- •ПЕРЕЧЕНЬ МАТЕРИАЛОВ
- •ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
- •1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
- •1.1 Функции многих переменных
- •1.1.1 Основные понятия и определения
- •1.1.2 Предел функции
- •1.1.3 Непрерывность функции
- •1.2 Частные производные функции нескольких переменных. Дифференциал функции
- •1.2.1 Частные производные функции нескольких переменных
- •1.2.2 Дифференцируемость функции двух переменных
- •1.2.3 Дифференциал функции нескольких переменных
- •1.2.4 Применение дифференциалов в приближенных вычислениях
- •1.3 Дифференцирование неявных и сложных функций. Приложения частных производных
- •1.3.1 Дифференцирование неявных и сложных функций. Приложения частных производных
- •1.3.2 Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •1.3.3 Вектор-градиент. Производная функции по направлению вектора
- •1.4 Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора
- •1.4.1 Частные производные высших порядков
- •1.4.2 Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных
- •1.4.3 Формула Тейлора для функции нескольких переменных
- •1.5 Исследование функции на экстремум. Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области
- •1.5.1 Локальные экстремумы функций нескольких переменных
- •1.5.2 Условный экстремум
- •1.5.3 Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области
- •1.6 Метод наименьших квадратов
- •2 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •2.1 Основные понятия
- •2.2 Основные свойства неопределенного интеграла
- •2.3 Замена переменной в неопределенном интеграле
- •2.4 Формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле
- •2.5.1 Основные понятия. Разложение рациональных дробей в сумму простейших дробей
- •2.5.2 Правило отыскания коэффициентов
- •2.5.3 Интегрирование простейших рациональных дробей
- •2.6.1 Интегрирование тригонометрических функций
- •2.6.2 Интегрирование дробно-линейных иррациональностей
- •2.6.3 Биномиальный дифференциал и его интегрирование
- •2.6.4 Интегралы от квадратичных иррациональностей
- •2.6.5 Тригонометрические подстановки при интегрировании иррациональностей
- •2.6.6 Примеры на подстановки Чебышева
- •3 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •3.1 Понятие определенного интеграла
- •3.2 Геометрический и физический смысл определенного интеграла
- •3.2.1 Площадь криволинейной трапеции
- •3.2.2 Работа переменной силы
- •3.3 Свойства определенного интеграла
- •3.4 Оценки интегралов. Формула среднего значения
- •3.5 Условия существования определенного интеграла
- •3.6 Определенный интеграл с переменным верхним пределом
- •3.7 Формула Ньютона-Лейбница
- •3.8 Замена переменной в определенном интеграле
- •3.9 Формула интегрирования по частям в определенном интеграле
- •3.10 Несобственные интегралы
- •3.10.2 Несобственный интеграл II рода (интеграл от разрывной функции)
- •3.11 Геометрические и механические приложения определенного интеграла
- •3.11.1 Вычисление площадей в прямоугольных координатах
- •3.11.2 Площадь криволинейного сектора в полярных координатах
- •3.11.3 Длина дуги кривой
- •3.11.5 Объем тела вращения
- •3.11.7 Вычисление работы с помощью определенного интеграла
- •3.11.8 Координаты центра масс
- •4.2 Основные свойства определенного интеграла по фигуре
- •4.3.1 Определение двойного интеграла. Геометрический и физический смысл
- •4.3.2 Основные свойства двойного интеграла
- •4.4 Тройной интеграл, его свойства. Геометрический и физический смысл тройного интеграла. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат
- •4.4.2 Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат
- •4.5 Замена переменных в кратных интегралах
- •4.5.1 Замена переменных в двойном интеграле
- •4.6 Приложение кратных интегралов
- •4.6.1 Приложение двойного интеграла
- •4.6.2 Приложение тройного интеграла
- •4.7 Криволинейные интегралы I рода
- •4.7.1 Определение криволинейного интеграла I рода
- •4.7.2 Основные свойства КРИ-I
- •4.7.3 Вычисление КРИ-I
- •4.8 Криволинейные интегралы II рода
- •4.8.1 Определение криволинейного интеграла II рода
- •4.8.2 Cвойства КРИ-II
- •4.8.3 Вычисление КРИ-II
- •4.8.4 Формула Грина
- •4.8.5 Условия независимости КРИ-II от пути интегрирования
- •4.8.6 Восстановление функции по ее полному дифференциалу
- •4.9 Приложения криволинейных интегралов
- •4.9.2 Приложения КРИ-II
- •4.10 Поверхностные интегралы I рода
- •4.10.1 Определение поверхностного интеграла I рода
- •4.10.2 Основные свойства поверхностного интеграла I рода
- •4.10.3 Вычисление поверхностного интеграла I рода
- •4.11 Поверхностные интегралы II рода
- •4.11.1 Ориентация поверхности
- •4.11.2 Нормаль к поверхности
- •4.11.3 Определение поверхностного интеграла II рода
- •4.11.4 Свойства поверхностного интеграла II рода
- •4.11.5 Вычисление поверхностного интеграла II рода
- •4.11.6 Формула Остроградского
- •4.11.7 Формула Стокса
- •4.12 Приложения интегралов по поверхности
- •4.12.1 Приложения поверхностных интегралов I рода
- •4.12.2 Приложения поверхностных интегралов II рода
- •5 ТЕОРИЯ ПОЛЯ
- •5.1 Скалярное поле и его характеристики
- •5.2 Векторное поле и его характеристики
- •5.3 Потенциальное векторное поле. Операторы Гамильтона и Лапласа
- •6 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
- •6.1 Общие понятия
- •6.2 Дифференциальные уравнения I порядка
- •6.3 Уравнения с разделяющимися переменными
- •6.4 Однородные уравнения
- •6.5 Линейные уравнения
- •6.5.1 Интегрирование линейного однородного уравнения
- •6.5.2 Интегрирование линейного неоднородного уравнения
- •6.6 Уравнение Бернулли
