1.2 Частные производные функции нескольких переменных. Дифференциал функции
1.2.1 Частные производные функции нескольких переменных
Пусть рассматривается функция двух переменных z = z(x, y). Если о дин из аргумен-
тов получит приращение, то будет иметь место частное приращение функции: |
|
∆x z = z(x + ∆x; y)− z(x, y), |
(1.1) |
∆y z = z(x; y + ∆y)− z(x, y). |
(1.2) |
Если приращение получат x и y, то имеем полное приращение функции: |
|
∆z = z(x + ∆x; y + ∆y)− z(x, y). |
(1.3) |
Геометрически частные и полное приращения функции ∆x z, ∆y z, ∆z |
можно изобра- |
зить отрезками A1B1, A2B2 и A3B3 соответственно (рис. 1.3). |
|
Рис.1.3
Пример 1.10. Найти частные и полное приращения функции z = x2 y3 в точке M (2;3),
если ∆x = 0,2, ∆y = 0,3 .
Решение. В соответствии с формулами (1.1) – (1.3) имеем:
∆x z = (x + ∆x)2 y3 − x2 y3 = (x2 + 2x∆x +(∆x)2 )y3 − x2 y3 = y3(x2 + 2x∆x +(∆x)2 − x2 )= = y3(2x∆x +(∆x)2 )= 33(2 2 0,2 +0,22 )= 27 0,84 = 22,68
∆y z = x2 (y + ∆y)3 − x2 y3 = x2 (y3 +3y2∆y +3(∆y)2 y +(∆y)3 − y3 )= = x2 (3y2∆y +3y(∆y)2 +(∆y)3 )= 4(27 0,3 +9 0,32 +0,33 )= 35,748
∆z = (x + ∆x)2(y + ∆y)3 − x2 y3 = (x2 + 2x∆x + (∆x)2 )(y3 + 3y2∆y + 3y(∆y)2 + (∆y)3 )− x2 y3 = = (22 + 0,8 + 0,04)(27 +8,1+ 0,8 + 0,027)− 4 27 = 4,84 35,937 −108 = 65,935
Определение 1.7. Частной производной функции z = z(x, y) по переменной x в точке M (x0, y0 ) называется предел отношения частного приращения функции ∆x z к соответствующему приращению аргумента ∆x при условии, что последнее стремится к нулю:
8
z′x = ∂z = lim ∆x z . ∂x ∆x→0 ∆x
Аналогично |
z′y = |
∂z |
= lim |
∆y z |
. |
|
∂y |
∆y |
|||||
|
|
∆y→0 |
|
Частные производные определяют скорость изменения функции в точке M (x0, y0 ) в направлении изменения независимой переменной.
Вычисляются частные производные по тем же правилам, формулам и свойствам, что и для функции одной переменной, при условии, что остальные переменные остаются постоянными.
Пример 1.11. Найти частные производные функции z = 2xy .
Решение. Частную производную z′x вычисляем |
как производную показательной |
||||||
функции, считая y постоянной: |
z′x = 2xy ln 2 y . Аналогично z′y = 2xy ln 2 x . |
||||||
Пример 1.12. Найти |
∂u |
, |
∂u |
, |
∂u |
, если u = xy +cos2 |
(z − x2 y3 ). |
∂x |
∂y |
|
|||||
|
|
|
∂z |
|
|||
Решение. Имеем:
∂u = u′x = y + 2cos(z − x2 y3 )(−sin(z − x2 y3 )) (−2xy3 )
∂x
∂u = x + 2cos(z − x2 y3 )(−sin(z − x2 y3 )) (− x2 3y2 )
∂y
∂∂uz = 2cos(z − x2 y3 )(−sin(z − x2 y3 ))= −sin(2z −2x2 y3 )
Геометрический смысл частных производных функции двух переменных состоит в том, что они равны тангенсам углов, образованных касательными, проведенными к линиям пересечения поверхности z = z(x, y) с соответствующими плоскостями
( y = y0, x = x0, z = z0 ).
Механический смысл частных производных функции двух переменных: они характеризуют скорость изменения функции z = z(x, y) в т. M (x0, y0 ) в направлении соответствующей прямой ( y = y0 или x = x0 ).
1.2.2 Дифференцируемость функции двух переменных
Функция z = z(x, y) является дифференцируемой в точке M (x0, y0 ), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде: ∆z = A∆x + B∆y +α∆x +β∆y ,
где α и β – бесконечно малые, т.е. α → 0 и β → 0 при ∆x → 0 и ∆y → 0 .
9
Теорема 1.4. Если функция z = z(x, y) дифференцируема в точке M (x0, y0 ), то она и непрерывна в этой точке.
Доказательство. По определению дифференцируемости функции имеем
∆z = A∆x + B∆y +α∆x +β∆y , |
|
|
где limα = 0, limβ = 0 , А и В – некоторые коэффициенты, не зависящие от ∆x |
и ∆y . Следо- |
|
∆x→0 |
∆x→0 |
|
∆y→0 |
∆y→0 |
|
вательно, lim ∆z = 0 . А это значит, что функция z = z(x, y) непрерывна в точке |
M (x0, y0 ). |
|
|
∆x→0 |
|
|
∆y→0 |
|
Теорема 1.5 (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция z = z(x, y) дифференцируема в точке M (x0, y0 ), то она имеет в этой точке частные производные z′x (x0, y0 )= A и z′y (x0, y0 )= B .
