Для вычисления двойного интеграла перейдем к полярным координатам:

4.12Приложения интегралов по поверхности

4.12.1Приложения поверхностных интегралов I рода

1. Площадь поверхности

Если поверхность S задана уравнением z = f (x, y), а ее проекция на плоскость Oxy есть область D, в которой z = f (x, y), z′x = f (x, y) и z′y = f (x, y) – непрерывные функции, то ее площадь S вычисляется по формуле (см. п. 4.10.2 свойство 4).

S = ∫∫dS ,

S

или

S = ∫∫1+(z′x )2 +(z′y )2 dxdy .

D

148

Кроме того, поверхностный интеграл применяют для вычисления массы, координат центра масс, статических моментов, моментов инерции материальных поверхностей с известной поверхностной плотностью распределения массы γ = γ(x, y, z). Все эти величины определяются одним и тем же способом: данную область разбивают на конечное число «мелких» частей, делая для каждой области деления упрощающие задачу предположения; находят приближенное значение искомой величины; переходят к пределу при неограниченном изменении области деления. Проиллюстрируем описанный способ на примере определения массы материальной поверхности.

2. Масса поверхности

О материальной поверхности известна ее плотность распределения массы γ = γ(x, y, z). Тогда для нахождения массы поверхности:

1) Разбиваем поверхность S на n частей Si ,i =1,2, ,n , площадь которой обозначим

∆Si .

2)Берем произвольную точку Mi (xi , yi , zi ) в каждой области Si . Предположим, что в пределах области Si плотность постоянна и равна значению ее в точке Mi .

3)Масса mi области Si мало отличается от массы γ(xi , yi , zi )∆Si фиктивной однородной области с постоянной плотностью γ = γ(xi , yi , zi ).

4)Суммируя mi по всей области, получаем

n

m ≈ ∑γ(xi , yi , zi )∆Si .

i=1

5) За точное значение массы материальной поверхности S принимается предел, к которому стремится полученное приближенное значение при стремлении к нулю диаметров областей Si ,т.е.

3. Статистические моменты

Статистические моменты поверхности S относительно координатных плоскостей на-

149

4. Центр тяжести поверхности

Координаты центра тяжести поверхности S находятся по следующим формулам:

где m – масса поверхности S.

5. Моменты инерции поверхности

Моменты инерции поверхности S относительно координатных осей Ox, Oy, Oz и начала координат O(0,0,0) находятся соответственно с помощью интегралов

Ix = ∫∫(y2 + z2 )γ(x, y, z)ds, I y = ∫∫(x2 + z2 )γ(x, y, z)dS,

Iz = ∫∫S (x2 + y2 )γ(x, y, y)ds, I0 = ∫∫S (x2 + y2 + z2 )γ(x, y, y)dS.

S S

4.12.2 Приложения поверхностных интегралов II рода

6. Объем тела

Полагая в формуле Остроградского (11.8) P = x,Q = y, R = z , получим

∫∫xdydz + ydzdx + zdxdy = ∫∫∫(1+1+1)dxdydz = 3∫∫∫dV = 3V .

S V V

Отсюда получаем формулу для вычисления объема области V, ограниченной замкнутой поверхностью S:

V= 1 ∫∫xdydz + ydzdx + zdxdy . 3 S

7. Поток вектора через поверхность, его физический смысл

Пусть a = (P,Q, R) – векторное поле скоростей текущей несжимаемой жидкости, а S – кусочно-гладкая поверхность. Требуется определить объем жидкости, протекающей через эту поверхность за единицу времени.

Кусочно-гладкими кривыми разобьем поверхность S на части Si ,i =1,2, ,n . Выделим

площадку Si площадью ∆Si , и пусть n0 – единичный вектор нормали в произвольной точке Mi Si . Объем протекающей жидкости через Si в единицу времени равен объему криволинейной призмы, изображенной на рис. 4.41.

150

a(Mi )

hi

ni0

Mi

Рисунок 4.41

При разбиении S на достаточно мелкие части площадку Si с площадью ∆Si можно считать плоской, вектор a – постоянным по модулю и одинаково направленным в каждой точке площадки. Объем ∆Πi призмы приближенно равен ∆Πi ≈ hi∆Si , где ∆Si – площадь i-й площадки, hi – высота i-й призмы с образующей a(Mi ). Но hi является проекцией вектора

a(Mi ) на нормаль n0 : hi = пр a(Mi )= a(Mi ) ni0 , где ni0 – единичный вектор нормали к по-

ni0

Точное значение искомого количества жидкости получим, взяв предел найденной суммы при неограниченном увеличении числа элементарных площадок и стремлении к нулю их размеров (диаметров di площадок) в виде поверхностного интеграла второго рода:

ванная поверхность в R3 . Потоком векторного поля a (вектора a ) через поверхность S называется поверхностный интеграл второго рода (4.49). Подчеркнем, что поток – скалярная

151

вектора a идет с внешней на внутреннюю сторону поверхности S. При перемене ориентации поверхности знак потока Π меняется на противоположный вследствие известного свойства поверхностного интеграла второго рода (см. п. 4.11.4, свойство 1).

Вычислить поток можно по формулам (4.39), (4.40).

Поток вектора через замкнутую поверхность

Если поверхность S замкнута, то в качестве вектора нормали к ней возьмем внешнюю нормаль. Тогда поток вектора a = (P,Q, R) через поверхность удобно вычислять по формуле Остроградского (4.41).

Пусть a – поле скоростей текущей несжимаемой жидкости. Если Π = 0 , это означает, что из тела V, ограниченного поверхностью S, вытекает столько жидкости, сколько и втекает в него. Если Π > 0 , то жидкости вытекает больше, чем втекает. Это говорит о том, что внутри тела V имеется источник – место, где жидкость появляется. Если Π < 0 , то жидкости вытекает из тела меньше, чем втекает. В этом случае говорят, что внутри тела V имеется сток – место, где жидкость исчезает.

Пример 1. Найти площадь части поверхности z = 4 − x2 − y2 , вырезанной поверхностью x2 + y2 = 2y.

Решение. Поверхность z = 4 − x2 − y2 есть верхняя часть сферы z2 + x2 + y2 = 4

радиусом 2. Уравнение поверхности x2 + y2 = 2y приведем к каноническому виду: x2 + y2 − 2y = 0 x2 + (y −1)2 −1 = 0 x2 + (y −1)2 =1 x2 + y2 =1 – это цилиндрическая поверхность с образующими параллельными оси OZ (рис. 4.42).

G

x2 + y2 = 2y

y

D

x

Рисунок 4.42

152

Площадь части верхней полусферы z = 4 − x2 − y2 , вырезанной цилиндром найдем с помощью поверхностного интеграла I рода:

∫= ∫∫dG = ∫∫ 1+ zx′ 2 + z′y2 dxdy,

D

где D – круг x2 + (y −1)2 ≤1 на плоскости OXY , который является проекцией поверхности

запишем подынтегральную функцию и уравнение окружности x2 + y2 = 2y в полярных координатах

153