Так как ∂∂Ux = 3x2 y − 4xy 2 , то U (x, y) = ∫(3x2 y − 4xy 2 )dx = x3y − 2x2 y2 + ϕ(y) ,

где ϕ(y) – неизвестная функция, для нахождения которой продифференцируем полученное

4.9Приложения криволинейных интегралов

4.9.1Приложения КРИ-I

1. Длина кривой

Длина дуги l плоской или пространственной линии вычисляется по формуле

l = ∫dl .

AB

В частности, если l – плоская линия, заданная уравнением y = f (x), где a ≤ x ≤ b , то

b

l = ∫ 1+(f ′(x))2 dx .

a

Если линия l задана уравнением в полярных координатах ρ = ρ(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β, то

β

l = ∫ ρ2 +(ρ′ϕ)2 dϕ.

α

123

Если линия l задана параметрически x = x(t), y = y(t)(t1 ≤ t ≤ t2 ), то

t2

l = ∫ (xt′)2 +(yt′)2 dt .

t1

Если l – пространственная линия, заданная параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t)(t1 ≤ t ≤ t2 ), то

t2

l = ∫ (xt′)2 + (yt′)2 + (zt′)2 dt .

t1

2. Площадь цилиндрической поверхности

Если направляющей цилиндрической поверхности служит кривая AB, лежащая в плоскости Oxy, а образующая параллельна оси Oz (см. рис. 4.24), то площадь поверхности,

задаваемой функцией z = f (x, y), находится по формуле Q = ∫ f (x, y)dl .

AB

z

0

y

x

Рисунок 4.24

3. Масса кривой

Масса материальной кривой AB (провод, цепь, трос, …) определяется формулой

m = ∫γ(x, y)dl , где γ(x, y) – плотность кривой.

AB

Доказательство. Разобьем кривую AB на n элементарных дуг Mi∩−1Mi (i =1,2, ,n).

Пусть (xi , yi ) – произвольная точка дуги Mi∩−1Mi . Считая приближенно участок дуги одно-

родным, т.е. считая, что плотность в каждой точке дуги такая же, как и в точке (xi , yi ), най-

дем приближенное значение массы mi дуги Mi∩−1Mi : mi ≈ γ(xi , yi )∆li .

124

Суммируя, находим приближенное значение массы m:

n

m ≈ ∑γ(xi , yi )∆li .

i=1

За массу кривой AB примем предел этой суммы при условии, что ∆ = max ∆li → 0 (n → ∞), т.е.

Заметим, что предел существует, если кривая AB кусочно-гладкая, а плотность задана непрерывной в каждой точке AB функцией. Аналогично, масса пространственной дуги l, вдоль которой распределено вещество с плотностью γ = γ(x, y, z), определяется формулой

m = ∫γ(x, y, z)dl .

AB

4. Статистические моменты, центр тяжести

Статистические моменты плоской материальной кривой относительно осей Ox и Oy определяются по формулам

Sx = ∫ yγ(x, y)dl, Sy = ∫xγ(x, y)dl ,

AB AB

координаты центра тяжести xc = Smy , yc = Smx .

Координаты центра тяжести пространственной материальной дуги определяются по формулам

5. Моменты инерции

Для плоской материальной кривой AB моменты Ix , I y , I0 инерции относительно осей Ox, Oy и начала координат соответственно равны:

Ix = ∫ y2γ(x, y)dl, I y = ∫x2γ(x, y)dl, I0 = ∫(x2 + y2 )γ(x, y)dl .

AB AB AB

4.9.2 Приложения КРИ-II

6. Площадь плоской фигуры

Площадь S плоской фигуры, расположенной в плоскости Oxy и ограниченной замкнутой линией L, можно найти по формуле

125

при этом кривая L обходится против часовой стрелки.

Доказательство. Положив в формуле Грина (4.15) P(x, y)= 0, Q(x, y)= x , получим

∫∫(1−0)dxdy = ∫0 dx + xdy , или

DL

Аналогично, полагая P = −y, Q = 0 , найдем еще одну формулу для вычисления площади фигуры с помощью криволинейного интеграла:

Сложив почленно равенства (4.24) и (4.25) и разделив на два, получим формулу (4.23). Эта формула используется чаще, чем формулы (4.24) и (4.25).

Доказательство. Пусть материальная точка (x, y) под действием переменной силы F перемещается в плоскости Oxy по некоторой кривой AB (от точки A до точки B).

Разобьем кривую AB точками M0 = A, M1, M2, , Mn = B на n «элементарных» дуг

Mi∩−1Mi длины ∆li и в каждой из них возьмем произвольную точку Ci (xi , yi ), i =1,2, ,n (см.

рис. 4.25). Заменим каждую дугу Mi∩−1Mi вектором Mi−1Mi = (∆xi ,∆yi ), а силу F будем считать постоянной на векторе перемещения Mi−1Mi и равной заданной силе в точке Ci дуги

Mi∩−1Mi : Fi = (P(xi , yi ),Q(xi , yi )).

Рисунок 4.25

126

Тогда скалярное произведение Fi Mi−1Mi можно рассматривать как приближенное

За точное значение работы A примем предел полученной суммы при ∆ = max ∆li → 0 (тогда,

1≤i≤n

очевидно, ∆xi → 0 и ∆yi → 0 ):

127

плотность γ(x, y) = x2 + y2 .

Решение. В полярных координатах дифференциал дуги кривой равен: dl = ρ2 +(ρ′)2 dϕ. В нашем случае ρ = cos 2ϕ , тогда

ρ′(ϕ) = −cossin 22ϕϕ , γ(x, y) = x2 + y2 = ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ = ρ.

Следовательно:

Пример 5. Вычислить работу переменной силы F при перемещении материальной

128