тогда

dy + p(x)dx = 0 .

(6.19)

Отсюда

общий

интеграл

∫dy

+ ∫ p(x)dx = С

или

= C − ∫ p(x)dx ;

= e

−∫ p(x)dx

− ∫ p(x) dx ; e

заменяем на

−∫ p(x)dx

. Но

C > 0; y = ±C e

±C есть любое чис-

ло, кроме нуля. Положим ±C

= C .

−∫ p(x)dx

(6.20)

y = C e

C ≠ 0,

– произвольная постоянная. Это общее решение не содержит функции y = 0 , которая

где C

является решением уравнения (6.19). Для того чтобы общее решение содержало все решения, его надо записать в виде:

y = C e	−∫ p(x)dx	,	(6.21)

где С – произвольная постоянная, принимающая любые значения. Пример 9. Найти общее решение уравнения y′+ 2x2 y = 0.

172

Решение. Имеем p(x) = 2x2 . Тогда ∫ p(x)dx =		2x3	(произвольную постоянную можно
		3

считать равной нулю). Получаем y = C e−∫p( x)dx = C e−	2x3
		3 – общее решение.

6.5.2 Интегрирование линейного неоднородного уравнения

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение

y′+ p(x)y = q(x) .

(6.22)

Его решаем с помощью подстановки

y = uv; y

′

. Подставляем в исходное

= u v +uv

уравнение:

′

+uv

′

+ p(x)uv = q(x). Второе и третье слагаемое объединяем в скобку и выно-

u v

сим

общий

множитель

′

Определяем

v(x)

из

условия,

что

u v

+ u(v + p(x)v)= q(x).

′

0 :

= −p(x);

= −p(x)dx; ∫

= −∫ p(x)dx; ln

= −∫ p(x)dx; v = e

−∫ p(x)dx

Най-

v + p(x)v =

′

денное выражение

для

подставляем

оставшуюся

часть

уравнения:

u v = q(x);

′

−∫ p(x)dx

= q(x);

= q(x)

−∫ p(x)dx

; du = q(x) e

−∫ p(x)dx

dx;

u = ∫q(x) e

−∫ p(x)dx

dx +C .

Общее решение имеет вид: y = u v = (∫q(x) e∫ p(x)dxdx + C)e−∫ p(x)dx , C – произвольная

постоянная.

Пример 10. Найти решение диференциального уравнения y′sin x − y cos x =1

Решение. Имеем:

′

cos x

– линейное неоднородное уравнение. Решаем с

− y sin x = sin x

помощью подстановки y = uv;

′

. Получаем:

= u v

+uv

′

cos x

′

cos x

−uv

;

−v

u v +uv

sin x

u v +u v

sin x

Пусть v′−v cos x

= 0;

= v cos x ;

= cos xdx ;

∫dv

∫

d(sin x)

; ln

= ln

sin x

; v = sin x .

sin x

Найденное выражение для v подставляем в оставшуюся часть уравнения:

u′sin x =

; u′

;

du =

; du =

; ∫du = ∫

; u

= −ctg x +C .

sin x

sin

Следовательно, общее решение y = u v = (−ctg x +C) sin x .

6.6 Уравнение Бернулли

Определение. Уравнением Бернулли называется уравнение вида:

y′+ p(x)y = q(x)yn ,

(6.22)

где n – любое число, не обязательно целое.

173

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 6340 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20252.13 Mб0Математика. Ч. 2.pdf
#
28.12.20252.23 Mб0Математика. Ч. 2_1.pdf
#
24.11.20251.95 Mб0Математика. Ч. 3.pdf
#
24.11.20252.43 Mб0Математика. Часть 1.pdf
#
28.12.20251.69 Mб0Математика. Часть 2-1.pdf
#
24.11.20254.84 Mб0Математика. Часть 2.pdf
#
24.11.20251.69 Mб1Математика. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.6 Mб0Математика.pdf
#
28.12.20252.17 Mб0Математика_1.pdf
#
28.12.20251.51 Mб0Математика_2.pdf
#
28.12.2025883.18 Кб0Математика_3.pdf

6.4 Однородные уравнения

6.5 Линейные уравнения

6.5.1 Интегрирование линейного однородного уравнения

6.5.2 Интегрирование линейного неоднородного уравнения

6.6 Уравнение Бернулли