2

x

Рисунок 4.18

Уравнение сферы в сферических координатах имеет вид r = 2 , уравнение конуса –

4.6Приложение кратных интегралов

4.6.1Приложение двойного интеграла

На основании геометрического смысла двойного интеграла имеем: ∫∫ f (x, y)ds чис-

D

ленно равен объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f (x, y), снизу – областью D и цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси Oz.

D

Если в каждой точке пластины задана поверхностная плотность γ = γ(x, y), то масса пластины D находится по формуле

M = ∫∫γ(x, y)dxdy .

D

Площадь области D с помощью двойного интеграла находится по формуле

S = ∫∫dxdy .

D

Пусть поверхность задана уравнением z = f (x, y) и проекция поверхности на плоскость xOy равна области D, тогда площадь поверхности находится по формуле

S = ∫∫1+(fx′)2 +(f y′)2 dxdy .

D

107

Определим моменты инерции пластины.

Определение. Моментом инерции материальной точки M относительно точки O

называется произведение массы m на квадрат расстояния от точки M до точки O I = mr2 .

Определение. Момент инерции системы материальных точек равен сумме момен-

тов инерции отдельных точек

n

I = ∑miri2 .

i=1

Пусть дана пластина D в плоскости xOy и пусть в каждой точке пластины задана плотность γ = γ(x, y).

Разобьем фигуру D на n частей произвольным образом. Считаем массу элементарной площадки сосредоточенной в точке Pi (xi , yi ). Тогда момент инерции материальной точки Pi

относительно начала координат – ∆Ii = γ(xi , yi )(xi2 + yi2 )∆si . Момент инерции относительно начала координат равен приближенно сумме моментов элементарных площадок

I0 ≈ ∑n ∆Ii = ∑n γ(xi , yi )(xi2 + yi2 )∆si . i=1 i=1

Если число разбиений неограниченно увеличивать при условии, что максимальный диаметр разбиения стремится к 0, то

I0 = ∫∫γ(x, y)(x2 + y2 )dxdy .

D

Интегралы

определяют моменты инерции пластины D относительно оси Ox и оси Oy соответственно. Определение. Статическим моментом инерции материальной точки относительно

оси называется произведение массы точки на расстояние до оси.

Статические моменты пластины D относительно осей Ox и Oy определяют по фор-

мулам

Координаты центра масс пластины D опредедяются по формулам

108

Пример 1. Найти координаты центра масс однородной пластины, ограниченной линиями y = x2 −1, y = 4 , если плотность в каждой точке γ(x, y)=1.

Рисунок 4.19 Решение. Определим массу пластины

Так как пластина симметрична относительно оси Oy и плотность постоянная, то M y = 0 . Тогда координаты центра масс будут равны

xc = MMy = 0; yc = MMx = 204055 // 33 = 2.

4.6.2 Приложение тройного интеграла

Объем тела V с помощью тройного интеграла находится по формуле

V = ∫∫∫dxdydz .

V

Если в каждой точке тела V задана плотность, как функция координат γ = γ(x, y, z), то масса тела V определяется по формуле

M = ∫∫∫γ(x, y, z)dxdydz .

V

109

Моменты материальной точки массы m относительно осей координат выражаются формулами

IOx = (y2 + z2 )m; IOy = (x2 + z2 )m; IOz = (x2 + y2 )m .

Моменты инерции тела V с объемной плотностью γ(x, y, z) определяются следующими формулами

IOz = ∫∫∫(x2 + y2 )γ(x, y, z)dxdydz; IOy = ∫∫∫V (x2 + z2 )γ(x, y, z)dxdydz IOx = ∫∫∫V (y2 + z2 )γ(x, y, z)dxdydz

V

Моменты инерции относительно координатных плоскостей выражаются соотноше-

ниями

Ixy = ∫∫∫z2γ(x, y, z)dxdydz

V

Iyz = ∫∫∫x2γ(x, y, z)dxdydz

V

Ixz = ∫∫∫y2γ(x, y, z)dxdydz

V

Момент инерции тела V относительно начала координат определяется формулой

IO = ∫∫∫(x2 + y2 + z2 )dxdydz .

V

Координаты центра масс тела определяются по формулам

Пример 2. Определить координаты центра масс верхней половины шара радиуса R с центром в начале координат, считая плотность γ(x, y, z)= γ0 = const .

Решение. Так как полушар симметричен относительно оси Oz и плотность постоянная, то центр масс будет находиться на оси Oz, т.е. xc = yc = 0 .

Аппликату центра масс определим по формуле

∫∫∫γ0zdxdydz

Перейдя к сферическим координатам, имеем

110