4.11.5 Вычисление поверхностного интеграла II рода

Вычисление поверхности интеграла II рода сводится к вычислению двойного интеграла. Пусть в пространстве R3 задана поверхность S и D – ее проекция на плоскость Oxy. Тогда из (11.3) – определения поверхностного интеграла второго рода и равенства dS = n dxdy ≈ ∆S можно получить формулу

нормали n к выбранной стороне поверхности S, можно показать справедливость равенств

где D – проекция поверхности S на плоскость Oxy.

4.11.6 Формула Остроградского

Пусть S – поверхность, краем (ограничивающим контуром) которой служит замкнутая кривая Γ. Очевидно, что один и тот же замкнутый контур Γ может служить краем бесконечного числа поверхностей. Например, на рис. 4.35 изображены поверхности конуса S1, полусферы S2 , части плоскости S3 , краем которых служит окружность Γ.

S2

S3

S1

Рисунок 4.35 Ограниченная поверхность, не имеющая края, называется замкнутой. Примерами яв-

ляются сфера, тор, эллипсоид, поверхность куба, пирамида и т.д.

141

Формула Остроградского связывает поверхностный интеграл по внешней стороне замкнутой поверхности с тройным интегралом по области, ограниченной этой поверхностью.

Теорема 4.11. Пусть a = (P,Q, R) – векторная функция, координатные функции P,Q, R которой непрерывны вместе со своими первыми частными производными в замкнутой области V, ограниченной поверхностью S. Тогда имеет место формула Остроградского

в которой поверхностный интеграл в левой части вычисляется по внешней стороне замкнутой поверхности S.

Доказательство. Рассмотрим область V, ограниченную снизу поверхностью S1, заданной уравнением z = z1(x, y), сверху – поверхностью S2 , – с уравнением z = z2(x, y), а с боков – цилиндрической поверхностью S3 с образующими, параллельными оси Z (рис. 4.36). Такую область будем называть z-цилиндрической. Пусть D – проекция V на плоскость Oxy, а n1,n2,n3 – векторы внешней нормали к поверхностям S1, S2, S3 соответственно.

сти z = z2(x, y). Второй из этих интегралов можно рассматривать как поверхностный интеграл от R(x, y, z), взятый по верхней стороне поверхности z = z1(x, y), или как интеграл по нижней стороне поверхности z = z1(x, y), взятый с обратным знаком.

142

Таким образом, получаем равенство

где в правой части интегрирование ведется по внешней стороне поверхностей S1 и S2 . Так как n3 = (n3x ,n3y ,0), то по формуле (4.38) найдем

∫∫Rdxdy = ∫∫(0 n3x +0 n3y + R 0)dxdy = 0.

S3 D

Поэтому, добавив интеграл ∫∫Rdxdy = 0 в правую часть формулы (4.42), получим ра-

в котором в поверхностном интеграле интегрирование ведется по внешней замкнутой по-

Рассмотрим такие области V, которые можно разбить на конечное число как z- цилиндрических, так и y-цилиндрических и x-цилиндрических областей. Для такой области справедливы равенства (4.43) и (4.44). Сложив их, получим формулу Остроградского. Теорема доказана.

4.11.7 Формула Стокса

Эта формула связывает криволинейный интеграл по замкнутой поверхности пространственной кривой L с поверхностным интегралом по поверхности S, краем которой является L.

где L – граница поверхности S и интегрирование вдоль кривой L производится в положительном направлении (т.е. при обходе границы L поверхность S должна оставаться все время слева).

143

Формула (4.45) называется формулой Стокса.

Доказательство. Пусть z = f (x, y) – уравнение поверхности S, функции f (x, y), fx′(x, y), f y′(x, y) непрерывны в замкнутой области D (проекции поверхности S на плоскость Oxy), L1 – граница области D (рис. 4.37).

Рисунок 4.37

Будем считать, что поверхность S пересекается с любой прямой, параллельной оси Oz, не более чем в одной точке. Выберем верхнюю сторону поверхности S. Рассмотрим сначала

интеграл вида ∫P(x, y, z)dx . Значения функции P(x, y, z) на L равны значениям функции

L

P(x, y, z) на L1. Интегральные суммы для криволинейных интегралов II рода по контурам L и L1 совпадают. Поэтому

∫P(x, y, z)dx = ∫P(x, y, z)dx .

Применим к последнему интегралу формулу Грина (см. п. 4.8.4). Тогда получаем:

верхности S (см. п. 4.11.2). Так как выбрана верхняя сторона поверхности S, т.е. cos γ > 0 (γ – острый угол между нормалью n к поверхности S и осью Oz), то нормаль n имеет проекции

144

Складывая почленно три последних равенства, получаем формулу Стокса (4.35). Теорема доказана.

Отметим, что формулу Стокса (4.35) можно применить и для поверхностей более сложного вида (разбив ее на части рассмотренного выше типа).

Замечание 1. Из формулы Стокса вытекает, что если выполняются условия

(см. п. 4.8.6), то криволинейный интеграл по произвольному пространственному замкнутому контуру L равен нулю:

∫Pdx +Qdy + Rdz = 0 .

L

Следовательно, в данном случае криволинейный интеграл не зависит от вида пути интегрирования.

Замечание 2. Пусть теперь L – замкнутая кривая в плоскости Oxy, а S – область D, ограниченная этой кривой. Тогда dz = 0, а вектор нормали к D имеет вид n = (0,0,1). Следова-

145

тельно, в этом случае из равенства (4.45) получим формулу Грина (4.15). Таким образом, формула Грина – частный случай формулы Стокса.

Замечание 3. Формулу Стокса можно легко запомнить, если воспользоваться следующим приемом. Составим формально определитель

на функцию понимается как операция дифференцирования по соответствующей переменной, получаем подынтегральное выражение в левой части формулы Стокса (4.45):

Замечание 4. При доказательстве формулы Стокса вид поверхности S с краем L не играет никакой роли. Важна лишь ее ориентация в пространстве. Поэтому при решении конкретных примеров поверхность S выбирается такой, чтобы поверхностный интеграл по ней

146

Для вычисления каждого из интегралов применим соответственно формулу 4.39:

SD

Пример 2. Вычислить ∫∫(3x2 +3y2 + z2 )dxdy , где S – внешняя сторона части поверх-

S

ности z = x2 + y2 , отсеченной плоскостями z = 0, z =1 (рис. 4.39).

z

1

n

y

D

x

Рисунок 4.39

Решение. Поверхность z = x2 + y2 представляет собой верхнюю часть конуса z2 = x2 + y2. Нормаль к поверхности составляет с осью Oz тупой угол. Для вычисления интеграла применим формулу 4.39

∫∫(3x2 +3y2 + z2 )dxdy = −∫∫(3x2 +3y2 + x2 + y2 )dxdy = −4∫∫(x2 + y2 )dxdy,

S D D

где D – круг x2 + y2 ≤1.

147