где область D – круг x2 + z2 ≤ 4 .

Для вычисления последнего интеграла перейдем к полярным координатам:

= 522π.

4.11Поверхностные интегралы II рода

4.11.1Ориентация поверхности

Пусть в пространстве R3 задана гладкая поверхность S. Возьмем на ней некоторую внутреннюю точку M и проведем через нее вектор нормали к S. Окружим точку M замкнутым контуром Γ с выбранным на нем направлением обхода (рис. 4.32). Поверхность S, в каждой точке которой указаны нормальный вектор n и направление обхода по контуру Γ, называется ориентированной. Сторона поверхности, из каждой точки которой восстанавливается вектор нормали, называется положительной или внешней. Другая сторона поверхности, обращенная в сторону вектора − n , называется отрицательной или внутренней стороной поверхности S.

Рисунок 4.32 Поверхности, у которых различают положительные и отрицательные стороны, назы-

ваются двухсторонними. К ним относятся плоскость, сфера, конус и т.д. Двухсторонняя поверхность характеризуется тем, что если вектор нормали n перемещать непрерывно по любому замкнутому контуру L, лежащему на поверхности, он всегда возвращается в исходную точку с первоначальным направлением (рис. 4.32).

137

Существуют поверхности, не являющиеся двухсторонними. Классическим примером односторонней поверхности является лист Мёбиуса (рис. 4.33). Его можно получить, если взять длинную полоску бумаги и, повернув один конец ее на 180°, склеить с другим концом. При обходе листа Мёбиуса по его средней линии вектор нормали возвращается в исходную точку с направлением, противоположным первоначальному, т.е. лист Мёбиуса – односторонняя поверхность.

Рисунок 4.33

4.11.2 Нормаль к поверхности

Если поверхность S задана явно в виде z = z(x, y), то в этом случае вектор нормали

При выборе единичного вектора нормали необходимо следить за тем, чтобы получилась нормаль нужного направления, т.е. правильно выбирать нужную сторону поверхности. На рис. 4.34, а, б вектор нормали n определяет положительную сторону поверхности. Для

138

этого вектора cos γ > 0 , т.е. он составляет острый угол с осью Z. Если для поверхности

z = z(x, y) указано, что нормаль к ней составляет с осью Z угол γ > π , то в этом случае

2

n = (z′x , z′y ,−1).

Аналогично для поверхности F(x, y, z)= 0 , у вектора нормали которой cos γ > π , сле-

где P, Q, R – непрерывные в V функции.

Предположим, что в V задана гладкая поверхность S с выбранной на ней ориентацией.

Пусть n0 = n0 (x, y, z) – единичный вектор нормали к S в точке M (x, y, z) S . Разобьем по-

Обозначим через ∆ наибольший из диаметров частей Si . Если при ∆ → 0 существует предел интегральных сумм σn , не зависящий ни от способа разбиения поверхности S на части Si , ни от выбора точек (xi , yi , zi ) Si , то его называют поверхностным интегралом второ-

139

4.11.4 Свойства поверхностного интеграла II рода

1.Если на поверхности S поменять ориентацию на противоположную, знак интеграла

∫∫a,n0 dS изменится на противоположный:

S

Интеграл слева вычисляется по положительной стороне поверхности S, а интеграл справа – по отрицательной. Действительно, если n0 – вектор нормали на положительно ори-

ентированной стороне поверхности S, то −n0 – вектор нормали по отрицательно ориентированной стороне.

2. Если S1, S2, S3 – цилиндрические поверхности с образующими, параллельными соответственно осям Oz, Ox, Oy то

∫∫R(x, y, z)dxdy = ∫∫P(x, y, z)dydz = ∫∫Q(x, y, z)dxdz = 0 .

Свойство справедливо для любого конечного числа вектор-функций ai , i =1,2, ,n .

4. Аддитивность

Если кусочно-гладкая поверхность S разбита на конечное число непересекающихся

n

поверхностей Si , т.е. S = Si ,

i=1

5. Оценка модуля интеграла

Имеет место оценка модуля поверхностного интеграла второго рода:

140