- •6.7 Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
- •6.8 Линейные однородные ДУ высших порядков. Определитель Вронского
- •6.9 Дифференциальные уравнения II порядка, допускающие понижение порядка
- •6.12 Метод вариации произвольных постоянных
- •6.13 Системы дифференциальных уравнений
- •6.14 Системы линейных дифференциальных уравнений
- •ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
- •НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •Занятие 7. Неопределенный интеграл. Метод непосредственного интегрирования
- •Занятие 12. Интегрирование тригонометрических выражений
- •Занятие 13. Интегрирование иррациональных выражений
- •ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •Занятие 14. Вычисление определенных интегралов
- •Занятие 15. Приложения определенных интегралов
- •ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
- •Занятие 17. Двойной интеграл. Его вычисление в декартовой системе координат
- •Занятие 19. Приложения двойного интеграла
- •Занятие 21. Замена переменных в тройном интеграле
- •Занятие 22. Приложения тройного интеграла
- •Занятие 23. Криволинейные интегралы I рода
- •Занятие 25. Приложения криволинейных интегралов
- •Занятие 26. Поверхностные интегралы I рода
- •Занятие 30. Поток векторного поля. Циркуляция. Потенциальное поле
- •ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
- •Занятие 31. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и однородные
- •Занятие 32. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка, уравнения Бернулли и в полных дифференциалах
- •Занятие 33. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижения порядка
- •Занятие 34. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа
- •Занятие 35. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида
- •ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 1 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ»
- •ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 2 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ
- •ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 3 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
- •ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 4 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ ДУ
- •ТЕСТ «ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА»
- •КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
- •ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
- •ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА (2 СЕМЕСТР)
- •ПЕРЕЧЕНЬ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИХ ПОСОБИЙ
5. Ротором векторного поля F в точке M (x, y, z) называется вектор |
|
||||||||||||||
|
|
∂R |
− |
∂Q |
|
∂P |
− |
∂R |
|
∂Q |
− |
∂P |
|
, |
(5.10) |
rotF |
= |
|
i |
− |
j |
+ |
|
k |
|||||||
|
|
∂y |
|
|
|
∂z |
|
∂x |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
||||
где частные производные вычислены в точке M.
Символически вектор (5.10) можно получить из определителя (если разложить его по
элементам первой строки): |
|
|
||||||||
|
|
i |
|
j |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∂ |
|
∂ |
|
∂ |
|
|
. |
(5.11) |
|
rotF |
= |
|
|
|
|
|
|
|
||
∂x |
|
∂y |
|
∂z |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
P |
|
Q |
|
R |
|
|
|
|
Ротор является характеристикой вихревых движений в поле.
Пример 5.10. Найти ротор для векторного поля F = (2xy − z; yx + 2; x2 −3xz). Решение. Воспользуемся формулой (5.11):
|
|
|
i |
|
|
j |
|
|
k |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
rotF = |
|
|
∂ |
|
|
|
∂ |
|
|
|
∂ |
|
|
|
= i ∂(x |
− |
3xz) |
− |
∂(yx + 2) |
− |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
∂x |
|
|
∂y |
|
|
∂z |
|
∂y |
|
|
∂z |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
(2x − z) (yx + 2 )(x2 −3xz) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
− |
∂(2xy − z) |
|
|
|
|
∂(yx + 2) |
− ∂(2xy − z) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
– j ∂(x −3xz) |
|
+ k |
|
|
= (−2x +3z −1) j + |
||||||||||||||||||
|
|
∂x |
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
||||
+(y − 2x)k .
5.3Потенциальное векторное поле. Операторы Гамильтона и Лапласа
Векторное поле F = (P,Q, R) называется потенциальным или безвихревым в некото-
рой области V, если |
|
|
rotF(M )= 0, M V . |
|
(5.12) |
Равенство (5.12) называется условием потенциальности поля. |
||
Для того, чтобы векторное поле F = (P,Q, R) было потенциальным в V, необходимо и |
||
достаточно, чтобы существовала скалярная функция u = u(x, y, z), такая, что |
||
|
|
F = gradu . |
Функция u = u(x, y, z) называется потенциалом поля. |
||
В потенциальном векторном поле: |
|
|
x |
x |
z |
1) u(x, y, z) = ∫P(x, y0, z0 )dx + ∫Q(x, y, z0 )dy + ∫R(x, y, z) dz +C ;
x0 |
x0 |
z0 |
163
2)Ц = 0;
3)для любых двух точек A и B в области V значение криволинейного интеграла
∫(F,dn) не зависит от пути интегрирования, соединяющего точки A и B и расположенного в
AB
области V;
4) если u(x, y, z) – потенциал векторного поля F , то для любого контура L V
∫(F , dn)= u(x1, y1, z1) −u(x0 , y0 , z0 ) .
AB
Основные характеристики векторного анализа (градиент, дивергенция, ротор) и операции над ними удобно представлять в виде оператора Гамильтона
= ∂∂x i + ∂∂y j + ∂∂z k .
Справедливы следующие равенства
u = gradu; |
( , F) = div F; |
[ , F] = rotF . |
С помощью можно показать, что |
||
div rot F = 0; |
rot gradu = 0 . |
|
Введем оператор Лапласа
∆ = ( , ) = ∂∂x22 + ∂∂y22 + ∂∂z22 .
Нетрудно убедиться, что divgradu = ∆u .
Операции graddiv F |
и rot rot F связаны соотношением |
rot rot F = graddiv F −∆F , где |
∆F = ∆Pi + ∆Qj + ∆Rk . |
|
|
164