5 ТЕОРИЯ ПОЛЯ

Рисунок 5.1

Пример 5.2. Для скалярного поля u = 2x2 −4x + y2 + 2y + z2 найти стационарные точки, поверхности уровня. Записать уравнение поверхности уровня, проходящей через точку

М(2; – 1; 2).

Решение. Частные производные

156

одновременно обращаются в нуль в точке N(1; – 1; 0), которая является стационарной. По

Если вектор l не является единичным, то следует сначала найти его направляющие косинусы.

Пример 5.3. Найти производную скалярного поля u = xy + y2 − 4z в точке M (1,2,3) по направлению вектора l = 2i + 3 j −5k .

157

Решение. Вектор l имеет координаты (2,3,−5). Найдем его направляющие косинусы:

u = u(x, y, z) по направлению координатных осей OX, OY, OZ соответственно. Точки, в кото-

направление наибольшее возрастания функции, то производная по направлению вычисляется по формуле

gradu = (2;3).

158

5.2 Векторное поле и его характеристики

Если в каждой точке M пространства (или его части V) задан вектор F = F(M ), то го-

ворят, что в этом пространстве (или в V) задано векторное поле F . Задание векторного поля F = F(M ) равносильно заданию трех функций: P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z) , которые явля-

ются проекциями вектора F(M )на координатные оси

F(M ) = P(x, y, z)i +Q(x, y, z) j + R(x, y, z)k .

Примерами векторных полей являются поле электрической напряженности, силовое поле, поле скоростей текущей жидкости и др.

1. Векторной линией поля F называется линия, касательная в каждой точке которой параллельна вектору поля в этой точке.

В трехмерном случае векторные линии определяются из уравнений

уравнение, которое решаем с помощью подстановки y = ux

Разложив подынтегральную функцию слева на простейшие дроби и найдя коэффициенты, получим

159

2. Потоком векторного поля через ориентированную поверхность S называется поверхностный интеграл первого рода от скалярного произведения вектора F на единичный вектор нормали n = (cosα,cosβ,cos γ ):

Как известно, ориентация гладкой поверхности определяется выбором одного из двух возможных векторов нормали, который изменяется на поверхности непрерывным образом.

Свойства потока

1) При изменении ориентации поверхности поток изменяет знак на противополож-

ный.

n

2) Если S на конечную сумму непересекающихся поверхностей, S = ∑Si , то формула

i=1

(3.3) принимает вид

П= ∑n ∫∫(F,n)ds .

i=1 si

Физический смысл потока зависит от природы поля F . Если, например, F – поле скоростей текущей жидкости в области V, то поток будет равен количеству жидкости, проходящей через поверхность S за единицу времени.

В случае замкнутой поверхности S в качестве вектора нормали берется вектор к внешней стороне этой поверхности, а поток определяется

Пусть F – поле скоростей текущей несжимаемой жидкости. Если П = 0 , это означает, что из тела V, ограниченного поверхностью S, вытекает столько жидкости, сколько и втекает в него. Если П > 0 , то жидкости вытекает больше, чем втекает. Это говорит о том, что внутри тела V имеется источник – место, где жидкость появляется. Если П < 0 , то жидкости вытекает из тела меньше, чем втекает. В этом случае говорят, что внутри тела V имеется сток – место, где жидкость исчезает.

Пример 5.6. Вычислить поток векторного поля F = x i + y j + z k через верхнюю сто-

рону части поверхности z = 4 − x2 − y 2 , отсеченной плоскостью z = 0 . Решение. Данное поле дифференцируемо во всех точках плоскости XOY

P(x, y)= x, Q(x, y)= y, R(x, y)= z .

Проекцией D рассматриваемой поверхности на плоскость XOYявляется круг радиуса

160

2. Т.к. внешняя сторона параболоида видна со стороны положительного направления оси OZ, то перед интегралом по проекции надо поставить знак «+». Координаты вектора нормали n = (2x,2y,1). Скалярное произведение

(F n) = x 2x + y 2y +1 (−z) = 2x2 + 2y2 − z = 2x2 + 2y2 −4 + x2 + y2 = 3(x2 + y2 ) −4.

Тогда

Если поверхность S замкнута, то поток удобно вычислять по формуле Остроградско-

го-Гаусса:

где V – область, ограниченная поверхностью S.

Пример 5.7. Вычислить поток векторного поля F = 3xi −3yj −5z2k через внеш-

нюю сторону замкнутой поверхности S , состоящей из части параболоида x2 + y2 = 2z и

сферы

Дивергенция векторного поля есть скалярная величина. Она образует скалярное поле в данном векторном поле.

Если divF(M )> 0 , то точка M представляет собой источник, если divF(M )< 0 , то в точке M – сток. Если divF(M )= 0 , то в точке M нет ни источника, ни стока или их действие взаимно компенсируется. Такое поле называется соленоидальным или трубчатым.

161

Пример 5.8. Вычислить дивергенцию поля

Следовательно, divF(M )= 4 + 3 + 2 = 9 > 0 . Значит, в точке M находится источник.

Сучетом определения дивергенции формулу (5.7) можно записать

П= ∫∫∫divFdv .

V

4. Циркуляцией векторного поля F = Pi + Qj + Rk вдоль замкнутой линии L называется криволинейный интеграл второго рода

+ (3x + 2y2 −10) j по линии L, состоящей из отрезка прямой AB и параболы x = 3 − y2 . Решение. Исходная линия L состоит из двух участков: прямой AB, А(–1,–2), В(2,1) и

параболы. Следовательно, циркуляция заданного поля F будет равна сумме линейных инте-

Циркуляция по заданному контуру равна Ц =16,5 −12 = 4,5 > 0 .

162