Доказательство. Пусть |
z = z(x, y) – дифференцируема в точке |
M (x0, y0 ). Ее прира- |
||
щение |
|
|
|
|
∆z = A(x0, y0 )∆x + B(x0, y0 )∆y +α∆x +β∆y . |
|
|||
Пусть ∆y = 0 . Тогда ∆x z = A∆x +α∆x . Разделим последнее равенство на ∆x и возь- |
||||
мем предел при ∆x → 0 : |
lim |
∆x z |
= A = z′x (x0, y0 ). То есть в точке |
M (x0, y0 ) существует |
|
||||
∆x→0 |
∆x |
|
||
частная производная z′x (x0, y0 ). Аналогично доказывается существование частной производной z′y (x0, y0 )= B . Обратное утверждение теорем 2.1 и 2.2 – неверно.
Например, функция z = |
2x2 + 2y2 |
непрерывна в точке O(0,0), но не имеет в этой |
||||||||||||
точке частных производных. Производная |
z′x = |
|
2x |
|
не существует в т. |
O(0,0). Ана- |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
2x2 |
+ 2y2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
логично z′y = |
|
2y |
|
также не существует в т. O(0,0). |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2x2 |
+ 2y2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Теорема 1.6 (достаточное условие дифференцируемости функции). Если функция z = z(x, y) имеет частные производные в некоторой окрестности точки M (x0, y0 ), непре-
рывные в этой точке, то z(x, y) дифференцируема в точке M (x0, y0 ).
Доказательство. Полное приращение функции имеет вид
∆z(x0, y0 )= z(x0 + ∆x; y0 + ∆y)− z(x0, y0 ).
Добавим и вычтем из правой части z(x0, y0 + ∆y):
∆z = z(x0 + ∆x; y0 + ∆y)− z(x0, y0 + ∆y)+ z(x0, y0 + ∆y)− z(x0, y0 )
10
По теореме Лагранжа z(x0 + ∆x, y0 + ∆y)− z(x0, y0 + ∆y)= z′x (ξ, y0 + ∆y)∆x ,
где x0 < ξ < x0 + ∆x .
Аналогично z(x0, y0 + ∆y)− z(x0, y0 )= z′x (x0,ω)∆y , где y0 < ω < y0 + ∆y .
Следовательно, ∆z(x0, y0 )= z′x (ξ, y0 + ∆y)∆x + z′y (x0,ω)∆y . По условию теоремы z′x и |
||||||||||
z′y непрерывны в т. |
M (x0, y0 ). Значит, |
|
|
|
|
|||||
lim z′ |
(ξ, y |
0 |
+ ∆y)= z′ |
(x , y |
0 |
) и lim |
z′ |
(x ,ω)= z′ |
(x , y ). |
|
∆x→0 x |
|
x |
0 |
∆x→0 |
y |
0 |
y |
0 0 |
||
∆y→0 |
|
|
|
|
|
∆y→0 |
|
|
|
|
А из полученных равенств, согласно определению предела, имеем |
||||||||||
z′x (ξ, y0 + ∆y)= z′x (x0, y0 )+ α; |
z′y (x0,ω)= z′y (x0, y0 )+β |
|||||||||
А это значит, что |
|
|
|
|
|
|
|
|||
∆z(x0, y0 )= z′x (x0, y0 )∆x + z′y (x0, y0 )∆y +α∆x +β∆y . |
||||||||||
То есть функция z = z(x, y) – дифференцируема в точке M (x0, y0 ), что и требовалось |
||||||||||
доказать.
Функции с непрерывными частными производными называются непрерывно диффе-
ренцируемыми. |
|
Например, функция z = 2xy |
дифференцируема в любой точке M (x, y) R2 , т.к. ее ча- |
стные производные z′x = 2xy ln 2 y |
и z′y = 2xy ln 2 x являются непрерывными при любых x |
и y. |
|
1.2.3 Дифференциал функции нескольких переменных |
|
Пусть z = z(x, y) – дифференцируемая в т. M (x0, y0 ) функция. Ее полное приращение
∆z = z′x (x0, y0 )∆x + z′y (x0, y0 )∆y +α∆x +β∆y .
Дифференциалом рассматриваемой функции является главная линейная часть ее полного приращения. Обозначается dz = z′x (x0, y0 )∆x + z′y (x0, y0 )∆y . Приращения ∆x и ∆y являются дифференциалами независимых переменных и поэтому равны dx и dy соответственно. Тогда полный дифференциал функции z = z(x, y) будет иметь вид
dz = z′xdx + z′ydy . |
(1.4) |
Для функции трех переменных u = u(x, y, z) дифференциал будет равен |
|
du = u′xdx +u′ydy +u′zdz . |
(1.5) |
Чтобы найти дифференциал функции, нужно найти ее частные производные и подставить их в соответствующие формулы (1.4), (1.5).
11